《创新课堂》1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共78张PPT)
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
1. 掌握空间向量运算的坐标表示（数学运算）.
2. 会判断两个向量是否共线或垂直（逻辑推理、数学运算）.
3. 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
　　前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来，那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，能否可以探究出空间向量运算的坐标表示呢？
情境导入
知识点一　空间向量运算的坐标表示
01
知识点二　空间向量平行、垂直的坐标表示
02
知识点三　空间夹角、距离的计算
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
空间向量运算的坐标表示
问题1　（1）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2，
a3），b＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b
的坐标表示吗？
提示：若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝
（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3），
λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
（2）你能证明空间向量数量积运算的坐标表示吗？
提示：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，
b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a·b＝（a1i＋a2j＋a3k）·（b1i＋b2j＋b3k）.
利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，得
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
【知识梳理】
1. 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝
减法 a－b＝
数乘 λa＝ （λ∈R）
数量积 a·b＝
（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　
（a1－b1，a2－b2，a3－b3）　
（λa1，λa2，λa3）　
a1b1＋a2b2＋a3b3　
2. 设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 ＝
.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点
坐标 起点坐标.
（x2－x1，y2－
y1，z2－z1）　
减去　
【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，
3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝ ，q＝ ，求下列
各式的值：
（1）p＋2q；
解：由于A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2，
－1，－2），
所以p＝ ＝（2，1，3），q＝ ＝（2，0，－6）.
p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）.
（2）3p－q；
解：3p－q＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－
6）＝（4，3，15）.
（3）（p－q）·（p＋q）.
解：（p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2＝（22＋12＋32）－
[22＋02＋（－6）2]＝－26.
【规律方法】
空间向量坐标运算的规律及注意点
（1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标
确定；
（2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式
计算；
（3）由条件求向量或点的坐标：把所求向量或点的坐标设出来，通过解
方程（组），求出其坐标.
训练1　（1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝
2a，则点B的坐标为（　D　）
A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24）
C. （－6，8，24） D. （－5，6，24）
解析：∵a＝（－3，4，12），且 ＝2a，∴ ＝（－6，8，
24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0）， ＝ ＋
＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－
5，6，24）.故选D.
D
（2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，
2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件 ＝ （ － ）
的点P的坐标为 .
解析：法一（直接法）　因为 ＝ （ － ），所以 － ＝
， ＝ ＋ （ － ）＝（2，－1，2）＋ [（4，5，－1）－
（－2，2，3）]＝（5， ，0），所以点P的坐标为（5， ，0）.
（5， ，0）
法二（间接法）　设P（x，y，z），则 ＝（x－2，y＋1，z－2）.
因为 ＝ （ － ）＝（3， ，－2），所以 解得
则点P的坐标为（5， ，0）.
02
PART
知识点二
空间向量平行、垂直的坐标表示
问题2　类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2，
a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b
的坐标表示吗？
提示：a∥b （a1，a2，a3）＝λ（b1，b2，b3）（λ∈R） a1＝
λb1，a2＝λb2，a3＝λb3；a⊥b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
【知识梳理】
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有：
（1）平行关系：当b≠0时，a∥b a＝λb ，
， （λ∈R）；
（2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0
.
　　提醒：（1）要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证
明a＝λb（b≠0）；（2）当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b
平行的条件还可以表示为a∥b ＝ ＝ .
a1＝λb1　
a2＝
λb2　
a3＝λb3　
a1b1＋a2b2＋
a3b3＝0　
【例2】（链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，
G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点.
求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；
证明：如图，以A为坐标原点，以{ ， ， }为正
交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A
（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，
1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，
1）.由中点坐标公式，得E（1，1， ），F（1， ，0），G（ ，1，0），H（ ， ，1）.
＝（1，0，1）， ＝（ ，0， ）， ＝（－ ，－ ， ）.
因为 ＝2 ， · ＝1×（－ ）＋1× ＝0，
所以 ∥ ， ⊥ ，即AB1∥GE，AB1⊥EH.
（2）A1G⊥平面EFD.
证明： ＝（ ，1，－1）， ＝（1，－ ，0）， ＝（1，0， ）.
因为 · ＝ － ＋0＝0， · ＝ ＋0－ ＝0，
所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
因为DF∩DE＝D，DF，DE 平面EFD，所以A1G⊥平面EFD.
【规律方法】
向量平行、垂直的应用
（1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数；
（2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系
①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系；
②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题
转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明.
训练2　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b
与2a－b互相垂直，则k＝（　　）
A. 1 B.
C. D.
解析：　ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2），（ka＋
b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝ .
√
（2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝
，AF＝1，M是线段EF的中点.求
证：AM∥平面BDE.
证明：如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为（ ， ，0），（0，0，1）.
∴ ＝（－ ，－ ，1）.
又点A，M的坐标分别是（ ， ，0），（ ， ，1），
∴ ＝（－ ，－ ，1）.
∴ ＝ .又NE与AM不共线，
∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
03
PART
知识点三
空间夹角、距离的计算
问题3　类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示
推导出空间两点的距离公式吗？
提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1（x1，y1，
z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点， ＝
－ ＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1），
于是｜ ｜＝ ＝
，
所以P1P2＝｜ ｜＝
，
因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
则AB＝｜ ｜＝
.
【知识梳理】
1. 若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）， cos ＜a，b＞＝
＝ .
　
设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜ ｜
＝ .
　　提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与
CD所成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜；（2）求空间中线
段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量
模的计算公式.
　
2. 空间两点间的距离公式
【例3】（链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底
面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝ ，AA'＝2，点N是A'A的中点.
（1）求｜ ｜；
解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线
分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）.
则 ＝（1，－1，1），
｜ ｜＝ ＝ .
（2）求 cos ＜ ， ＞的值.
解：由题意，得B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B'
（0，1，2）.
因为 ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2），
所以｜ ｜＝ ＝ ，
｜ ｜＝ ＝ ，
· ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3，
cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
【规律方法】
利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤
第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
第三步，计算：结合公式进行计算；
第四步，转化：转化为夹角与距离问题.
训练3　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的
角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝
1，AD＝2.
（1）求BP的长；
解：如图，建立空间直角坐标系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）.
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的
角，
∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2 .
∴P（0，0，2 ）.
∴BP＝ ＝4 .
（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值.
解：由（1）得， ＝（2，0，－2 ），
＝（－2，－3，0），
∴ cos ＜ ， ＞＝
＝ ＝－ ，
∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为 .
向量概念的推广
向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际
问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以
再进一步推广？
结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维
向量空间，a＝（a1，a2，…，an）.
对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则
a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）；
λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R；
a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋
anbn；
｜a｜＝ .
n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的
“距离”｜AB｜＝ .
【迁移应用】
某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量
表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表
示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了
的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩.
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别
加起来，然后再乘以 ，即
ai＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5），
其中 aij为第j门课程的平均成绩.
1. 〔多选〕已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列
结论正确的是（　　）
A. a＋b＝（7，－5，0） B. a－b＝（5，－1，4）
C. a·b＝8 D. ｜a｜＝
解析：　因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝
（7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b
＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝ ＝3，故D不正
确.故选A、C.
√
√
2. 〔多选〕已知a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），c＝（－4，－
6，2），则下列结论不正确的是（　　）
A. b∥c B. a∥b
C. a⊥b D. a⊥c
√
√
√
解析：对于A，由向量b＝（2，0，4），c＝（－4，－6，2），可得 ≠ ≠ ，所以向量b与c不共线，所以A不正确；对于B，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），可得 ≠ ≠ ，所以向量a与b不
共线，所以B不正确；对于C，由向量a＝（2，3，－1），b＝（2，0，
4），可得a·b＝2×2＋3×0＋（－1）×4＝0，所以a⊥b，所以C正确；
对于D，由a＝（2，3，－1），c＝（－4，－6，2），可得a·c＝2×（－
4）＋3×（－6）＋（－1）×2≠0，所以向量a与c不垂直，所以D不正
确.故选A、B、D.
3. 已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量
与 的夹角为 .
解析：∵ ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0），∴｜ ｜＝
3 ，｜ ｜＝ ， · ＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴ cos ＜
， ＞＝ ＝ ，又∵＜ ， ＞∈[0，π]，∴＜ ，
＞＝ .

4. 如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，
BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角
坐标系Oxyz.
（1）写出点E，F的坐标；
解：E（a，x，0），F（a－x，a，0）.
（2）求证：A1F⊥C1E.
解：证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a），
∴ ＝（－x，a，－a）， ＝（a，x－a，－a），
∴ · ＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0，
∴ ⊥ ，∴A1F⊥C1E.
课堂小结
1.理清单
（1）空间向量的坐标运算；
（2）空间向量平行、垂直的坐标表示；
（3）空间向量夹角、模的坐标表示.
2.应体会
（1）在探究空间向量运算的坐标表示时，运用了类比联想的数学思想；
（2）在证平行与垂直、求长度及夹角时要注意数形结合思想的应用.
3.避易错
（1）两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件；
（2）讨论向量夹角时，易忽略向量共线的情况；
（3）要注意异面直线所成的角与向量夹角的区别.
04
PART
课时作业
1. 已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若 ＝ （O为坐标原
点），则点C的坐标是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）＝ .∴点C的坐标为 .故选B.
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√
2. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝ ，
若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝
7，得a·c＝－7，而｜a｜＝ ＝ ，所以 cos ＜a，c＞＝
＝－ ，所以＜a，c＞＝120°.
√
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3. 已知 ＝（1，5，－2）， ＝（3，1，z），若 ⊥ ， ＝
（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝（　　）
A. B.
C. 1 D.
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解析：　由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又 ⊥ ，
∴ 即 解得x＝ ，y＝－ ，z
＝4，∴x＋y＝ － ＝ .
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4. 在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B
（1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（　　）
A. （－1，－1，3） B. （3，0，1）
C. （1，1，2） D. （1，－1，2）
解析：　由 ＝（1，2，1）， ＝（1，－1，0），显然 ， 不
共线，根据平面向量基本定理可得 ＝λ ＋μ ＝（λ＋μ，2λ－
μ，λ），故C点坐标为（λ＋μ，2λ－μ，λ），经验算只有B选项符
合条件，此时λ＝1，μ＝2.故选B.
√
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5. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C
（6，－1，4），则△ABC一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　∵ ＝（3，4，－8）， ＝（5，1，－7）， ＝（2，－
3，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝
＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，∴｜
｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC一定是直角三角形.
√
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6. 〔多选〕已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下
列结论正确的有（　　）
A. （2a＋b）∥a
B. 5｜a｜＝ ｜b｜
C. a⊥（5a＋6b）
D. a与b夹角的余弦值为
√
√
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解析：　因为2a＋b＝（－1，2，7），a＝（－2，－1，1），而
≠ ≠ ，所以2a＋b与a不共线，故A不正确；因为｜a｜＝ ，｜
b｜＝5 ，所以5｜a｜＝ ｜b｜，故B正确；因为a·（5a＋6b）＝
5a2＋6a·b＝5×（4＋1＋1）＋6×（－6－4＋5）＝0，所以a⊥（5a＋
6b），故C正确；因为a·b＝－5，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝－ ，
故D不正确.
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7. 〔多选〕已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下
列结论中正确的是（　　）
A. 若｜a｜＝2，则m＝±
B. 若a⊥b，则m＝－1
C. 不存在实数λ，使得a＝λb
D. 若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2）
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解析：　由｜a｜＝2，可得 ＝2，解得m＝± ，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则 显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误.
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8. 已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小
值是 .
解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，
2t－1，0）.∴｜b－a｜＝ ＝
＝ .∴当t＝ 时，｜b－a｜取最小值，最小
值为 .

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9. 在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），
则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为 .
解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P（a，0，b），因为A，B，P三
点共线，则 ∥ ，因为A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），所
以 ＝（a－1，2，b＋3）， ＝（1，1，2），则 ＝ ＝ ，解
得 则P（3，0，1）.
（3，0，1）
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10. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，
BB1的中点.
（1）求证：CF⊥平面DEF；
解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D（0，0，0），E（0，0， ），B（1，1，0），C
（0，1，0），F（ ， ，0），G（1，1， ）.
所以 ＝（1，1，0）， ＝（ ， ，－ ）， ＝
（ ，－ ，0）， ＝（1，0， ）， ＝（0，－1， ）.
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证明：因为 · ＝ ×1－ ×1＝0， · ＝ × － × ＝0，所以 ⊥ ， ⊥ ，即CF⊥DB，CF⊥EF，
又DB，EF 平面DEF，DB∩EF＝F，
故CF⊥平面DEF.
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（2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值.
解：因为 · ＝ ×1＋ ×0＋（－ ）× ＝ ，｜ ｜＝
＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为 .
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11. 已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝角，则实
数t的取值范围为（　　）
A. （－∞，－6）
B. （－∞，－6）∪（－6， ）
C. （ ，＋∞）
D. （－∞， ）
√
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解析：　因为向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2，t）的夹角为钝
角，所以a·b＜0，且a，b不共线，则a·b＝－10＋3t＜0，解得t＜ .当
a∥b时，t＝－6，所以实数t的取值范围为（－∞，－6）∪（－6，
）.故选B.
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12. 已知向量a＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，
2）.在直线AB上，存在一点E，使得 ⊥a，其中O为坐标原点，则点
E的坐标为（　　）
A. （ ，－ ， ） B. （ ，－ ，－ ）
C. （－ ，－ ， ） D. （－ ，－ ，－ ）
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解析：　设 ＝λ ，因为A（－3，－1，4），B（－2，－2，2），所以 ＝（1，－1，－2）， ＝（λ，－λ，－2λ）， ＝（3，1，－4）， ＝ － ＝（λ－3，－λ－1，－2λ＋4），因为 ⊥a，所以－2（λ－3）＋（－λ－1）＋（－2λ＋4）＝0，解得λ＝ ，又A（－3，－1，4）， ＝（ ，－ ，－ ），所以点E的坐标为（－ ，－ ， ）.
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13. 已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5，
6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 .
解析：由已知得 ＝（2，－6，4）， ＝（－4，－2，6），所以｜
｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝
2 ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，又＜ ，
＞∈[0，π]，则 sin ＜ ， ＞＝ ＝ ，所
以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝ ×2 ×2 × ×2
＝28 .
28
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14. 在①（ ＋ ）⊥（ － ）；②｜ ｜＝ ；③0＜ cos ＜ ， ＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.
问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间
直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动
点，F为棱B1C1上的动点， 　　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？
若存在，求 · 的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（2，0，0），B
（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0），设E
（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则 ＝（b，
2－a，0）， ＝（－2，2，－2）， ＝（－2，a，2）， ＝（b
－2，0，2），所以 · ＝4－2（a＋b）， · ＝8－2b.
选择①：因为（ ＋ ）⊥（ － ），
所以（ ＋ ）·（ － ）＝0， ＝ ，得a＝b，
若 · ＝0，得4－2（a＋b）＝0，则a＝b＝1，
故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足EF⊥A1C，此时 ·
＝8－2b＝6.
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选择②：因为｜ ｜＝ ，所以 ＝ ，得a＝ ，
若 · ＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝ .
故存在点E（0， ，2），F（ ，2，2），满足EF⊥A1C，此时 ·
＝8－2b＝5.
选择③：因为0＜ cos ＜ ， ＞＜1，所以 与 不共线，
所以b≠2－a，即a＋b≠2，
则 · ＝4－2（a＋b）≠0，
故不存在点E，F满足EF⊥A1C.
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15. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如
果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.
现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐
标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜
60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下
三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋
zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为
[x，y，z]，记作n＝[x，y，z].
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（1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
解：由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，知a＝i
＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，
所以a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k，
所以a＋b＝[0，3，5].
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②若 ＝[2，t，0]，且 ⊥ ，求｜ ｜.
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD
＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{ ， ， }为基底建立“空
间斜60°坐标系”.
①若 ＝ ，求向量 的斜60°坐标；
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解：设i，j，k分别为与 ， ， 同方向的
单位向量，
则 ＝2i， ＝2j， ＝3k，
① ＝ －
＝（ ＋ ）－（ ＋ ）
＝－ ＋ ＋
＝－2i＋2j＋ k＝［－2，2， ］.
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②由题得 ＝ ＋ ＋ ＝2i＋2j＋3k，
因为 ＝[2，t，0]，所以 ＝2i＋tj，
由 ⊥ 知 · ＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0 4i2＋2tj2＋
（4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0 4＋2t＋（4＋2t）· ＋3＋ ＝0 t＝－2.
则｜ ｜＝｜2i－2j｜＝
＝ ＝ ＝2.
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演示完毕 感谢观看