《创新课堂》培优课　椭圆的综合问题 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共52张PPT)
培优课　椭圆的综合问题
1.理解和掌握与椭圆有关的最值（范围）问题的解决方法（数学运算）.
2.掌握直线与椭圆的综合问题及椭圆的实际应用问题（逻辑推理、数学运算）.
重点解读
与椭圆有关的最值（范围）问题
一
直线与椭圆的综合问题
二
椭圆的实际应用问题
三
课时作业
04
目录
一
PART
与椭圆有关的最值（范围）问题
【例1】（2025·开封质检）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴
上，左顶点为A（－2，0），离心率为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
解：设椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
由题意得 解得c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求｜PQ｜的最大值.
解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t.
由 得7x2＋8tx＋4（t2－3）＝0，
由Δ＝（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，则x1＋x2＝－ t，x1x2＝
，
所以｜PQ｜＝ ·｜x1－x2｜
＝ ·
＝ ·
＝ · ，
又0≤t2＜7，所以当t＝0时，
可得｜PQ｜max＝ .
【规律方法】
　解决与椭圆有关的最值问题的常用方法
（1）利用定义转化为几何问题处理；
（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解；
（3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此
时应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值
问题来求解.
训练1　（1）若点（x，y）在椭圆4x2＋y2＝4上，则 的最小值为
（　　）
A. 1 B. －1
C. － D. 以上都不正确
解析：设 ＝k，则y＝k（x－2）.由 消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）＝0，由题意得Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－ ≤k≤ ，所以 的最小值为－ .故选C.
√
（2）在椭圆 ＋ ＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距
离最短，并求出最短距离.
解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝ x＋m，代入
＋ ＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，∴m＝±4，
故两切线方程为y＝ x＋4和y＝ x－4，
显然y＝ x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为
所求最短距离，且y＝ x－4与椭圆的切点即为所求点P，
故所求最短距离为d＝ ＝ ＝ .
由 得
即P（ ，－ ）.
二
PART
直线与椭圆的综合问题
【例2】已知点F（0，1），直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，
且｜PF｜是P到l的距离的 .
（1）求曲线C的方程；
解：设P（x，y），由已知 ＝ ｜y－4｜，
整理得 ＋ ＝1，即为曲线C的方程.
（2）若经过点F且斜率为k（k≠0）的直线交曲线C于M，N两点，线段
MN的垂直平分线交y轴于点H，求证： 为定值.
解：证明：设经过点F且斜率为k（k≠0）的直线的方程为y＝kx＋1，与
曲线C的方程联立得 消去y整理得（4＋3k2）x2＋6kx－9＝
0，Δ＝36k2＋4×9×（4＋3k2）＝144（1＋k2）＞0恒成立，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则｜MN｜＝ ｜x1－x2｜＝
× ＝ ，x1＋x2＝－ ，
设线段MN的中点为T（x0，y0），则x0＝ ＝－ ，y0＝kx0＋1
＝ ，线段MN的垂直平分线的斜率为－ ，
方程为y－ ＝－ （x＋ ），令x＝0，解得y＝ ，即为点
H的纵坐标，
∴｜FH｜＝1－ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，即
为定值 .
【规律方法】
　解决直线与椭圆综合问题的注意点
（1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两
种情况讨论（也可将方程设成用y表示x的形式）；
（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算更
简单；
（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的
作用.
训练2　（2025·嘉兴月考）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的长轴
长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝
.
（1）求椭圆C的方程；
解：由题意，可得 解得 故椭圆C的方程为
＋ ＝1.
（2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且
满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程.
解：根据题意可得，点A必在点B的上方，才有｜AM｜＝｜BN｜.
当l的斜率不存在时，｜AM｜＝2－ ，｜BN｜＝ ，｜AM｜≠｜
BN｜，不符合题意，故l的斜率必定存在.
设l的方程为y＝kx＋2，由 得（1＋4k2）x2＋16kx＋8＝
0，
则Δ＝（16k）2－32（1＋4k2）＝128k2－32＞0，即k2＞ .
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
设N（x0，y0），则x0＝ ＝－ .
由｜AM｜＝｜BN｜可得，｜AB｜＝｜MN｜，
∴ ｜x1－x2｜＝ ｜x0－0｜，
则 ＝｜x0｜，
即 ＝｜－ ｜，
整理得k2＝ ＞ ，故k＝± ，
∴直线l的方程为y＝± x＋2.
三
PART
椭圆的实际应用问题
【例3】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面（椭圆绕其对称
轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部
分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一
个焦点F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另一个焦点F2.已知
BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝ ，｜F1F2｜＝4.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程；
解：设截口BAC所在椭圆的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），
∵BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝ ，｜F1F2｜＝4，
∴在Rt△BF1F2中，｜F2B｜＝ ＝ ，
故2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝2 ，得a＝ ，
又2c＝｜F1F2｜＝4，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝2，
∴所求椭圆的方程为 ＋ ＝1.
（2）若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且
∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积.
解：∵点P在椭圆上，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2 ，
又∠F1PF2＝90°，即△F1PF2为直角三角形，
∴｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16.
由 得｜PF1｜·｜PF2｜＝4，
故△F1PF2的面积为 ｜PF1｜·｜PF2｜＝2.
【规律方法】
　求解椭圆实际应用问题的思路
（1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学
问题；
（2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问
题的解；
（3）用解得的结果说明原来的实际问题.
训练3　船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子两端系在桅
杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧.假设绳子位于两根桅杆所在的平面
内，则绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为 m（精确到0.01
m，参考数据： ≈12.247）.
4.75
解析：由题意P在以A，C为焦点的椭圆上，2a＝｜PA｜＋｜PC｜＝
30，a＝15，2c＝15，即c＝7.5，所以b＝ ＝ ＝
，所以椭圆方程为 ＋ ＝1，又yP＝－7.5，代入椭圆方程得
＋ ＝1，xP＝－ （正值舍去），所以点P到桅杆AB的距离
为｜PB｜＝ －7.5≈4.75（m）.
1. 已知F是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则
△ABF的面积的最大值为（　　）
A. 6 B. 15
C. 20 D. 12
解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知a＝5，b＝3，c＝4，
所以S△ABF＝ ｜OF｜·｜y1－y2｜≤ ｜OF｜·2b＝12.
√
2. 已知椭圆C1： ＋ ＝1的两个焦点与椭圆C2： ＋ ＝1（m＞0）
的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由椭圆C1： ＋ ＝1，可得椭圆C1的焦点为（±2，0），因
为椭圆C1的两个焦点与椭圆C2的两个焦点构成正方形，所以椭圆C2：
＋ ＝1（m＞0）的两个焦点在y轴上，所以椭圆C2的焦点为（0，
± ），所以 ＝2，解得m＝2（m＞0）.故选B.
√
3. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所
示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高
度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是 m.
解析：设椭圆方程为 ＋ ＝1，当点（4 ，4.5）在椭圆上时， ＋
＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝
2a≥32，故拱宽至少为32 m.
32
4. 已知椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C
上，则△MF1F2的内切圆半径的取值范围为 .
解析：设△MF1F2的内切圆半径为r，由题意得a＝5，b＝4，c2＝a2－b2
＝9，即c＝3，又 ＝ （｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）r＝
（2a＋2c）r＝8r，所以r＝ ，由于0＜ ≤ b·｜
F1F2｜＝ ×4×6＝12，所以0＜r≤ .
（0， ］
课堂小结
1.理清单
（1）与椭圆有关的最值（范围）问题；
（2）直线与椭圆的综合问题；
（3）椭圆的实际应用问题.
2.应体会
解决椭圆的综合问题时要注意数形结合思想、分类讨论思想、函数与方
程思想的应用.
3.避易错
求解椭圆的实际应用问题，要认真审题，切勿弄错椭圆的位置及要素.
04
PART
课时作业
1. 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，
其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的
长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长
轴长为（　　）
A. 30 cm B. 20 cm
C. 10 cm D. 10 cm
解析：　因为两个椭圆的离心率相同，所以 ＝ ，所以 ＝ ，
所以2a小＝20，所以小椭圆的长轴长为20 cm.
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√
2. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴长为2 ，
点M在椭圆上，若｜MF｜的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为
（　　）
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
解析：　依题意，椭圆短轴长为2 ，得b＝ ，则a2－c2＝b2＝3，
又｜MF｜的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3（a－c），所以a＝
2c，所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2.故选D.
√
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3. （2025·莱芜月考）已知P（m，n）是椭圆x2＋ ＝1上的一个动点，
则m2＋n2的取值范围是（　　）
A. （1，2） B. [1，2）
C. [1，2] D. （1，2]
解析：　因为P（m，n）是椭圆x2＋ ＝1上的一个动点，所以m2＋
＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，则
0≤m2≤1，所以1≤2－m2≤2，即1≤m2＋n2≤2，所以m2＋n2的取值范围
是[1，2].
√
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4. 已知（2，1）是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上一点，则连接椭圆
C的四个顶点构成的四边形的面积（　　）
A. 有最小值4 B. 有最小值8
C. 有最大值8 D. 有最大值16
√
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解析：　因为（2，1）是椭圆C： ＋ ＝1上一点，所以 ＋ ＝1，
所以 ＋ ≥2× × （当且仅当 ＝ ，即a＝2b时，取等号），所以
1≥ ，即ab≥4，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝
·2a·2b＝2ab≥8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最
小值为8，故选B.
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5. 如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现
太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于
点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，
∴AC＝2R＝22，R＝11，过C作CE∥BD交l1于点E，
则CE＝BD，在Rt△ACE中，CE＝ ，∴CE＝22× ＝2a，∴a＝ ＝ ，b＝R，∴c＝ ＝ R，∴e＝ ＝ ＝ .
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6. 〔多选〕设椭圆 ＋ ＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜ ）
与椭圆交于A，B两点，则（　　）
A. ｜AF｜＋｜BF｜为定值
B. △ABF的周长的取值范围是[6，12]
C. 当m＝ 时，△ABF为直角三角形
D. 当m＝1时，△ABF的面积为
√
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解析：设椭圆的左焦点为F'，则｜AF'｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6为定值，A正确；△ABF的周长为｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，因为｜AF｜＋｜BF｜为定值6，｜AB｜的取值范围是（0，6），所以△ABF的周长的取值范围是（6，12），B错误；将y＝ 与椭圆方程联立，可解得A（－ ， ），B（ ， ），又因为F（ ，0），∴ · ＝（ ＋ ）×（ － ）＋（ ）2＝0，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A（－ ，1），B（ ，1），所以S△ABF＝ ×2 ×1＝ ，D正确，故选A、C、D.
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7. 〔多选〕中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在
月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地
月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个
焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个
焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，
用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子
正确的是（　　）
A. a1＋c1＝a2＋c2 B. a1－c1＝a2－c2
C. ＜ D. ＞
√
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解析：　由题图可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A
错误；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－
c2＝｜PF｜，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；所以a1＋c2＝a2＋c1，两
边同时平方，得 ＋ ＋2a1c2＝ ＋ ＋2a2c1，所以 － ＋2a1c2
＝ － ＋2a2c1，即 ＋2a1c2＝ ＋2a2c1，由题图可得， ＞ ，
所以2a1c2＜2a2c1，即 ＜ ，所以C错误，D正确.
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8. 在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C： ＋ ＝1上运动，则点P到
直线x－y－5＝0的距离的最大值为 .
解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆 ＋ ＝1相切，联立消去y，得25x2＋
32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝（32m）2－4×25×（16m2－144）＝0，解
得m＝5或m＝－5，∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程
为x－y＋5＝0，且两平行直线间的距离为d＝ ＝ ＝5 ，
∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5 .
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解析：因为｜ ｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为 · ＝0，所以PM⊥AM，要使｜ ｜最小，只需｜ ｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则 ＋ ＝1，其中｜AP｜＝ ＝ ＝ ＝ ，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜ ｜min＝ ＝2 .
9. 已知动点P在椭圆C： ＋ ＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M
满足｜ ｜＝1， · ＝0，则｜ ｜的最小值是 .
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10. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，
0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使 ＝ ，则该椭
圆的离心率的取值范围为 .
（ －1，1）
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解析：在△PF1F2中，由正弦定理得 ＝ .∵ ＝
，∴ ＝ ，即｜PF1｜＝ ·｜PF2｜.由椭圆定义
知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则 ·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝
.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则 ＜a＋c，即c2＋2ac
－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－ －1或e＞ －1.又e∈（0，
1），∴e∈（ －1，1）.
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11. （2025·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地
块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆 ＋ ＝1
（x≤0）和 ＋ ＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩
形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）.
（1）求“挞圆”的方程；
解：由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25，b＝15.
所以“挞圆”方程为 ＋ ＝1（x≤0）和 ＋ ＝1
（x≥0）.
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（2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值.
解：设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点，
则 ＋ ＝1， ＋ ＝1，可得x1＝－ x0.
所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t· x0＝15×34×2· · ≤15×34（ ＋ ）＝510，
当且仅当 ＝ 时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米.
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12. 在平面直角坐标系中，C1（0，－ ），圆C2：x2＋（y－ ）2＝
12，动圆P过C1且与圆C2相切.
（1）求动圆圆心P所在曲线C的方程；
解：连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r，
由题知｜PC1｜＝r，｜PC2｜＝2 －r，所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝2
＞｜C1C2｜＝2 ，
所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长为2a＝2 ，焦距为
2c＝2 ，
则a＝ ，c＝ ，故b＝ ＝1，
所以曲线C的方程为 ＋x2＝1.
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（2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在
直线x＝－ 上，求直线l的方程.
解：若直线l的斜率不存在，则线段AB的中点为坐标原点，不符合题意.
若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1，
将y＝kx＋1代入 ＋x2＝1，得（3＋k2）x2＋2kx－2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝－ ，即 ＝－
＝－ ，
所以k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3，
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝3x＋1.
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