《创新课堂》1.1.1第一课时　空间向量及其线性运算 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共61张PPT)
第一课时　空间向量及其线性运算
1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念（数学抽象、直观想象）.
2. 经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程（数学抽象、直观想象）.
3. 掌握空间向量的线性运算及其运算律，体会数学运算在研究几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，
情境导入
可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？这就是今天我们要学习的内容.
知识点一　空间向量的有关概念
01
知识点二　空间向量的加、减运算
02
知识点三　空间向量的数乘运算
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
空间向量的有关概念
问题1　（1）在必修第二册中我们已经学面向量，回忆一下平面向
量是如何定义的，平面向量如何表示，什么是相等向量？
提示：平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量；平面向量有两种表示
法：①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：用有向线
段表示.方向相同且模相等的向量称为相等向量.
（2）你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
提示：能.空间向量是平面向量的推广，其表示方法及一些相关概念与平
面向量一致.
【知识梳理】
1. 空间向量的概念与表示
（1）概念：在空间，具有 和 的量叫做空间向量；空间
向量的 叫做空间向量的长度或 ；
大小　
方向　
大小　
模　
2. 几个特殊的空间向量
特殊向量 定义 表示法
零向量 长度为 的向量 0
单位向量 模为 的向量 ｜a｜＝1或｜
｜＝1
相反向量 与向量a长度 而方向 的向量叫做a的相反向量 －a
0　
1　
相等　
相反　
特殊向量 定义 表示法
相等向量 方向 且模 的向量 a＝b或
＝
共线向量
或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合（规定：零向量与任意向量平行） a∥b或
∥
相同　
相等　
　　提醒：（1）单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方
向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而
零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等；（2）两个空间向量相
等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同；（3）空间两
向量同样不能比较大小.
【例1】（1）〔多选〕下列命题为真命题的是（　　）
A. 若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 ＝
C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D. 将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
√
√
解析：A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题， 与 的方向相同，模也相等，故 ＝ ；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，其终点构成一个球面.故选B、C.
（2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和
终点的向量中：
①试写出与 是相等向量的所有向量；
②试写出 的相反向量.
解析：①与向量 是相等向量（除它自身之外）的有 ， ， .
②向量 的相反向量为 ， ， ， .
【规律方法】
　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如
向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空
间向量的相关概念.
训练1　下列关于空间向量的说法中正确的是（　　）
A. 方向相反的两个向量是相反向量
B. 空间向量就是空间中的一条有向线段
C. 相等向量其方向必相同
D. 空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c
解析：　相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；空间向
量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，故B错
误；相等向量其方向必相同，故C正确；平行向量不一定具有传递性，当b
＝0时，a与c不一定平行.故选C.
√
02
PART
知识点二
空间向量的加、减运算
问题2　（1）平面向量的加、减法运算有哪些？满足哪些运算律？
提示：平面向量的加、减法运算有平行四边形和三角形法则；满足交换律
与结合律.
（2）上面的平面向量的加、减法运算及运算律放在空间中还适用吗？为
什么？
提示：适用.因为空间中任意两个向量都可以通过平移转化到同一个平
面内.
【知识梳理】
名称 代数形式 几何形式 运算律
加法 ＝ ＝a
＋b 交换律：
a＋b＝ ；
结合律：a＋（b＋
c）
＝
减法 ＝ ＝a
－b ＋ 　
b＋a　
（a＋b）＋ c
－ 　
　　提醒：（1）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差
时，必须共起点；（2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的
起点指向末尾向量的终点的向量，即 ＋ ＋ ＋…＋
＝ ；（3）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则
它们的和为零向量，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝0；（4）
一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c
为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对
角线所表示的向量.
【例2】（1）化简 － ＋ 所得的结果是（　C　）
A. B.
C. 0 D.
解析： － ＋ ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故选C.
C
① ＋ － ＝ ；
② － － ＝ .
解析：① ＋ － ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
② － － ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .


（2）如图，已知四面体ABCD，E，F，G分别是边BC，CD，DB的中
点，化简以下式子：
【规律方法】
　空间向量加、减运算的两个技巧
（1）巧用相反向量：灵活运用相反向量实现向量加、减运算的相互转
化；
（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运
算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平
移获得运算结果.
训练2　（链接教材P5练习2题）在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，
化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量.
（1） ＋ － ＋ ；
解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行
四边形，
所以 ＝ ，－ ＝ ＝ ，
所以 ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＋ ＝ ，如图.
（2） － ＋ ＋ ＋ .
解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边
形，所以 ＝ .
同理易得 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
所以 － ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝
，如图.
03
PART
知识点三
空间向量的数乘运算
问题3　平面向量的数乘运算是如何定义的，有什么运算律？空间向量也
满足上述运算及运算律吗？
提示：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做
向量的数乘；向量的数乘运算满足结合律及分配律；满足.
【知识梳理】
名称 代数形式 几何形式 运算律
数乘 当λ＞0时，λa＝λ ＝ ； 当λ＜0时，λa＝λ ＝ ； 当λ＝0时，λa＝
结合律：λ（μa）
＝ ；
分配律：
（λ＋μ）a＝ ，
λ（a＋b）＝

0　
（λμ）a　
λa＋μa　
λa＋λb
　　提醒：（1）λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响
着λa的长度；（2）向量λa与向量a一定是共线向量.
【例3】（1）（链接教材P9习题2题）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.
①化简： － － ＝ 　 　；
②用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　 ＋ ＋ 　.

＋ ＋
解析：① － － ＝ － ＝ － ＝ .
② ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＝ ＋
＋ .
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在A1C上，且 ＝ .
若 ＝x ＋y ＋z ，则x＋y＋z＝ 　 　.
解析：如图， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
（ － ）＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋
＋ ，所以x＝ ，y＝ ，z＝ ，所以x＋y＋z＝ .

【规律方法】
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质；
（2）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法
则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
训练3　（1）已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的
是（　A　）
A. m（a－b）＝ma－mb
B. 若ma＝mb，则a＝b
C. 若ma＝na，则m＝n
D. 若ma＝0，则m＝0
解析：m（a－b）＝ma－mb，A正确；若m＝0，则a，b不一定相等，
B错误；若a＝0，则m，n不一定相等，C错误；若ma＝0，则m＝0或a
＝0，故D错误.故选A.
A
（2）如图，在四面体ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，则
（ ＋ ）－ （ ＋ ）＝（　C　）
A. B. C. D.
C
解析：连接BM，BN，如图所示.
因为M，N分别是AD，CD的中点，所以 （ ＋ ）
－ （ ＋ ）＝ － ＝ .故选C.
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 若｜a｜＜｜b｜，则a＜b
B. 若a，b为相反向量，则a＋b＝0
C. 共线的单位向量都相等
D. 在四边形ABCD中， － ＝
解析：　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量
的和为0，不是0，B错；共线的单位向量是相等向量或相反向量，C错；由
向量的减法法则，D正确.
√
2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　在长方体ABCD-A1B1C1D1中， ＋ ＋ ＝（ ＋
）＋ ＝ ＋ ＝ .故选D.
√
3. 已知空间向量a，b，c，化简 （a＋2b－3c）＋5（ a－ b＋ c）
－3（a－2b＋c）＝ .
解析：原式＝ a＋b－ c＋ a－ b＋ c－3a＋6b－3c＝ a＋ b－ c.
a＋ b－ c
4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， ＝ ，若 ＝x ＋y
（ ＋ ），则x＝ ，y＝ .
解析：因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ），
且 ＝x ＋y（ ＋ ），所以x＝1，y＝ .
1

课堂小结
1.理清单
（1）空间向量的相关概念；
（2）空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）；
（3）空间向量线性运算的运算律.
2.应体会
（1）由平面向量推广到空间向量采用了类比的思想；
（2）借助空间几何体进行空间向量的加、减运算时体现了数形结合思想.
3.避易错
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，
而不是一个数.
04
PART
课时作业
1. 下列命题中为真命题的是（　　）
A. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
B. 若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C. 在四边形中，一定有 ＋ ＝
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
解析：　两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同，A正确；｜a｜
＝｜b｜只能说明a，b的长度相等，而方向不确定，B错误；满足 ＋
＝ 的一定是平行四边形，一般四边形不满足，C错误；两个不相等
的空间相量，其模可以相等，D错误，故选A.
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√
2. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， ＝ ，则下列向量相等的是
（　　）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
解析：∵ ＝ ，又ABCD-A1B1C1D1为四棱柱，∴ ＝ ，故选D.
√
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3. 已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的
中点，则 － ＋ ＝（　　）
A. B. 3
C. 3 D. 2
解析：　 － ＋ ＝ －（ － ）＝ － ＝ ＋
＝ ＋2 ＝3 .
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4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若 ＝a，
＝c， ＝b，则 ＝（　　）
A. － a＋ b＋c
B. a＋ b＋c
C. － a－ b＋c
D. a－ b＋c
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解析：　因为M是A1C1的中点，所以 ＝ ＋ － ＝ －
＋ ＝ － ＋ ＝ － ＋ （ ＋ ）＝ －
＋ ＝－ a＋ b＋c.故选A.
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5. 〔多选〕已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则下列选项中正确的有（　）
A. － ＝
B. ＝ ＋ ＋
C. ＝
D. ＋ ＋ ＋ ＝
√
√
√
解析：作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'如图，可得 － ＝ ＋ ＝ ，故A正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，故B正确；C显然正确； ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故D不正确.
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6. 〔多选〕对于空间中的非零向量 ， ， 两两不等，其中可能成
立的是（　　）
A. ＋ ＝
B. － ＝
C. ｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜
D. ｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜
√
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解析：对于A，根据空间向量的加法运算， ＋ ＝ 恒成立；对于B，由向量减法可知 － ＝ ，又 为非零向量，所以B一定不成立；对于C，当 ， 方向相同时，有｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜；对于D，当 ， 方向相同且｜ ｜≥｜ ｜时，有｜ ｜－｜ ｜＝｜ ｜.
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7. 空间中任意四个点A，B，C，D，则 ＋ － ＋2
＝ .
解析： ＋ － ＋2 ＝ ＋ ＋2 ＝ ＋2 ＝2 －
＝ .

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8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知 ＝a，
＝b， ＝c，用a，b，c表示 ，则 ＝ 　－a－b＋ c　.
解析：∵ ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ，又∵M是AA1的中
点，∴ ＝ ，∴ ＝－ － ＋ ，∵ ＝a， ＝
b， ＝c，∴ ＝－a－b＋ c.
－a－b＋ c
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9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且 （ ＋
＋ ）＝λ ，则λ＝ 　　.
解析：如图，因为O为AC1与A1C的交点，
所以O为AC1的中点，所以 ＝2 ，则 （ ＋ ＋
）＝ ＝ ，故λ＝ .
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10. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，化简下列各
式，并在图中标出化简得到的向量.
（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ .如图.
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（2） ＋ ＋ ；
解：∵M是BB1的中点，
∴ ＝ ，又 ＝ ，
∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .如图.
（3） － － － .
解： － － － ＝ （ ＋ ）－
（ ＋ ）＝ － ＝ .如图.
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11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC
的中点，若 ＝x ＋2y ＋3z ，则x＋y＋z＝（　　）
A. 1 B.
C. D. 2
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解析：　因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋（
－ ），所以2 ＝ ＋ ＋ ，所以 ＝ ＋ ＋ ，所
以x＝ ，2y＝ ，3z＝ ，解得x＝ ，y＝ ，z＝ ，所以x＋y＋z＝
＋ ＋ ＝ .
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12. 〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确
的有（　　）
A. ＋ 与 ＋ 是一对相反向量
B. － 与 － 是一对相反向量
C. ＋ ＋ ＋ 与 ＋ ＋ ＋ 是一对相反向量
D. － 与 － 是一对相反向量
√
√
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解析：∵O为正方体的中心，∴ ＝－ ， ＝－ ，故 ＋ ＝－（ ＋ ），同理可得 ＋ ＝－（ ＋ ），故 ＋ ＋ ＋ ＝－（ ＋ ＋ ＋ ），∴A、C正确；∵ － ＝ ， － ＝ ，∴ － 与 － 是两个相等的向量，∴B不正确；∵ － ＝ ， － ＝ ＝－ ，∴ － ＝－（ － ），∴D正确.
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13. 在空间四边形ABCD中，连接AC，BD. 若△BCD是正三角形，且E
为其中心，则 ＋ － － ＝ .
解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则 ＝ ，故
＋ － － ＝ ＋ － ＋ ＝ ＋
＋ ＝0.
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14. 如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的
重心.
（1）求证： ＋ ＋ ＝0；
解：证明： ＝－ （ ＋ ），　①
＝－ （ ＋ ），　②
＝－ （ ＋ ），　③
由①＋②＋③得 ＋ ＋ ＝0.
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（2）化简： ＋ － － .
解：因为 ＝ × （ ＋ ）＝ （ ＋ ），
所以 ＋ － －
＝（ － ）＋ （ － ）－ × （ ＋ ）＝
＋ （ － ）－ （ ＋ ）＝0.
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15. 在平面四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即 ＝
＝λ，则有 ＝ ＋ .
（1）拓展到空间，写出空间四边形ABCD
类似的命题，并加以证明；
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解：在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即 ＝ ＝λ，则有 ＝ ＋ .证明如下：
＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ · ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ .
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（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用
上述（1）的结论表示 .
解：由（1）的结论可得 ＝
＋ ＝ ＋ .
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