《创新课堂》3.3.2第一课时　抛物线的几何性质 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共58张PPT)
第一课时　抛物线的几何性质
1. 了解抛物线的几何图形及简单几何性质（直观想象）.
2. 会利用抛物线的性质解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
情境导入
　　生活中不乏以抛物线为原型的例子，信号接收塔、太阳灶、石拱桥、
抛物线型灯具等.除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质.比如信
号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚集性，抛物线型石拱桥利用了
其跨距大的特点等等.就如前面学习椭圆、双曲线一样，下面我们来研究
一下抛物线的一些几何性质.
知识点一　抛物线的几何性质
01
知识点二　由抛物线的几何性质求标准方程
02
提能点　抛物线几何性质的应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
抛物线的几何性质
问题1　（1）类比研究椭圆、双曲线的几何性质，你认为抛物线应研究其
哪些几何性质？
提示：范围、对称性、顶点及离心率等.
（2）试以抛物线y2＝2px（p＞0）为研究对象，类比用方程研究椭圆、双
曲线几何性质的过程及方法，探讨其范围、对称性、顶点及离心率.
提示：①范围：当x＞0时，抛物线y2＝2px（p＞0）在y轴的右侧，开口
向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式
x≥0；当x的值增大时，｜y｜的值也增大，这说明抛物线向右上方和右
下方无限延伸，y∈R.
②对称性：
观察图象，不难发现，抛物线y2＝2px（p＞0）关于x轴对称，我
们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.
③顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是
坐标原点（0，0）.
④离心率：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比
，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知，e＝1.
【知识梳理】
抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px（p
＞0） y2＝－2px（p
＞0） x2＝2py（p
＞0） x2＝－2py（p
＞0）
图形
性质 焦点 F（ ，0） F（－ ，0） F（0， ） F（0，－ ）
准线 x＝ x＝ y＝ y＝
－ 　
　
－ 　
　
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 轴 轴 顶点 O 离心率 e＝ 开口方向 向 向 向 向
　　提醒：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口
越大，反之，开口越小.
x　
y　
（0，0）　
1　
右　
左　
上　
下　
【例1】判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程. （　√　）
（2）有的抛物线的离心率不为1. （　×　）
（3）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴. （　√　）
（4）抛物线y＝－ x2的准线方程是x＝ . （　×　）
（5）抛物线是中心对称图形. （　×　）
√
×
√
×
×
【规律方法】
　掌握抛物线的性质，注意把握两个要点：（1）开口方向：由抛物线的
标准方程看图象开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是
正还是负；（2）关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，
它们与顶点的距离都等于一次项系数的绝对值的 .
训练1　（1）若点M（a，b）在抛物线x2＝8y上，则下列点中一定在该
抛物线上的是（　C　）
A. （－a，－b） B. （a，－b）
C. （－a，b） D. （－b，－a）
解析：由抛物线关于y轴对称可知，点（－a，b）一定在抛物线上，故
选C.
C
解析：易知抛物线y2＝－2x的开口向左，故A中说法错误；焦点坐标为
（－ ，0），故B中说法错误；准线方程为x＝ ，故C中说法错误；对称
轴为x轴，故D中说法正确.故选D.
（2）关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是（　D　）
A. 开口向下 B. 焦点坐标为（－1，0）
C. 准线方程为x＝1 D. 对称轴为x轴
D
02
PART
知识点二
由抛物线的几何性质求标准方程
【例2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，
－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
解：法一　由题意知抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py
（p＞0），则焦点为F（0，－ ）.
因为M（m，－3）在抛物线上，且｜MF｜＝5，
所以解得
所以m＝±2 ，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
法二　由题意可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦
点为F（0，－ ），准线l：y＝ ，如图所示，作
MN⊥l，垂足为N，则｜MN｜＝｜MF｜＝5，而｜MN｜
＝3＋ ，所以3＋ ＝5，即p＝4.又因为点M在抛物线上，
所以m2＝24，所以m＝±2 ，抛物线方程为x2＝－8y，
准线方程为y＝2.
【规律方法】
　由抛物线的几何性质求标准方程的方法
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知
数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦距，
从而得到抛物线的标准方程.
训练2　（1）边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为
顶点且过A，B的抛物线方程是（　C　）
A. y2＝ x B. y2＝－ x
C. y2＝± x D. y2＝± x
解析：设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（± ， ）（取点A在x轴
上方），则有 ＝± a，解得a＝± ，所以抛物线方程为y2＝± x.
C
（2）若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为
10和6，则抛物线的标准方程为 .
解析：∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为（x，6）.又∵点
M到准线的距离为10，∴ 解得 或 故当点
M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线
方程为y2＝36x.
y2＝4x或y2＝36x
03
PART
提能点
抛物线几何性质的应用
问题2　我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.
以y2＝2px（p＞0）为例，若弦端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
试分析弦长与坐标的关系.
提示：由上一节焦半径公式可知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（x1＋
）＋（x2＋ ）＝x1＋x2＋p.
【知识梳理】
抛物线的焦点弦公式
标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
图形
焦点弦 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
　　提醒：当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称
为通径.
【例3】（1）过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1（x1，
y1），P2（x2，y2）两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝（　C　）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2）
两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1（x1，y1），P2
（x2，y2）到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1.所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2
＝8.
C
（2）设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若｜OA｜＝｜
OB｜，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝（　D　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：由｜OA｜＝｜OB｜，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设
A ，B ，则S△AOB＝ ×2a× ＝16，解得a＝4，所
以｜AB｜＝8，｜OA｜＝｜OB｜＝4 ，所以∠AOB＝90°.
D
【规律方法】
　利用抛物线的性质可以解决的问题
（1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题；
（2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；
（3）范围：解决与抛物线有关的最值问题；
（4）焦点弦：解决焦点弦问题.
训练3　（1）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝ax（a＜0）在第二象限
内有一点A，且｜AF｜＝4，设点M为抛物线C准线l上的动点.若△MAF
为正三角形，则a＝（　C　）
A. －8 B. －6
C. －4 D. －2
C
解析：因为△MAF为正三角形，所以｜AF｜＝｜AM｜＝4，又因为抛物
线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以AM与准线l垂直，
∠MFO＝ ，设准线l与x轴交于点N，因此有 cos ∠MFO＝ ＝
＝ ，所以a＝－4.
（2）已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），若倾斜角为锐角的直线l
过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且｜AF｜＝3｜BF｜，则
直线l的倾斜角为 .
解析：如图，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作
AM，BN垂直于m，垂足为M，N，作BE⊥AM于点E，
因为｜AF｜＝｜AM｜，｜BF｜＝｜BN｜，且｜AF｜＝
3｜BF｜，所以｜AM｜＝3｜BN｜，则｜AB｜＝4｜
BF｜，｜AE｜＝｜AM｜－｜ME｜＝2｜BF｜，所以 cos
∠BAE＝ ，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°.
60°
1. （2025·台州月考）若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝
（　　）
A. － B. －
C. －4 D. －2
解析：　因为抛物线y＝ax2的方程可化为x2＝ y，所以准线方程为y＝
－ ，由题意可知－ ＝1，解得a＝－ .故选A.
√
2. 已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线x＝m与抛物线交于A（x1，
y1），B（x2，y2）两点，则y1＋y2＝（　　）
A. 0 B. p
C. 2p D. 4p
解析：　因为抛物线y2＝2px（p＞0）关于x轴对称，x＝m与x轴垂
直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
√
3. 〔多选〕以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的
弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　）
A. y2＝8x B. y2＝－8x
C. x2＝8y D. x2＝－8y
解析：设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py（p＞0），2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
√
√
4. 已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的
焦点为F，则直线AF的斜率等于 　　.
－
解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－ ，且点A（－2，3）在准
线上，所以 ＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为
（2，0），故直线AF的斜率k＝ ＝－ .
课堂小结
1.理清单
（1）抛物线的几何性质；
（2）由抛物线的几何性质求标准方程；
（3）抛物线几何性质的应用.
2.应体会
（1）由抛物线的几何性质求标准方程时要注意待定系数法的应用；
（2）抛物线几何性质的应用要注意数形结合思想的应用.
3.避易错
求抛物线方程时焦点的位置易判断错误，应熟练掌握判断方法（开口方向）.
04
PART
课时作业
1. 若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝
2 ，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　易知线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为
，则焦点到直线AB的距离为1－ ＝ .
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√
2. 在同一坐标系中，方程 ＋ ＝1与ax＋by2＝0（a＞b＞0）的曲线大
致是（　　）
√
解析：　由a＞b＞0，则方程 ＋ ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，方程
ax＋by2＝0可化为y2＝－ x，由于－ ＜0，则方程表示焦点在x轴上开口
向左的抛物线.
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3. 若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的
坐标为（　　）
A. （ ，± ） B. （ ，± ）
C. （ ， ） D. （ ， ）
解析：　设抛物线的焦点为F，原点为O，P（x0，y0），由条件及抛物
线的定义知，｜PF｜＝｜PO｜，又F（ ，0），所以x0＝ ，所以 ＝
，所以y0＝± .
√
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4. 已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，与抛物线
的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，因为四边形ABCD是矩
形，所以由抛物线与圆的对称性知｜AF｜＝｜AD｜＝p，则（ ）2＋p2
＝1，解得p＝ .
√
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5. 如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线
于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程
为（　　）
A. y2＝ x B. y2＝9x
C. y2＝ x D. y2＝3x
√
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解析：　如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于
点E，D，设｜BF｜＝a，则｜BC｜＝2a，由抛物线的定
义得｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2｜
AE｜＝｜AC｜，∵｜AE｜＝｜AF｜＝3，｜AC｜＝3＋
3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴ ＝ ，∴p
＝ ，因此抛物线的方程为y2＝3x.
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6. 〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直
线l过点F且与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若M（m，
2）是线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. p＝4
B. 抛物线方程为y2＝16x
C. 直线l的方程为y＝2x－4
D. ｜AB｜＝10
√
√
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解析：由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），故B错误；则 ＝8x1， ＝8x2，若M（m，2）是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴ － ＝8x1－8x2，即 ＝ ＝ ＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2（x1＋x2）－8＝4，得x1＋x2＝6，∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
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7. 〔多选〕设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C
上，｜MF｜＝5，若y轴上存在点A（0，2），使得 · ＝0，则p的
值可以为（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
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解析：由题意可得，以MF为直径的圆过点（0，2），设点M（x，y），由抛物线定义知｜MF｜＝x＋ ＝5，可得x＝5－ .因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 ＝ ，由已知可得圆的半径也为 ，据此可知该圆与y轴相切于点A（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即点M（5－ ，4），代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
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8. 设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线距离的最小
值为 　　.
6
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴ ＝6，即p＝12.又抛物线上
的点到准线距离的最小值为 ，∴抛物线上的点到准线距离的最小值为6.
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9. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C的准线与y轴
交于点A，点M（1，y0）在抛物线C上，｜MF｜＝ ，则tan∠FAM
＝ .
解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为点
N，则｜MN｜＝y0＋ ＝ ，故y0＝2p.又M（1，y0）
在抛物线上，故y0＝ ，于是2p＝ ，解得p＝ ，
∴｜MN｜＝ ＝ .∴tan∠FAM＝tan∠AMN＝ ＝ .

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10. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交
点，A为抛物线上一点，且｜AM｜＝ ，｜AF｜＝3.
（1）求抛物线的标准方程；
解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），
设A（x0，y0），由题意知M（0，－ ）.
因为｜AF｜＝3，所以y0＋ ＝3，
因为｜AM｜＝ ，所以 ＋（y0＋ ）2＝17，
所以 ＝8，代入方程 ＝2py0得，
8＝2p（3－ ），解得p＝2或p＝4.
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
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（2）若焦点在直线y＝ 的上方，通径为CD，求△OCD的面积.
解：由（1）知x2＝8y符合题意.
通径｜CD｜＝8，原点到通径的距离为2，
S△OCD＝ ×8×2＝8.
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11. 已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y
轴于点N. 若M是FN的中点，则｜FN｜＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 5 D. 6
解析：　如图，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，易知｜
OF｜＝2，∵M为FN的中点，∴｜MM'｜＝1，∴M到准线
距离d＝｜MM'｜＋ ＝3，∴｜MF｜＝3，∴｜FN｜＝6.
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12. （2025·南通质检）在内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中
心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知
抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法
触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（　　）
A. （2，＋∞） B. （1，＋∞）
C. [2，＋∞） D. [1，＋∞）
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解析：　设圆心为P（0，a）（a＞0），半径为r，Q（x，y）是抛物
线上任意一点，｜PQ｜2＝x2＋（y－a）2＝4y＋（y－a）2＝（y－a＋
2）2＋4a－4，若｜PQ｜2的最小值不在O（0，0）处取得，则圆P不过原
点，所以a－2＞0，即a＞2，此时圆的半径为r＝ ＝2 ＞2.
因此当r＞2时，圆无法触及抛物线的顶点O.
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13. 已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A（1，2），B
（－1，2），M，N是曲线C上关于y轴对称的两点（A，B，M，N四
点不共线，且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为
.
解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F（ ，0），则四边
形ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋
2｜AM｜＋2｜MF｜－1＝1＋2（｜AM｜＋｜MF｜
）≥1＋2｜AF｜＝1＋ ，当且仅当A，M，F三点共线时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋ .
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14. 已知抛物线y2＝8x.
（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
解：抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为（0，0），（2，0），x＝－2，x轴，x≥0.
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（2）以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，｜OA｜＝｜
OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
解：如图所示，由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，垂足
为点M，又焦点F是△OAB的重心，则｜OF｜＝ ｜OM｜.
因为F（2，0），所以｜OM｜＝ ｜OF｜＝3，
所以M（3，0），故设A（3，m），代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝
2 或m＝－2 ，
所以A（3，2 ），B（3，－2 ），
所以｜OA｜＝｜OB｜＝ ，所以△OAB的周长为2 ＋4 .
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15. 如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向
的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到
B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电
房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
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解：如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）
的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐
标系xOy，则B（0，2），A（2，4）.
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高
铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线.
设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
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（2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架
设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
解：要使架设电路所用电线长度最短，即使｜MA｜＋｜MB｜的值最小.
如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜，
所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小
值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2， ）.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
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THANKS
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