《创新课堂》1.3.1　空间直角坐标系 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共58张PPT)
1.3.1　空间直角坐标系
1. 在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角
坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置（数学抽象、直观想象）.
2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象、数学运算）.
课标要求
　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度.只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？
情境导入
知识点一　空间直角坐标系及点的坐标
01
知识点二　空间向量的坐标表示
02
知识点三　空间点的对称问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
空间直角坐标系及点的坐标
｜问题1　在平面中，我们可选定一点O和一个单位正交基底{i，j}来建立平面直角坐标系，类似地，你认为应如何建立空间直角坐标系？
提示：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直
角坐标系.
【知识梳理】
1. 空间直角坐标系及相关概念
（1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，
k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位
长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们
就建立了一个 ；
（2）相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过
的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平
面， 平面，它们把空间分成八个部分.
　　提醒：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或
45°），∠yOz＝90°.
x轴、y轴、z轴　
空间直角坐标系Oxyz　
O　
每两
条坐标轴　
Oxy　
Oyz　
Ozx　
2. 右手直角坐标系
如图，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指
向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为
右手直角坐标系.
x轴　
y轴　
z轴　
3. 空间点的坐标
在单位正交基底{i，j，k}下， ＝xi＋yj＋zk，其对应的有序实数
组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A
（x，y，z），其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标，
z叫做点A的 坐标.
（x，y，z）　
x　
y　
竖　
【例1】（1）已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴
的正方向上的单位向量，若 ＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋
k，c＝k＋i，则点A的坐标为（　　）
A. （12，14，10） B. （10，12，14）
C. （14，10，12） D. （4，2，3）
解析：　 ＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k，
故点A的坐标为（12，14，10）.
√
（2）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角
坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标.
解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方
形的对角线长为4 ，正四棱锥的高为2 .
所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2 ，0，0），B（0，2 ，
0），C（－2 ，0，0），D（0，－2 ，0），P（0，0，2 ）.
【规律方法】
求空间一点P的坐标的两种方法
（1）利用点在坐标轴上的投影求解；
（2）利用单位正交基底表示向量 ， 的坐标就是点P的坐标.
训练1　（链接教材P18例1（1））如图所示，在正四棱柱ABCD-
A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝
6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.
（1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建
立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
解：在正方形ABCD中，AB＝6，
∴AC＝BD＝6 ，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3 .
∴各点坐标分别为A（3 ，0，0），B（0，3 ，0），C（－3 ，
0，0），D（0，－3 ，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1
（3 ，0，4），B1（0，3 ，4），C1（－3 ，0，4），D1（0，－
3 ，4），M（0，3 ，2），N（－3 ，0，3）.
（2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建
立空间直角坐标系，求图中各点的坐标.
解：同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，
0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，
4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）.
02
PART
知识点二
空间向量的坐标表示
问题2　在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面内的任意一个向
量，类似地，在空间直角坐标系中，任意向量都可以用坐标表示吗？
提示：可以.
【知识梳理】
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 ＝a.由空间向量基本定
理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数
组 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记
作a＝ .
　　提醒：符号（x，y，z）具有双重意义，它既可以表示向量，也可以
表示点，在表述时要注意区分.
（x，y，z）　
（x，y，z）　
【例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，
∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量
， ， 的坐标.
解：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，建立空
间直角坐标系Cxyz，如图所示.
记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则
＝i， ＝j， ＝2k，
则 ＝ ＋ ＝ － ＋ ＝i－j＋k＝（1，－1，1）.
＝ ＋ ＝ － ＋ ＝i－j＋2k＝（1，－1，2）.
＝ ＋ ＝ － － ＝－i＋j－2k＝（－1，1，－2）.
【规律方法】
用坐标表示空间向量的步骤
训练2　如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面.M，N分别是AB，PC
的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，则向量 ，
， 的坐标分别为 ， ，
.
（0，1，0）
（－1，0，0）
（0，
， ）
解析：因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，
AB⊥AD，以{ ， ， }为单位正交基底，建立空
间直角坐标系如图所示.
所以 ＝ ＝0i＋1j＋0k＝（0，1，0）， ＝－
＝－i＋0j＋0k＝（－1，0，0）， ＝ ＋ ＋
＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ （ ＋ ）＝－ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＝0i＋ j＋ k＝（0， ， ）.
03
PART
知识点三
空间点的对称问题
问题3　（1）在平面直角坐标系中，设P（x，y），则P关于x轴、y
轴、原点的对称点的坐标是什么？
提示：分别为（x，－y），（－x，y），（－x，－y）.
（2）类比在平面直角坐标系中P（x，y）关于x轴、y轴、原点的对称点
的坐标的特点，你认为空间点P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称
点的坐标是什么？
提示：P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是分别为
（x，－y，－z），（－x，y， －z），（－x，－y，－z）.
【例3】（链接教材P22习题2题）在空间直角坐标系中，已知点P（－2，
1，4）.
（1）求点P关于x轴对称的点的坐标；
解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量
变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）.
（2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
解：由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的
分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2，1，－4）.
（3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标.
解：设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，
y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12，
所以P3的坐标为（6，－3，－12）.
【规律方法】
空间点的对称问题的解题策略
（1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握
对称点的变化规律，才能准确求解；
（2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相
反”这个结论.
训练3　已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关
于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐
标为 .
解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，
1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关
于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）.
（2，－3，1）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在空间中，过x轴，y轴的平面叫做Oxy平面. （　√　）
（2）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式. （　×　）
（3）空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的
形式. （　√　）
（4）向量a的坐标可表示为a（x，y，z）的形式. （　×　）
√
×
√
×
2. 在空间直角坐标系中，点P（－1，－2，－3）到平面Oyz的距离是
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D.
解析：点P到平面Oyz的距离就是点P的横坐标的绝对值.
√
3. 点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为 ；点P关于z轴的对称点P2的坐标为 .
解析：点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，1，－
1），点P关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1，1）.
（1，1，－1）
（－1，－1，1）
4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，P为
C1D1的中点，若正方体的棱长为1，则点P的坐标为 ，
的坐标为 .
（ ，1，1）
（1，0，1）
解析：由题意可知，点P的坐标为（ ，1，1），记x，y，z轴正方向上
的单位向量分别为i，j，k，则 ＝i， ＝j， ＝k，又 ＝
＋ ＝ ＋ ＝i＋0j＋k＝（1，0，1）.
课堂小结
1.理清单
（1）空间直角坐标系；
（2）空间点及向量的坐标表示；
（3）空间点的对称问题.
2.应体会
（1）空间直角坐标系的建立、空间点及向量的坐标表示及空间点的对称
问题，运用了类比联想的思想；
（2）求空间点及向量的坐标时运用了数形结合的思想.
3.避易错
混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才
和终点的坐标相同.
04
PART
课时作业
1. （2025·南京月考）设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝
4i－8j＋3k，b＝－2i－3j＋7k，则a＋b的坐标为（　　）
A. （2，－11，10） B. （－2，11，－10）
C. （－2，11，10） D. （2，11，－10）
解析：　a＋b＝2i－11j＋10k，由于{i，j，k}是空间向量的一个单位
正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）.
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√
2. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　）
A. 向量 的坐标与点B的坐标相同
B. 向量 的坐标与点A的坐标相同
C. 向量 与向量 的坐标相同
D. 向量 与向量 － 的坐标相同
解析：　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不
正确；因为 ＝ － ，所以D正确，故选D.
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3. 已知点B的坐标是（－1，2，1），则｜ ｜＝（　　）
A. B. 6
C. D. 5
解析：　由B点坐标是（－1，2，1），得 ＝－i＋2j＋k，故｜
｜2＝1＋4＋1＝6，故｜ ｜＝ .
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4. （2025·枣庄月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝ A1B1，则 ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则 ＝
i， ＝j， ＝k，又 ＝ ＋ ，B1E＝ A1B1，所以 ＝
－ ＝0i－ j＋k＝（0，－ ，1）.
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5. （2025·济宁月考）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-
ABCD的底面边长为2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为（　　）
A. （ ，0， ）
B. （－ ，0， ）
C. （ ， ， ）
D. （－ ， ， ）
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解析：　由题意知PO＝ ＝ ＝ ，点M
在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标
分别为－ ，0， ，所以点M的坐标为（－ ，0， ）.
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6. 〔多选〕下列各命题正确的是（　　）
A. 点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3）
B. 点 关于y轴的对称点为
C. 点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1
D. 设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝
（3，－2，4）
√
√
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解析：A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则点 关于y轴的对称点为 ，正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到平面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确.故选A、B、D.
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7. 〔多选〕在空间直角坐标系Oxyz中，对于点（0，m2＋2，m），下列
说法可能正确的是（　　）
A. 在y轴上 B. 在Oxz坐标平面上
C. 在Oyz坐标平面上 D. 在x轴上
解析：AC　若m＝0，点（0，2，0）在y轴上； 若m≠0，点（0，m2＋
2，m）的横坐标为0，纵坐标大于0，竖坐标不为0，点（0，m2＋2，m）
在Oyz坐标平面上.故选A、C.
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8. 在空间直角坐标系中，已知点P（1， ， ），过点P作平面Oyz的
垂线PQ，则垂足Q的坐标为 .
解析：由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0.
（0， ， ）
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9. 设x为任意实数，则点P（x，1，－3）表示的图形为
.
解析：由空间直角坐标系中点的坐标特点可知，由于y轴上坐标与z轴
上坐标已确定，所以点P表示的图形为过（0，1，－3）且平行于x轴的
一条直线.
过（0，1，－
3）且平行于x轴的一条直线
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10. 如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D中，AA1＝2，底面ABCD是直角
梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，请建立适当的
空间直角坐标系.
（1）求四棱柱各顶点的坐标；
解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所
在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
（1）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），
C（0，1，0），A1（2，0，2），B1（2，4，2），C1
（0，1，2），D1（0，0，2）.
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解：设i，j，k分别是x，y，z轴上的单位向量，
＝ ＋ ＝－ － ＝－2i－4j＋0k＝（－2，－
4，0）.
由题意知， ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋
－ － ＝－2i＋j－4j－2k＝－2i－3j－2k＝（－
2，－3，－2）.
（2）求向量 ， 的坐标.
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11. 若p＝xa＋yb＋zc，则称（x，y，z）为p在基底{a，b，c}下的坐
标.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），则向量p在基
底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（　　）
A. （ ， ，3） B. （ ，－ ，3）
C. （3，－ ， ） D. （－ ， ，3）
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解析：　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z），则p
＝a＋2b＋3c＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－
y）b＋zc，所以 解得 故p在基底{a＋b，a－
b，c}下的坐标为（ ，－ ，3）.
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12. 〔多选〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1
＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标
系，则下列说法正确的是（　　）
A. 点B1的坐标为（4，5，3）
B. 点C1关于点B对称的点为（5，8，－3）
C. 点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D. 点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）
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解析：依据空间中点的坐标的定义可知，B1（4，5，3），C1（0，5，3），A（4，0，0），C（0，5，0），故A正确；设点C1关于点B（4，5，0）的对称点为（x1，y1，z1），由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为（8，5，－3），故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3，易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为（8，5，0），故D正确.故选A、C、D.
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13. 如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图
所示的空间直角坐标系，则 的坐标为 ， 的坐标
为 .
（0，0，－ ）
（0，－ ，－ ）
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解析：由题意可知，BG＝ BE＝ × ＝ ，所以AG＝ ＝
，所以 ＝0i＋0j－ k＝（0，0，－ ）， ＝ － ＝0i－
j－ k＝（0，－ ，－ ）.
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14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图
所示.
（1）写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标；
解：由题易知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2）.
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（2）求向量 在向量 上的投影向量的坐标.
解：易知向量 在向量 上的投影向量为 ，在单位正交基底{i，j，k}下， ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－2i＋2j，故 ＝（－2，2，0）.
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15. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，
试建立适当的空间直角坐标系.
（1）求点A1，B，C的坐标；
解：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接DD1，DA，
易知DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别
以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建
立空间直角坐标系，如图所示.
（1）因为AD＝ ，BD＝DC＝ ，所以A1（0， ，2），B（－ ，
0，0），C（ ，0，0）.
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解：设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，
由已知，得 ＝ ＝2k，
＝－ － ＋ ＝－ i－ j＋2k，
＝ － ＋ ＝ i－ j＋2k，
所以 ＝（0，0，2）， ＝（－ ，－ ，2）， ＝（ ，－
，2）.
（2）求向量 ， ， 的坐标.
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