《创新课堂》章末整合提升 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共42张PPT)
章末整合提升
体系构建
01
素养提升
02
目录
01
PART
体系构建
02
PART
素养提升
一、空间向量的概念及运算
　空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是
相同的，可以通过类比进行学习.
【例1】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 ＝a， ＝b，
＝c，M，P分别是AA1，C1D1的中点，则 ＝（　C　）
A. a＋ b＋ c B. a＋ c
C. a＋ b＋c D. a＋ b＋ c
解析：如图，由题意，M，P分别是AA1，C1D1的中点，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋
（ ＋ ）＝ a＋ b＋c.故选C.
C
（2）已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是 ，则
向量a－b－c和b的夹角为（　C　）
A. B. C. D.
C
解析：由题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝ ，
∴｜a－b－c｜＝
＝ ＝ ，（a－b－c）·b＝a·b－b2
－b·c＝－1.设向量a－b－c和b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝
＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ＝ .
（3）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满
足 ＝ ＋ ＋ ，则点M （填“∈”或“ ”）平面ABC.
解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝
＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，∴M，A，B，C四点共面，即点M∈
平面ABC.
∈
【反思感悟】
1. 空间向量数量积的3个应用
（1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而可求
两异面直线所成的角；
（2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问
题转化为向量数量积的计算问题；
（3）解决垂直问题：利用a⊥b a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问
题转化为向量数量积的计算问题.
2. 证明三点共线和空间四点共面的方法比较
三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面
＝λ 且同过点P ＝x ＋y
对空间任一点O， ＝ ＋
t 对空间任一点O， ＝ ＋x ＋
y
对空间任一点O， ＝x ＋
（1－x） 对空间任一点O， ＝x ＋y ＋
（1－x－y）
二、利用空间向量证明线面位置关系
　用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、
线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；证明线面位置关系的基
本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和
垂直进行证明.
【例2】如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，
M，N分别为AB，PC的中点，求证：
（1）MN∥平面PAD；
证明：由题意得AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A
为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z
轴建立空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P（0，0，a），A（0，
0，0），D（0，a，0），C（b，a，0），B（b，0，0），
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M（ ，0，0），N（ ， ， ）.
所以 ＝（0， ， ）， ＝（0，0，a）， ＝（0，a，0）.
所以 ＝ ＋ ，所以 ， ， 共面，
又因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
（2）平面PMC⊥平面PDC.
证明：由（1）可知 ＝（b，a，－a）， ＝（ ，0，－a），
＝（0，a，－a）.
设平面PMC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则
所以 令z1＝b，则n1＝（2a，－b，b）.
设平面PDC的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则 所以
令z2＝1，则n2＝（0，1，1）.
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，
所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
【反思感悟】
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
三、利用空间向量求距离
　能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的
平面的距离问题.
【例3】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
（1）求点N到直线AB的距离；
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），
B（2 ，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1
（0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）.
＝（0，4，2）， ＝（2 ，2，0），则｜ ｜＝
2 ，｜ ｜＝4， · ＝8.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝ ＝ ＝4.
（2）求点C1到平面ABN的距离.
解：设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥ ，
n⊥ ，得
令z＝2，则y＝－1，x＝ ，即n＝（ ，－1，2）.
易知 ＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝｜ ｜＝｜ ｜＝ .
【反思感悟】
1. 向量法求点到平面的距离，一般转化为平面外一点与平面内一点构成的
向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题.
2. 求直线到平面、平面到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解，
且这个点要适当选取，以易于求解为准则.
四、利用空间向量求空间角（考教衔接）
空间中三种角的计算公式
（1）两条异面直线所成的角θ： cos θ＝｜ cos ＜u，v＞｜＝｜
｜＝ （其中u，v分别是两异面直线的方向向量）；
（2）直线和平面所成的角θ： sin θ＝｜ cos ＜u，n＞｜＝｜
｜＝ （其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量）；
（3）两个平面的夹角θ： cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝｜ ｜
＝ （其中n1，n2分别是两平面的法向量）.
教材原题　（链接教材P39例10）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面
ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作
EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
变式1　真题检验　已知空间角的大小求线段长度（2024·新高考Ⅰ卷17题）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ .
（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；
解：证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD 平面ABCD，所以PA⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA 平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
而AB 平面PAB，所以AD⊥AB.
因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD∥BC，
又AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD.
解：法一　如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作
EF⊥CP于F，连接DF，
因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平
面PAC∩平面ABCD＝AC，
所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF，
所以CP⊥DF，
根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角，
即 sin ∠DFE＝ ，即tan∠DFE＝ .
因为AD⊥DC，设AD＝x，则CD＝ ，
由等面积法可得，DE＝ ，
又CE＝ ＝ ，而△EFC为等腰
直角三角形，所以EF＝ ，
故tan∠DFE＝ ＝ ，解得x＝ ，即AD＝ .
法二　以DA，DC分别为x轴，y轴，过D作与平面
ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系
Dxyz，
令AD＝t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝
，C（0， ，0），
设平面ACP的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则
所以
设平面CPD的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则 所以
不妨设z2＝t，则x2＝－2，y2＝0，n2＝（－2，0，t）.
因为二面角A-CP-D的正弦值为 ，则余弦值为 ，
所以 ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ＝ ，
所以t＝ ，所以AD＝ .
不妨设x1＝ ，则y1＝t，z1＝0，n1＝（ ，t，0）.
变式2　真题检验　空间角与折叠问题
（2024·新高考Ⅱ卷17题）如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，
AD＝5 ，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足 ＝ ，
＝ .将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4 .
（1）证明：EF⊥PD；
解：证明：由AB＝8，AD＝5 ， ＝ ， ＝ ，得AE＝
2 ，AF＝4，
又∠BAD＝30°，在△AEF中，
由余弦定理得
EF＝
＝ ＝2，
所以AE2＋EF2＝AF2，
则AE⊥EF，即EF⊥AD，
由翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE 平面
PDE，
所以EF⊥平面PDE，又PD 平面PDE，
故EF⊥PD.
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
解：连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3 ，CD＝
3，则CE2＝ED2＋CD2＝36，
在△PEC中，PC＝4 ，PE＝2 ，EC＝6，得EC2
＋PE2＝PC2，
所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF＝
E，EC，EF 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，又ED 平面ABCD，
所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图
空间直角坐标系Exyz，
则P（0，0，2 ），D（0，3 ，0），C（3，
3 ，0），F（2，0，0），A（0，－2 ，0），
由F是AB的中点，得B（4，2 ，0），
所以 ＝（3，3 ，－2 ）， ＝（0，3 ，－
2 ）， ＝（4，2 ，－2 ）， ＝（2，0，－2 ），
设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n＝（x1，y1，z1），m＝（x2，y2，z2），
则
令y1＝2，x2＝ ，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1，
所以n＝（0，2，3），m＝（ ，－1，1），
所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ ，
设平面PCD和平面PBF所成二面角为θ，则 sin θ＝ ＝ ，
即平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为 .
变式3　空间角与探索性问题
如图，在三棱锥A-BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝2 ，AB＝CD＝4.
（1）证明：AB⊥CD；
解：证明：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，
因为AC＝AD＝BC＝BD，所以AE⊥CD，BE⊥CD，
因为AE∩BE＝E，AE，BE 平面ABE，
所以CD⊥平面ABE，又AB 平面ABE，所以CD⊥AB.
（2）在棱AB上是否存在点F（不与端点重合），使得直线AF与平面
FCD所成角的正弦值为 ？若存在，求出点F的位置，若不存在，请说
明理由.
解：存在点F，位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点
处，使直线AF与平面FCD所成角的正弦值为 ，证明
如下：
如图，因为AC＝AD＝BC＝BD，易知
△ACD≌△BCD，则AE＝BE，
取AB的中点G，连接GE，易知GE⊥AB，又CD⊥平面
ABE，易知CD，GE，AB两两垂直，
以G为坐标原点，分别以GE，GA所在直线为y轴，z轴，过点G作CD的平行线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题设，易得AE＝2 ，GE＝2，则A（0，0，2），B（0，0，－2），C（2，2，0），D（－2，2，0），
则 ＝（0，0，－4）， ＝（4，0，0），设 ＝λ ＝（0，0，－4λ），0＜λ＜1，
则F（0，0，2－4λ），故 ＝（2，2，4λ－2），
设平面FCD的法向量为n＝（x，y，z），则
令z＝－1，则n＝（0，2λ－1，－1），
设直线AF与平面FCD所成角为θ，
则 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ，解得λ＝ 或λ＝ ，
故在棱AB上存在点F，使得直线AF与平面FCD所成角的正弦值为 ，
此时点F位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点处.
【反思感悟】
用向量法求空间角应注意的问题
（1）两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，两异面直线的方向向量
所成角的范围为0°＜θ＜180°；
（2）要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线
a的方向向量a夹角的余弦值 cos ＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞－ 或 －
＜n，a＞；
（3）平面与平面的夹角与二面角的范围不同，若求二面角大小，需先判
断二面角是锐角还是钝角.
THANKS
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