《创新课堂》章末检测（一）　空间向量与立体几何 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共44张PPT)
章末检测（一）空间向量与立体几何
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝
（　　）
A. a＋b－c B. a－b＋c
C. －a＋b－c D. －a＋b＋c
解析：由题可知 ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝－a＋b＋c.故选D.
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√
2. 设m∈R，向量a＝（m，1，1），b＝（4，m，－2），c＝（1，2，
0），则a∥b是a⊥c的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
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解析：　a∥b，则a＝λb，即（m，1，1）＝λ（4，m，－2），
解得 a⊥c，则a·c＝0 m＋2＋0＝0 m＝－2.则
a∥b a⊥c，故a∥b是a⊥c的充要条件.故选C.
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3. 已知向量a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝ ，
且λ＞0，则λ＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：由题意，得λa＋b＝（4，1－λ，λ）.因为｜λa＋b｜＝ ，所以42＋（1－λ）2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.
√
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4. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为
O1，则 · ＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　由于 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋
（ ＋ ）.而 ＝ ＋ .则 · ＝［ ＋ （ ＋
）］·（ ＋ ）＝ （ ＋ ）2＝ （ ＋ ）＝1.
√
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5. 如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，
BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（　　）
D. 1
√
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解析：　∵AB＝1，BC＝2，AA1＝3，∴A1（0，0，3），C（1，2，
0），B（1，0，0），∴直线A1C的方向向量 ＝（1，2，－3），
＝（0，2，0）， 对应的单位向量为u＝（ ， ，－ ），∴点
B到A1C的距离为d＝ ＝ ＝ .
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6. 如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、
下底面圆周上，且＜ ， ＞＝120°，则｜ ｜＝（　　）
D. 5
√
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解析：　∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴ · ＝0， ·
＝0，且由题意知， · ＝3×5× cos 60°＝ .∵ ＝ ＋
＋ ，∴ ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋
＋2 · ＋ · ＋2 · ＝9＋16＋25＋15＝65，
∴｜ ｜＝ .故选A.
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7. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中
记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，
EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，
则异面直线DE与BF所成角的大小为（　　）
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解析：　如图，以矩形ABCD的中心O为原点， 的
方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.∵四边形ABCD
为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，
∴EF 平面Oyz，且Oz是线段EF的垂直平分线.设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D（－1，－ ，0），E（0，－ ， ），B（1， ，0），F（0， ， ）.∴ ＝（1，1， ）， ＝（－1，－1， ），∴ · ＝－1×1＋1×（－1）＋ × ＝0，∴ ⊥ ，∴异面直线DE与BF所成的角为 .故选A.
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8. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧
面ABB1A1内，若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值是（　　）
√
解析：　以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设点P（1，y，z），0≤y，z≤1，D1（0，0，1），所以 ＝（1，y，z－1）.
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因为C（0，1，0），M（1，0， ），所以 ＝（1，－1， ），因为 ⊥ ，所以1－y＋ （z－1）＝0，所以z＝2y－1.因为B（1，1，0），所以 ＝（0，y－1，2y－1），所以｜ ｜＝ ＝ ，因为0≤y≤1，所以当y＝ 时，｜ ｜min＝ .因为正方体中，BC⊥平面ABB1A1，BP 平面ABB1A1，故BC⊥BP，所以（S△PBC）min＝ ×1× ＝ ，故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的是（　　）
√
√
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解析：若b α，则p· ＝0成立，故b∥α不是p· ＝0的必要条件，故A错误；若 ＝ ＋ ＋ ，则 （ － ）＝ （ － ）＋ （ － ），所以 ＝ ＋ ，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；由题意可得ka＋b＝（－k，k＋2，2k＋3），2a－b＝（－2，0，1），若ka＋b与2a－b垂直，则（ka＋b）·（2a－b）＝2k＋2k＋3＝0，解得k＝－ ，故C正确；
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由题意可得 ＝（5，0，2）， ＝（4，－3，0），则｜ ｜＝
＝ ，｜ ｜＝ ＝5，则 cos A＝
＝ ＝ ，所以 sin A＝ ＝ ，所以｜BD｜＝｜ ｜
sin A＝ × ＝ ，故D正确.
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10. 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝2，AC与BD
的交点为M，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则（　　）
√
√
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解析：　如图所示， ＝ － ＝ －
＝ （ ＋ ）－ ＝－ ＋ － ，
故A正确，B错误；由 ＝－ ＋ － 平方
得，｜ ｜2＝（－ ＋ － ）2＝ ＋ ＋ －2× · ＋2× · －2× · ＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋｜ ｜2－ · ＋｜ ｜｜ ｜ cos ∠A1AB－｜ ｜｜ ｜· cos ∠A1AD＝ ×1＋ ×4＋4－0＋2×1× －2×2× ＝ ，所以｜ ｜＝ ＝ ，故C正确，D错误.故选A、C.
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11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则（　　）
A. AC⊥BD
B. △ACD是等边三角形
C. AB与平面BCD所成的角为60°
D. AB与CD所成的角为90°
√
√
解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD. 又AO∩CO＝O，AO，CO 平面AOC，∴BD⊥平面AOC，又AC 平面AOC，
∴AC⊥BD，A中结论正确；
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∵AC＝ AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误； ＝ ＋ ＋ ，不妨设AB＝1，则 ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ，∴1＝1＋2＋1＋2 ×（－ ）＋2 ×（－ ）＋2 cos ＜ ， ＞，∴ cos ＜ ， ＞＝ ，∴＜ ， ＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误.故选A、B.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 若空间向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，－
7，m）是共面向量，则实数m＝ .
解析：若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，所以
解得
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解析：不妨设CB＝1，则B（0，0，1），A（2，0，0），C1（0，2，
0），B1（0，2，1）.∴ ＝（0，2，－1）， ＝（－2，2，1）.
cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .

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解析：以D为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的
正方向，建立空间直角坐标系，则O（2，0，2），B（4，4，0），E
（2，4，4），F（0，4，2）.因为点M，N分别在线段OB，EF上运
动，所以设 ＝λ （0≤λ≤1）， ＝μ （0≤μ≤1），所以
M（2λ＋2，4λ，2－2λ），N（2μ，4，2＋2μ），所以｜ ｜＝
＝
，所以当μ＝λ＝ 时，｜ ｜min＝
＝2 .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知向量a＝（x，1，2），b＝（1，y，－
2），c＝（3，1，z），且a∥b，b⊥c.
（1）求向量a，b，c的坐标；
解：∵向量a＝（x，1，2），b＝（1，y，－2），c＝（3，1，
z），且a∥b，b⊥c，
易知y≠0，否则a∥b不成立，
∴ 解得x＝－1，y＝－1，z＝1.
∴向量a＝（－1，1，2），b＝（1，－1，－2），c＝（3，1，1）.
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（2）求a＋c与b＋c所成角的余弦值.
解：∵a＋c＝（2，2，3），b＋c＝（4，0，－1），
∴（a＋c）·（b＋c）＝2×4＋2×0＋3×（－1）＝5，
｜a＋c｜＝ ＝ ，｜b＋c｜＝ ＝ ，
∴向量a＋c与b＋c所成角的余弦值为 ＝ ＝ .
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16. （本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为 .
（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
解：证明： ＝ ＋ ， ＝ ＋ .因为
BB1⊥平面ABC，所以 · ＝0， · ＝0.
又△ABC为正三角形，所以＜ ， ＞＝π－＜ ， ＞
＝π－ ＝ ，
所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋ ＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＋ ＝－1＋1＝0，
所以 ⊥ ，所以AB1⊥BC1.
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（2）设AB1与BC1的夹角为 ，求侧棱的长.
解：由（1）知 · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜
， ＞＋ ＝ －1.
又｜ ｜＝
＝ ＝｜ ｜，
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ .
所以｜ ｜＝2，即侧棱长为2.
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17. （本小题满分15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互
相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.
（1）求直线BF与平面ABCD所成角；
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解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD.
以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得A（0，1，0），B（－ ，0，0），C（0，－1，0），D（ ，0，0），F（0，1，2）.
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由题意可知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1），
又 ＝（ ，1，2），设直线BF与平面ABCD所成角为θ，
则有 sin θ＝｜ cos ＜m， ＞｜＝ ＝ ＝ ，即θ＝45°.
所以直线BF与平面ABCD所成角为45°.
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（2）求点A到平面FBD的距离.
解：因为 ＝（2 ，0，0）， ＝（ ，1，2），
设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z），
则
即
令z＝1得n＝（0，－2，1），又因为 ＝（0，0，2），
所以点A到平面FBD的距离d＝ ＝ ＝ .
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18. （本小题满分17分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2 ，E
为线段DC的中点，将△ADE沿直线AE折起，使得DC＝ ，如图2.
（1）求证：BE⊥平面ADE；
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解：证明：如图1，连接BE，取线段AE的中点O，连
接DO，OC，在Rt△ADE中，DA＝DE＝ ，
所以DO⊥AE，DO＝OA＝OE＝1.
在△OEC中，OE＝1，EC＝ ，∠OEC＝ ，
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由余弦定理可得OC2＝1＋2＋2×1× × ＝5，所以OC＝ .
在△DOC中，DC2＝6＝DO2＋OC2，所以DO⊥OC.
又AE∩OC＝O，AE，OC 平面ABCE，
所以DO⊥平面ABCE.
又DO 平面ADE，所以平面ADE⊥平面ABCE.
在△ABE中，AE＝BE＝2，AB＝2 ，
所以AE2＋BE2＝AB2，所以BE⊥AE.
因为平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE 平面ABCE，所以BE⊥平面ADE.
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（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为
？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置.
解：存在.过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l分别为x轴、y轴、z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），D（1，0，1），C（－1，1，0），A（2，0，0），B（0，2，0），平面ADE的一个法向量为n1＝（0，1，0），假设存在点H符合题意，设 ＝t （0≤t≤1），
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则 ＝t（－2，2，0）＝（－2t，2t，0），
则 ＝ － ＝（－3，1，0）－（－2t，2t，0）＝（2t－3，1－
2t，0）， ＝（－2，1，－1）.
设平面DHC的法向量为n2＝（x，y，z），
则n2· ＝0，n2· ＝0，
即 令y＝2t－3，则x＝2t－1，z＝－2t
－1，所以n2＝（2t－1，2t－3，－2t－1）.
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由已知 cos ＝ ＝ ＝
，
解得t＝ 或t＝－ （舍去），
所以存在点H符合题意，此时 ＝ ，即H为AB的中点.
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19. （本小题满分17分）如图，已知向量 ＝a， ＝b， ＝c，可
构成空间向量的一个基底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，
b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种
运算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），显然a×b的结果
仍为一向量，记作p.
（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；
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解：证明：因为p·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1
－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3＋a3a1b2－a3a2b1＝0，
所以p⊥a，即p⊥ ，
因为p·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0，
所以p⊥b，即p⊥ ，
又因为OA∩OB＝O，OA，OB 平面OAB，
所以p⊥平面OAB，
所以向量p为平面OAB的法向量.
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（2）若a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），求以OA，OB为邻
边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与｜a×b｜
的大小；
解： cos ∠AOB＝ ＝ ＝ ，
则 sin ∠AOB＝ ，
故S四边形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜· sin ∠AOB＝3×3× ＝6 ，
由a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3 ，0，－3），
所以｜a×b｜＝ ＝6 ，
所以S四边形OADB＝｜a×b｜.
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（3）将四边形OADB按向量 ＝c平移，得到一个平行六面体OADB-
CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与｜（a×b）·c｜的大小.（注：
第（2）小题的结论可以直接应用）
解：设点C到平面OAB的距离为h， 与平面OAB
所成的角为α，
则V＝S四边形OADB·h＝｜a×b｜｜c｜ sin α，
由（1）得向量p为平面OAB的法向量，
则｜ cos ＜a×b，c＞｜＝ sin α，
又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c｜ cos ＜a×b，c＞，
所以V＝｜（a×b）·c｜.
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