《创新课堂》培优课　抛物线焦点弦性质的应用 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共50张PPT)
培优课　抛物线焦点弦性质的应用
1.了解抛物线焦点弦性质的推导过程（逻辑推理、数学运算）.
2.理解和掌握焦点弦的性质及应用（数学运算）.
重点解读
x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2的应用
一
｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用
二
＋ ＝ 的应用
三
以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
四
目录
课时作业
05
　过焦点的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线
的焦点弦.抛物线的焦点弦是研究抛物线性质的一个重要方面，它具有
很多性质：
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B
（x2，y2），则
（1）x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2；
（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ，S△OAB＝ （α是直线AB的倾斜
角，α≠0°）；
（3） ＋ ＝ 为定值（F是抛物线的焦点）；
（4）以弦AB为直径的圆与准线相切.
同学们可以课下根据自己的兴趣，推导一下这些性质.
一
PART
x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2的应用
【例1】已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交
于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是（　　）
A. 直角 B. 锐角
C. 钝角 D. 与点A，B位置有关
解析：　法一　抛物线C的焦点F的坐标为（0，1），由题意分析可
知，直线m的斜率一定存在.设A（x1，y1），B（x2，y2），直线m的方
程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋
x2＝4k，x1x2＝－4，所以 · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋ · ＝－4＋1＝
－3＜0，所以∠AOB为钝角.
√
法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝ ＝1，则
· ＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3＜0，故∠AOB为钝角.
【规律方法】
1. 在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时，往往需要x1x2或y1y2，通
过抛物线特殊性质的记忆，可以避免联立方程组，从而快速求解.
2. 该式子适用于y2＝±2px，在x2＝±2py中，x1x2＝－p2，y1y2＝ .
训练1　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点
F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 · ＝－12，则抛物线C的方
程为（　　）
A. x2＝8y B. x2＝4y
C. y2＝8x D. y2＝4x
解析：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）.
√
法一　设直线AB的方程为x＝my＋ ，联立 消去x，得y2
－2pmy－p2＝0，则y1y2＝－p2，x1x2＝ ＝ ，得 · ＝x1x2＋
y1y2＝ －p2＝－ p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2
＝8x.
法二　直接运用x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2，得 · ＝x1x2＋y1y2＝ －p2
＝－ p2＝－12，解得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x.
二
PART
｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的应用
【例2】经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，倾斜角为30°的直线
l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点M的横坐标为7，
∴x1＋x2＝14，∴14＋p＝ ，∴p＝2.
√
【规律方法】
　在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可
以灵活选择，从而实现快速求解.
训练2　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜
AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜＝（　　）
A. 4 B.
√
C. 5 D. 6
解析：　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设点
A，B在准线上的射影分别为点D，C，作BE⊥AD于点
E，设｜BF｜＝m，直线l的倾斜角为θ，则｜AB｜＝
3m，由抛物线的定义知｜AD｜＝｜AF｜＝2m，｜BC｜
＝｜BF｜＝m，所以 cos θ＝ ＝ ，所以 sin 2θ＝ .又
y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式｜AB｜＝ ＝ .
三
PART
＋ ＝ 的应用
【例3】（2025·宿迁月考）过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线
C于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝（　　）
A. 9或6 B. 6或3 C. 9 D. 3
解析：　法一　设点A为第一象限内的点，A（x1，y1），B（x2，
y2），则x1＞0，y1＞0，则由题意可得F（2，0），｜AF｜＝x1＋2＝6，
则x1＝4，由 ＝8x1，得y1＝4 ，所以kAB＝ ＝2 ，直线AB的方
程为y＝2 （x－2），将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝
0，所以x2＝1，所以｜BF｜＝x2＋2＝3.
√
法二　由抛物线焦点弦的性质可得， ＋ ＝ ，所以
＝ － ＝ ，可得｜BF｜＝3.
【规律方法】
　将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.
训练3　如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点
A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且｜AF｜
＝4，则线段AB的长为（　　）
A. 5 B. 6
√
解析：　如图，过点A作AD⊥l，｜AD｜＝｜AF｜＝
｜AC｜＝4，｜OF｜＝ ＝4× ＝1，所以p＝2，因为
＋ ＝ ，｜AF｜＝4，所以｜BF｜＝ ，所
以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝4＋ ＝ .
C. D.
四
PART
以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
【例4】　求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
证明：设抛物线的准线为l，焦点为F，如图，作AA'⊥l
于点A'，BB'⊥l于点B'，M为AB的中点，作MM'⊥l于点
M'，
则由抛物线定义可知｜AA'｜＝｜AF｜，｜BB'｜＝｜
BF｜，在直角梯形BB'A'A中，
｜MM'｜＝ （｜AA'｜＋｜BB'｜）＝ （｜AF｜＋｜BF｜）＝ ｜AB｜，
即｜MM'｜等于以AB为直径的圆的半径.故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
变式　分别以焦半径AF，BF为直径作圆，与y轴有什么关系？
解：它们都与y轴相切，
证明如下：设抛物线的准线为l，如图，作AA'⊥l于点A'，
交y轴于点E，
取AF的中点M，作MM'⊥y轴于点M'，则由抛物线的性质可
知｜AA'｜＝｜AF｜，｜OF｜＝｜A'E｜，
在直角梯形OFAE中，｜MM'｜＝ （｜OF｜＋｜AE｜）＝ （｜A'E｜＋｜AE｜）＝ ｜AA'｜＝ ｜AF｜，
即｜MM'｜等于以AF为直径的圆的半径，故以AF为直径的圆与y轴相切，
同理可得以BF为直径的圆与y轴相切.
【规律方法】
　把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问
题的求解.
训练4　（2025·绍兴质检）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交
抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF
＝60°，则∠MFO的大小为（　　）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 不确定
√
解析：　如图，取AB的中点G，连接MG，则以AB为
直径的圆与准线l切于点M，根据抛物线性质，MG∥x
轴，由已知F（ ，0）且直线AB斜率存在，设直线AB
的方程为y＝k（x－ ），联立 得
y2－y－ ＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝ ，∴点M（－ ， ），∴kMF＝ ＝－ ，∵k·kMF＝－1，∴MF⊥AB，∵∠AMF＝60°，∴∠GAM＝∠GMA＝30°，∴∠MFO＝∠GMF＝30°.
1. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点分别为A（x1，
y1），B（x2，y2），则 ＝（　　）
A. －4 B. 4
C. p2 D. －p2
解析：由焦点弦的性质可知x1x2＝ ，y1y2＝－p2，∴ ＝－4，故选A.
√
2. 已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，
0），过F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列直线
与以AB为直径的圆相切的是（　　）
A. y轴 B. x＝－1
C. x＝－2 D. 不存在
解析：　抛物线焦点为F（1，0），即 ＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝
4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相
切，故选B.
√
3. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于
P，Q两点，且 ＋ ＝4，所以抛物线的焦点坐标为 .
解析：由焦点弦的性质，可知 ＋ ＝ ，所以 ＝4，即p＝
，所以抛物线的焦点坐标为 .
（ ，0）
4. 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直
线被抛物线所截得的弦长为8，则该抛物线的方程为 .
解析：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则直线方程为y＝
－x＋ .设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则｜AB｜
＝ ，所以 ＝8，所以p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x.当
抛物线方程设为y2＝－2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2＝－
4x.综上，所求抛物线的方程为y2＝±4x.
y2＝±4x
课堂小结
1.理清单
（1）x1·x2＝ ，y1·y2＝－p2的应用；
（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）的
应用；
（3） ＋ ＝ 的应用；
（4）以弦AB为直径的圆与准线相切的应用.
2.应体会
在应用抛物线的焦点弦性质解题时要注意方程思想、转化与化归思想的
应用.
3.避易错
对焦点弦的性质记忆混淆出错.
05
PART
课时作业
1. （2025·烟台月考）已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M（x1，y1），N
（x2，y2）是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2＝（　　）
A. － B. －
C. －1 D. －2
解析：y＝2x2即x2＝ y，由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－ .
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√
2. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于
A，B两点，若｜AF｜＝4，｜BF｜＝1，则p＝（　　）
A. B. 2
C. D. 1
解析：　由抛物线焦点弦的性质可得， ＋ ＝ ，由｜AF｜
＝4，｜BF｜＝1，得 ＝ ＋1＝ ，解得p＝ .
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3. 直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若
弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于（　　）
A. B.
C. 或 D. 或
解析：设直线l的倾斜角为α，∵p＝6，由抛物线焦点弦的性质知，｜AB｜＝ ＝ ＝16，∴ sin 2α＝ ，则 sin α＝ .∴α＝ 或 .
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4. 已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若｜AB｜＝4，则AB中点的纵
坐标是（　　）
A. 1 B. 2
√
C. D.
解析：　如图所示，设线段AB的中点为P（x0，y0），
分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，
Q，B'，由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜
PQ｜＝ ＝2.又｜PQ｜＝y0＋ ，∴y0＋
＝2，∴y0＝ .
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5. 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M为抛物线上一点.若△OFM的
外接圆与抛物线的准线相切（O为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则
p＝（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析：　∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，∴△OFM的外接圆
的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵外接圆的面积为9π，∴外接圆的
半径为3.又∵圆心在OF的垂直平分线上，｜OF｜＝ ，∴ ＋ ＝3，
∴p＝4.
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6. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　易知抛物线中p＝ ，由抛物线的性质可得弦长｜AB｜＝
＝12，又O到直线AB的距离d＝ · sin 30°＝ ，∴S△OAB＝ ｜
AB｜·d＝ .
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7. 〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝8y，若过焦点
F的直线l交抛物线于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法中正
确的是（　　）
A. x1x2＝－16 B. y1y2＝16
C. · 的最大值为－16 D. ｜ ｜·｜ ｜＞12
√
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解析：由x2＝8y，得p＝4，由抛物线焦点弦的性质，得x1x2＝－p2＝－16，故A正确；y1y2＝ ＝4，故B错误；根据题意，直线l的斜率一定存在，又过点F（0，2），设直线l的方程为y＝kx＋2，联立 得x2－8kx－16＝0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－16， ＝（x1，y1－2）， ＝（x2，y2－2），则 · ＝x1x2＋（y1－2）（y2－2）＝x1x2＋y1y2－2（y1＋y2）＋4＝－16－2k（x1＋x2）＝－16－16k2≤－16，故当k＝0时， · 的最大值为－16，故C正确；｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，｜ ｜2·｜ ｜2＝（ ＋ ）（ ＋ ）＝（8y1＋ ）·（8y2＋ ）＝y1y2（8＋y1）·（8＋y2）＝4[64＋8（y1＋y2）＋y1y2]＝16（25＋16k2），所以｜ ｜·｜ ｜＝4 ≥20＞12，故D正确.
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8. 〔多选〕已知抛物线y2＝2px（p＞0）上三点A（x1，y1），B（1，
2），C（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（　　）
A. 抛物线的准线方程为x＝－1
B. 若 ＋ ＋ ＝0，则2｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜
C. 若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1
D. 若｜AC｜＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2
√
√
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解析：把点B（1，2）代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；因为A（x1，y1），B（1，2），C（x2，y2），F（1，0），所以 ＝（x1－1，y1）， ＝（0，2）， ＝（x2－1，y2），又由 ＋ ＋ ＝0，得x1＋x2＝2，所以｜ ｜＋｜ ｜＝x1＋ ＋x2＋ ＝4＝2｜ ｜，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；设AC的中点为M（x0，y0），因为｜AF｜＋｜CF｜≥｜AC｜，｜AF｜＋｜CF｜＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.
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9. 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点
C，且A，C位于x轴同侧.若｜AC｜＝2｜AF｜，则｜BF｜＝ .
解析：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，
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由抛物线的定义可知｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BE｜，又｜AC｜＝2｜AF｜，所以｜AC｜＝2｜AD｜，则∠ACD＝ .所以直线AB的倾斜角为 ，因为｜HF｜＝p＝2， ＝ ＝ ，所以｜AF｜＝｜AD｜＝ .又｜AB｜＝ ＝ ＝ ，即｜AF｜＋｜BF｜＝ ，所以｜BF｜＝4.
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10. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C准线l上一点，且PF⊥MN，连接PM交y轴于点Q，过点Q作QD⊥MF于点D，若｜MD｜＝2｜NF｜，则｜MF｜＝ .
2＋
解析：作MM'⊥l于点M'，设MM'交y轴于点R. 易知△MM'P≌△MFP，
则∠PMM'＝∠FMP，从而有△MRQ≌△MDQ，所以｜MR｜＝
｜MD｜.因为｜MM'｜＝｜MF｜，所以｜DF｜＝｜M'R｜＝
1，设｜NF｜＝x，则｜MD｜＝2x.由 ＋ ＝ ＝
1，得｜MF｜＝ ，所以 ＝1＋2x，解得x＝ （负值
舍去），｜MF｜＝1＋2x＝2＋ .
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11. 已知直线l：x－my＋m－2＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）恒有两
个交点A，B.
（1）求p的取值范围；
解：将直线l与抛物线C方程联立，得 y2－2pmy＋2pm－4p＝0，
又因为直线l与抛物线C恒有两个交点，
所以其判别式Δ＝（－2pm）2－4（2pm－4p）＝4p2m2－8pm＋16p＞0
对 m∈R恒成立，
故需使方程4p2m2－8pm＋16p＝0的判别式Δ1＝（－8p）2－4×4p2×16p＜0，
又p＞0，所以解得p＞ ，即p的取值范围为（ ，＋∞）.
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（2）当m＝1时，直线l过抛物线C的焦点F，求此时线段AB的长度.
解：由题，当m＝1时，l：x－y－1＝0，由l过焦点F（ ，0）得p
＝2，所以抛物线C：y2＝4x.
将直线l与抛物线C方程联立，并令A（x1，y1），B（x2，y2），得
x2－6x＋1＝0，Δ＞0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，又因AB经过抛物线焦点，故｜AB｜＝
x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
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12. （2025·淮安月考）已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）
上的点，F为抛物线的焦点，且｜PF｜＝2，过焦点F的直线l与抛物线C
相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
解：由题意｜PF｜＝1＋ ＝2，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
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（2）若｜AB｜＝8，求直线l的斜率.
解：法一　由（1）知焦点为F（1，0），若直线l斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意，
因此设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），由 得k2x2
－（2k2＋4）x＋k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ ，｜AB｜＝x1＋x2＋2
＝ ＋2＝8，
解得k＝1或k＝－1.
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法二　若直线l的斜率不存在，则｜AB｜＝4，不符合题意，
设直线l的倾斜角为α，根据焦点弦的性质，｜AB｜＝ ，
代入可得 sin 2α＝ ＝ ，即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1.
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