《创新课堂》1.1.2　空间向量的数量积运算 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共79张PPT)
1.1.2　空间向量的数量积运算
1. 了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）.
2. 了解空间向量投影的概念及投影向量的意义（直观想象）.
3. 能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
情境导入
如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝
F·S＝｜F｜｜S｜ cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我
们引入了“数量积”的概念，那么在空间中向量的数量积又是如何定义的
呢？这就是这节课我们要学习的内容.
知识点一　空间向量的夹角
01
知识点二　空间向量的数量积
02
知识点三　投影向量
03
提能点　空间向量数量积的应用
04
目录
课时作业
05
01
PART
知识点一
空间向量的夹角
问题1　（1）回忆一下，两个平面向量a和b的夹角的定义是什么？
提示：已知两个非零向量a，b，在平面任取一点O，作 ＝a， ＝
b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞.
（2）两个平面向量夹角的定义能推广到空间中吗？为什么？
提示：能.因为任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的
向量.
【知识梳理】
定义
范围
向量 垂直 如果＜a，b＞＝ ，那么向量a，b互相垂直，记
作
∠AOB　
＜a，b＞　
[0，π]
　
a⊥b　
【例1】（1）＜a，b＞与＜b，a＞，＜－a，b＞与＜a，－b＞，＜a，
b＞与＜－a，b＞，＜a，b＞与＜－a，－b＞，之间分别有什么关系？
解：＜a，b＞＝＜b，a＞，＜－a，b＞＝＜a，－b＞，＜－a，b＞
＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞.
（2）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量 分别与向量 ，
， ， ， 的夹角.
解：连接BD（图略），
则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，
∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'，
所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝45°，
＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝135°，
＜ ， ＞＝∠D'AC＝60°，
＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°，
＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°.
【规律方法】
对两个空间向量夹角的理解
（1）求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错；
（2）两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向
时，夹角为π.
训练1　（1）对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b
＞＝0”的（　B　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：因为a∥b包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当
a∥b时，有＜a，b＞＝0或＜a，b＞＝π，不能得到＜a，b＞＝0，充
分性不成立；＜a，b＞＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，
故“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B.
B
（2）在正四面体ABCD中， 与 的夹角等于 ； 与 的
夹角等于 .
解析：由正四面体每个面都是正三角形可知，＜ ， ＞＝180°－＜
， ＞＝180°－60°＝120°；＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝
60°.
120°
60°
02
PART
知识点二
空间向量的数量积
问题2　平面向量的数量积的定义是什么？平面向量的数量积运算满足哪
些运算律？能将其推广到空间中吗？
提示：已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞叫做a，b
的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞；平面向量的
数量积运算满足：（1）数乘向量与向量数量积的结合律：（λa）·b＝λ
（a·b），λ∈R；（2）交换律：a·b＝b·a；（3）分配律：（a＋
b）·c＝a·c＋b·c；能.
【知识梳理】
1. 定义：已知两个非零向量a，b，则 叫
做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ .
2. 性质：（1）若a，b为非零向量，则a⊥b ；
（2）a·a＝ ＝ ＝a2；
（3）a·e＝｜a｜ cos ＜a，e＞（其中e为单位向量）；
（4）若a，b为非零向量，则 cos ＜a，b＞＝ ；
（5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞　
a·b＝0　
｜a｜｜a｜ cos ＜a，a＞　
｜a｜2　
3. 运算律：（1）（λa）·b＝ ，λ∈R；
（2）交换律：a·b＝ ；
（3）分配律：（a＋b）·c＝ .
　　提醒：向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
λ（a·b）　
b·a　
a·c＋b·c　
【例2】（1）思考下列问题：①由a·b＝0，能否得到a＝0或b＝0？
②对于向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？如果不能，请举出反
例？对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c能得到b＝c吗？
③对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝ （ 或b＝ ）的形式？
④对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？也就是说，向量的
数量积满足结合律吗？
解：①不一定.因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0，所以｜a｜＝0
或｜b｜＝0或 cos ＜a，b＞＝0.即a＝0或b＝0或a⊥b.
②不能.数量积运算不满足消去律，例如a＝0；不一定，只能得到｜b｜
cos ＜a，b＞＝｜c｜ cos ＜a，c＞.
③不能.数量积不是单纯的乘法，向量没有除法.
④不满足.（a·b）和（b·c）都是实数，而a和c方向也不一定相同.
（2）（链接教材P9习题4题）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边
和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算：
① · ；
② · ；
③ · ；
④ · .
解：① · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝
×1×1× cos 60°＝ .
② · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝
×1×1× cos 0°＝ .
③ · ＝ · ＝ ｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＝
×1×1× cos 120°＝－ .
④ · ＝ （ ＋ ）· （ ＋ ）
＝ [·（－ ）＋ ·（－ ）＋ · ＋ · ]＝ [－ ·
－ · ＋（ － ）· ＋ · ]
＝ ×（ － － ＋ － ＋ ）＝－ .
【规律方法】
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的
乘积；
（3）代入a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解.
训练2　（1）（2025·扬州月考）如图，在棱长为 的正方体ABCD-
A1B1C1D1中， · ＝（　A　）
A. 2 B. 1
A
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以
AB⊥AD1，所以 · ＝（ ＋ ）· ＝（ ＋ ）·
＝ · ＋ · ＝0＋ ×2× cos 45°＝2.故选A.
（2）若a，b，c为空间中两两夹角为 的单位向量， ＝2a－2b，
＝b－c，则 · ＝ .
解析：由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12× cos ＝ ，则 · ＝2（a－
b）·（b－c）＝2（a·b－a·c－b2＋b·c）＝2（ － －1＋ ）＝－1.
－1
03
PART
知识点三
投影向量
问题3　如图，在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，
对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向
量呢？
　
提示：在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，可将向量a与向量b平
移到同一个平面内，进而利用平面上求投影向量的方法， 得到向量a在向
量b上的投影向量.
【知识梳理】
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b（直线l）平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b（直线l的方向向量）共线的向量c
向量a在直线l上的投影向量 作法 图形表示 符号表示
向量a在
平面β上
的投影向
量

解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为 ， ，
由｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a
在b上的投影向量为｜a｜ cos ＜a，b＞ ＝ ＝－ b，b在a上
的投影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞ ＝ ＝－ a.
－ b
－ a
【规律方法】
投影向量中的两点注意
（1）在投影向量公式中， 是向量b的单位向量，不可以省去；
（2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为 · .
训练3　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝
BC＝a，PA＝b.
（1）确定 在平面ABC上的投影向量；
解：因为PA⊥平面ABC，所以 在平面ABC上的投影向量为 .
（2）确定 在 上的投影向量.
解：因为PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，
可得PA⊥AB，所以 · ＝0.
因为CB⊥AB，所以 · ＝0，
所以 · ＝（ ＋ ＋ ）·
＝ · ＋ · ＋ ·
＝0＋a2＋0＝a2，
又｜ ｜＝a，所以 在 上的投影向量为
｜ ｜· cos ＜ ， ＞· ＝｜ ｜· · ＝
· ＝ · ＝ .
04
PART
提能点
空间向量数量积的应用
角度1　利用数量积求夹角和模
【例4】　（1）已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝
1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　B　）
A. 6
C. 3
解析：设 ＝a， ＝b， ＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且
＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝ .由
＝a＋b＋c，得｜ ｜2＝ ＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
＝6.所以｜ ｜＝ .
B
（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜ ， ＞＝（　B　）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
B
解析：不妨设正方体的棱长为1，则 · ＝（ ＋ ）·（ ＋
）＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ ＋ · ＋
· ＝0＋ ＋0＋0＝ ＝1，又∵｜ ｜＝ ，｜ ｜＝
，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴＜ ， ＞
＝60°.
【规律方法】
1. 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
2. 利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤
（1）将此线段用向量表示；
（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用｜a｜＝ ，计算出｜a｜，即得所求距离.
角度2　利用数量积证明垂直问题
【例5】　如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，
M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB.
证明：由题意可知，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝a，且向量 ，
， 两两的夹角均为60°，连接AN（图略），
则 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ，
所以 · ＝ （ · ＋ · － ）＝ （a2 cos 60°＋a2 cos
60°－a2）＝0，
所以 ⊥ ，即MN⊥AB.
【规律方法】
利用数量积证明垂直问题的步骤
（1）把几何问题转化为向量问题；
（2）用已知向量表示所证向量；
（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
（4）将向量问题回归到几何问题.

解析：由已知得 ＝ （ ＋ ）， ＝ － ＝ － ，因
此｜ ｜＝ ｜ ＋ ｜＝ ＝ ，｜ ｜
＝｜ － ｜
＝ ＝ .又因为 · ＝ （ ＋ ）·（
－ ）＝ ×2－ ×2＋ ×2－2＝－2，所以 cos ＜ ， ＞＝
＝ ＝－ .故异面直线OE与BF所成角的余弦值为 .

（2）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中
点，正方体的棱长为1.求证： ⊥ .
证明： ＝ ＋ ＝ － ＋ ，
＝ ＋ ＝－ （ ＋ ），
所以 · ＝－ （ · ＋ · － － · ＋ · ＋
）＝－ ×（0＋0－1－0＋0＋1）＝0，
所以 ⊥ .
三垂线定理
　通过教材P10习题8题的证明，我们可得到三垂线定理：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.
该定理用数学语言描述为：如图，已知点P是平面α外一点，PA是平面α
的斜线，交α于点A，过点P作平面α的垂线PO，垂足是O，直线OA是
PA在平面α上的投影，对平面α上的任一直线l，若直线l⊥OA，则直线
l⊥PA.
【问题探究】
1. 保持上述定理的已知条件不变，若已知直线l⊥PA，能否得到直线
l⊥OA？
提示：能.取直线l的方向向量a，同时取向量 ， ， .因为
l⊥PA，所以a ⊥ ，所以a· ＝0.又因为PO⊥平面α，所以l⊥PO，
所以a⊥ ，所以a· ＝0.所以a· ＝a·（ － ）＝a· －
a· ＝0，所以l⊥OA.
2. 保持上述定理的已知条件不变，你认为直线l⊥OA是直线l⊥PA的什么
条件？
提示：充要条件.
【迁移应用】
1. 已知点P是△ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，则点P在平面
ABC上的射影一定是△ABC的（　　）
A. 内心 B. 外心
C. 垂心 D. 重心
解析：　如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连
接OA，OB，OC. 所以PO⊥平面ABC. 因为PA＝PB＝
PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以
△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO. 即点O到
三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心.
√

解析：由PA⊥平面ABC，在△ABC中，作AD⊥BC于点D，连接PD（图
略），由三垂线定理知，PD⊥BC，即PD就是点P到BC的距离.在
△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝
4，所以PD＝ ＝4 .
4
3. 等腰直角△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则
斜边上的中线CM与α所成的角为 .
解析：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，
MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角.设
AC＝BC＝1，则AB＝ ，所以CM＝ ，CO＝ ，所以
sin ∠CMO＝ ＝ ，所以∠CMO＝45°.
45°
1. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°
的是（　　）
解析：选项A中向量的夹角为45°，选项B、C、D中的向量的夹角为135°.
√
2. 已知空间向量｜a｜＝ ，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－
，则a在b上的投影向量为（　　）
解析：　a在b上的投影向量为 · ＝ · ＝－
· ＝－ b.
√
3. 在三棱锥P-ABC中，∠PAB＝∠ABC＝ ，＜ ， ＞＝ ，PA＝
2，AB＝1，BC＝3，则｜ ｜＝（　　）
B. 2 D. 1
解析：　由已知得 ＝ ＋ ＋ ，所以｜ ｜2＝（ ＋ ＋
）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋2 ·
＝22＋12＋32＋2×2×1×（ － ）＋2×2×3×（ － ）＋2×1×3×（ －
）＝3，所以｜ ｜＝ .故选C.
√
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是
C1D1的中点，则 与 所成角的大小为 ； · ＝ .
解析：法一　连接A1D（图略），则∠PA1D就是 与 所成的角，
连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝ ，即△PA1D为等边三
角形，从而∠PA1D＝60°，即 与 所成角的大小为60°，因此
· ＝ × × cos 60°＝1.
60°
1
法二　根据向量的线性运算可得 · ＝（ ＋ ）·（ ＋
）＝ ＝1.由题意可得PA1＝B1C＝ ，则 × × cos ＜
， ＞＝1， cos ＜ ， ＞＝ ，从而＜ ， ＞＝60°.
课堂小结
1.理清单
（1）空间向量的夹角；
（2）空间向量的数量积；
（3）投影向量；
（4）空间向量数量积的应用.
2.应体会
（1）求空间向量的夹角、数量积及投影向量时常用到数形结合思想；
（2）空间向量数量积的应用中注意转化与化归思想的应用.
3.避易错
当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
05
PART
课时作业
1. 在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则 与 的
夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　由题意，可得 ＝ ，所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞
＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°.
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√
2. 已知向量a和b的夹角为120°，且｜a｜＝2，｜b｜＝5，则（2a－
b）·a＝（　　）
A. 12
C. 4 D. 13
解析：　（2a－b）·a＝2a2－b·a＝2｜a｜2－｜a｜｜b｜· cos 120°
＝2×4－2×5×（ － ）＝13.
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3. 在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则
在 上的投影向量为（　　）
解析：　在空间四边形ABCD中，因为∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝
2BD，设AC＝2，BD＝1，且 · ＝ · ＝0， ＝ ＋ ＋
，则 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝｜ ｜2， 在 上的投
影向量为 · ＝ · ＝ .故选B.
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4. 设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（ ＋ －
2 ）·（ － ）＝0，则△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
解析：　因为 ＋ －2 ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋
，所以（ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜ ｜2＝0，所以｜
｜＝｜ ｜，即△ABC是等腰三角形.
√
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5. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC＝AB＝AA1＝ ，BC＝2AE
＝2，则向量 与 的夹角是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
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解析：　∵A1A⊥平面ABC，AB 平面ABC，AC 平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC. ∵AC＝AB＝ ，BC＝2，∴AB2＋AC2＝
BC2，∴AB⊥AC，又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴ ＝ （
＋ ）.∵AC＝AA1＝ ，∴A1C＝2.∵ · ＝ （ ＋
）·（ － ）＝ ＝1，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝
，又0°≤＜ ， ＞≤180°，∴＜ ， ＞＝60°.故选C.
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6. 〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出
下列命题，其中正确的是（　　）
A. （a·b）·c－（c·a）·b＝0
B. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
C. （b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
√
√
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解析：A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D.
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7. 〔多选〕如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，E，
F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
（　　）
√
√
解析：对于A，2 · ＝2a2 cos 120°＝－a2，错误；对于B，2 · ＝2 · ＝2a2 cos 60°＝a2，正确；对于C，2 · ＝
· ＝a2，正确；对于D，2 · ＝ · ＝－ · ＝－
a2，错误.
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8. 已知｜a｜＝13，｜b｜＝19，｜a＋b｜＝24，则｜a－b｜＝ .
解析：∵｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝
46，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故｜a－b｜＝22.
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解析：由条件知（a＋3b）·（7a－5b）＝7｜a｜2－15｜b｜2＋16a·b＝
0，（a－4b）·（7a－2b）＝7｜a｜2＋8｜b｜2－30a·b＝0，两式相减
得46a·b＝23｜b｜2，所以a·b＝ ｜b｜2，代入上面两个式子中的任意
一个，得｜a｜＝｜b｜，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ .

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10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，
∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°.
（1）利用空间向量证明PA⊥BD；
解：证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ － ＝b－a， ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c，所以 · ＝（b－a）·（a＋b＋c）＝b2－a2＋b·c－
a·c＝32－32＋3×4× cos 60°－3×4× cos 60°＝0，所以 ⊥ ，故PA⊥BD.
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（2）求AP的长.
解：由（1）知 ＝a＋b＋c，
所以 ＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋
2a·c
＝32＋32＋42＋2×3×3× cos 60°＋2×3×4× cos 60°＋
2×3×4× cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67.
所以AP＝｜ ｜＝ .
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11. 已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，
BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ · ＝（ ＋ ＋ ）·
＝ · ＋ ＋ · ＝0＋12＋0＝1，又｜ ｜＝2，｜ ｜＝
1.∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .∵异面直线所成的角是锐
角或直角，∴a与b所成的角是60°.
√
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12. 〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有
（　　）
√
√
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解析：　如图，（ ＋ ＋ ）2＝（ ＋ ＋
）2＝ ＝3 ，故A正确； ·（ － ）
＝ · ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝0，故B正确；
与 的夹角是 与 夹角的补角，而△ACD1为正三角形，所以 与 的夹角为60°，故 与 的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜ ｜·｜ ｜·｜ ｜，故D错误.故选A、B.
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解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性
质，可得AG＝ AD，根据向量的运算法则，可得 ＝
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ［（ － ）＋ （ － ）］＝ （ ＋ ＋ ），所以｜ ｜2＝ （ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ）＝ （9＋36＋81＋0＋0＋0）＝14，所以｜ ｜＝ ，即OG＝ .

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14. 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，点P是
B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1.
（1）求 · ；
解： · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ ·
＋ · ＋ · ，
因为AD⊥AB，AD⊥AA1，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
即 · ＝0， · ＝0，
因此 · ＝ ＝｜ ｜2＝4.
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（2）求 · 的取值范围.
解： · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ）
＝ · ＋ · ＋ · ＋ · ＋ · ＋
· ，
因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，
AB⊥BQ，
所以 · ＝0， · ＝0， · ＝0， · ＝0，
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因此 · ＝ · ＋ · ＝｜ ｜2－｜ ｜·｜ ｜，
设｜ ｜＝x，｜ ｜＝y， 0≤x≤2，0≤y≤2，
则 · ＝4－xy，
由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0，
所以0≤4－xy≤4，
故 · 的取值范围为[0，4].
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15. 如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝
， ＝λ ， ＝λ ，0＜λ＜1，记 ＝a， ＝b，
＝c.
（1）将 用a，b，c表示出来，并求｜ ｜的最小值；
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解： ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝
λ －（ ＋λ ）＝λ（a＋c）－[b＋λ（a－b）]＝（λ－1）b＋λc.
所以｜ ｜＝
＝
＝
＝3 ，
故当λ＝ 时，｜ ｜有最小值为 .
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（2）是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存
在，请说明理由.
解：假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故
MN⊥AB，MN⊥AD.
因为 · ＝[（λ－1）b＋λc]·a＝0，
所以MN⊥AB恒成立；
由 · ＝0，得[（λ－1）b＋λc]·b＝0，
即（λ－1）b2＋λb·c＝0，
所以9（λ－1）＋ λ＝0，解得λ＝ ，满足条件.
故存在λ＝ 使得MN⊥平面ABCD.
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THANKS
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