《创新课堂》1.4.1第三课时　空间中直线、平面的垂直 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共84张PPT)
第三课时　空间中直线、平面的垂直
1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（数学抽象、逻辑推理）.
2. 能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
情境导入
　　观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直.那么如何用向量来
表示二者的关系呢？
知识点一　直线与直线垂直
01
知识点二　直线与平面垂直
02
知识点三　平面与平面垂直
03
提能点　垂直关系中的探索性问题
04
目录
课时作业
05
01
PART
知识点一
直线与直线垂直
问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直
时，u1，u2之间有什么关系？
提示：垂直.
【知识梳理】
线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则
l1⊥l2 .
　　提醒：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方
向向量相互垂直.
u1⊥u2　
u1·u2＝0　
【例1】（链接教材P33练习2题）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1.求证：AB1⊥MN.
证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1交A1B1于点O1，
连接OC. 以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所
在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间
直角坐标系Oxyz.
由已知得A（－ ，0，0），B（ ，0，0），C（0，
，0），N（0， ， ），B1（ ，0，1），
∵M为BC的中点，∴M（ ， ，0）.
∴ ＝（－ ， ， ）， ＝（1，0，1），
∴ · ＝－ ＋0＋ ＝0.
∴ ⊥ ，
∴AB1⊥MN.
【规律方法】
证明两直线垂直的方法及步骤
（1）坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量
→证明向量垂直→得到两直线垂直；
（2）基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得
到两直线垂直.
训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB.
证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是PB与底面ABCD
所成的角，所以∠PBA＝30°，
所以PA＝ a.
所以A（0，0，0），B（2a，0，0），D（0，a，
0），P（0，0， a）.
所以 ＝（0，a，0）， ＝（2a，0，－ a）.
因为 · ＝（0，a，0）·（2a，0，－ a）＝0，
所以PB⊥AD. 又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，AD，
AE 平面ADE，所以PB⊥平面ADE，所以PB⊥DE.
02
PART
知识点二
直线与平面垂直
问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂
直于平面α时，u，n之间有什么关系？
提示：平行（共线）.
【知识梳理】
线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则
l⊥α λ∈R，使得 .
u∥n　
u＝λn　
【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，
D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
证明：法一　设 ＝a， ＝c， ＝b，
则 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ （ ＋
－ ）＝ （－a＋b＋c）.
因为 ＝ ＋ ＝a＋b，
所以 · ＝ （－a＋b＋c）·（a＋b）＝ （b2－a2＋c·a＋c·b）
＝ （｜b｜2－｜a｜2＋0＋0）＝0.
所以 ⊥ ，即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
法二　设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）.
所以 ＝（－1，－1，1）， ＝（0，2，2），
＝（－2，2，0）.
所以 · ＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2
＋1×2＝0，
· ＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
法三　由法二得 ＝（0，2，2）， ＝（－2，2，0）， ＝（－
1，－1，1）.
设平面B1AC的法向量为n＝（x，y，z），则 ·n＝0， ·n＝0，
即
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
所以n＝（1，1，－1），所以 ＝－n，
所以 ∥n，所以EF⊥平面B1AC.
【规律方法】
用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤
基向 量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，
分别证明它们垂直 坐标法 利用线线垂直 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示；
（2）找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
（3）分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0
利用平面的法向量 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示；
（2）求出平面的法向量；
（3）判断直线的方向向量与平面的法向量平行
训练2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，
CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为
D. 求证：A1C⊥平面BDE.
证明：连接C1D，
∵C1在平面ABC内的射影为D，
∴C1D⊥平面ABC，
又BD，AC 平面ABC，
∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，
y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（ ，0，0），C（0，－1，0），C1（0，0， ），E（0，－ ， ），A1（0，2， ），∴ ＝（ ，0，0）， ＝（0，－ ， ）， ＝（0，－3，－ ）.
法一　设平面BDE的法向量为m＝（x，y，z），
∵ 即
不妨取z＝1，则y＝ ，则m＝（0， ，1），
∴平面BDE的一个法向量为m＝（0， ，1），
∵ ＝（0，－3，－ ），
∴ ＝－ m，∴ ∥m，
∴A1C⊥平面BDE.
法二　∵ · ＝0， · ＝ － ＝0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
即BD⊥A1C，DE⊥A1C，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE.
03
PART
知识点三
平面与平面垂直
问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β
时，n1，n2之间有什么关系？
提示：垂直.
【知识梳理】
面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
α⊥β .
n1⊥n2　
n1·n2＝0　
【例3】在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，
且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（ ， ， ）.
法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为（ ， ，0）.
易知 ＝（0，0，1）， ＝（0，0， ），
∴ ＝ ，∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.
法二　设平面BDE的法向量为n1＝（x，y，z）.
易知 ＝（－1，1，0）， ＝（－ ， ， ），
∴
即
取x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝（1，1，0）.∵AS⊥平面
ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为n2＝ ＝（0，0，1）.
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.
【规律方法】
向量法证明面面垂直的两种思路
（1）证明两个平面的法向量互相垂直；
（2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个
平面.
训练3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点.求证：平面EAD1⊥平面EFD1.
证明：如图，建立空间直角坐标系，则E（0，1，0），A（1，0，0），
D1（0，0，1），F（ ，2，0）， ＝（－1，1，0）， ＝（0，－
1，1）， ＝（ ，1，0），设平面EAD1的法向量为n＝（x，y，z），
则 即 令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝（1，1，1）.
设平面EFD1的法向量为m＝（x'，y'，z'），
则
即 令x'＝2，则y'＝z'＝－1，
所以m＝（2，－1，－1）.
因为n·m＝2×1＋1×（－1）＋1×（－1）＝0，所以n⊥m，
所以平面EAD1⊥平面EFD1.
04
PART
提能点
垂直关系中的探索性问题
【例4】　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点.
（1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？
解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所
在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（ ，1，0），B1（1，1，1），
D1（0，0，1），
＝（0，－1，－1）， ＝（－ ，0，－1）.
假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE，
设N（1，b，c），
则 因为 ＝（1，b，c－1），
所以 解得
故平面AA1B1B上存在点N（1， ， ），使D1N⊥平面B1AE.
（2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？
解：假设在B1D1上存在点P，使平面PAE⊥平面ABCD，故可设P（λ，
λ，1），
则 ＝（λ－1，λ，1）， ＝（λ－ ，λ－1，1），
设平面AEP的法向量为n＝（x，y，z），
则
即
令x＝1，则n＝（1， ，1－ λ），
又平面ABCD的法向量为 ＝（0，0，1），
由平面PAE⊥平面ABCD，得n· ＝0，
即1－ λ＝0，解得λ＝ ，
故在B1D1上存在点P（ ， ，1），使平面PAE⊥平面ABCD.
【规律方法】
有关是否存在一点，使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题，解
答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐
标，将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间
关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程
（组）有解，则点存在；否则，点不存在.
训练4　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平
面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝ ，在棱PD上是否存在点M，
使得AM⊥BD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
解：连接AC，交BD于点F，因为底面ABCD为矩
形，所以F为BD的中点，
假设在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD.
取CD的中点为O，连接PO，FO，
因为底面ABCD为矩形，故BC⊥CD，
而F为BD的中点，故OF∥BC，所以OF⊥DC.
因为PC＝PD＝ ，故PO⊥CD，又平面PCD⊥平
面ABCD，PO 平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，故PO⊥平面ABCD，
故以O为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，－1，0），D（0，－1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），
设 ＝λ（λ∈[0，1]），M（x，y，z），则 ＝λ ，
即（x，y，z－1）＝λ（0，－1，－1），则
可得M（0，－λ，1－λ），
故 ＝（－1，1－λ，1－λ）， ＝（－1，－2，0），
因为AM⊥BD，故 · ＝0，即1－2（1－λ）＝0，解得λ＝ ，即在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD，此时 ＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直. （　√　）
（2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面
垂直. （　√　）
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. （　√　）
（4）若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量垂直，则
l⊥α. （　√　）
√
√
√
√
2. 已知空间中直线l的一个方向向量为a＝（1，2，4），平面α的一个法
向量为n＝（2，4，8），则（　　）
A. 直线l与平面α平行
B. 直线l在平面α内
C. 直线l与平面α垂直
D. 直线l与平面α不相交
解析：　由a＝（1，2，4），n＝（2，4，8），可得n＝2a，所以
n∥a，故a＝（1，2，4）是平面α的一个法向量，故直线l与平面α垂
直.故选C.
√
3. 平面α的法向量为（3，1，－2），平面β的法向量为（－1，1，k），
若α⊥β，则k＝ .
解析：因为α⊥β，所以3×（－1）＋1×1＋（－2）×k＝0，解得k
＝－1.
－1
4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中
心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当 ＝ 　 　时，
ON⊥AM.

解析：以A为原点，分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴，建立
空间直角坐标系（图略），设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），O
（ ， ，0），N （ ，0，1），设M（0，1，a）（0≤a≤1），则
· ＝（0，1，a）·（0，－ ，1）＝－ ＋a＝0，∴a＝ .∴当
＝ 时，ON⊥AM.
课堂小结
1.理清单
（1）直线与直线垂直的向量表示及应用；
（2）直线与平面垂直的向量表示及应用；
（3）平面与平面垂直的向量表示及应用.
2.应体会
利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转
化与化归的思想方法.
3.避易错
直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆.
05
PART
课时作业
1. 若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0），b＝（－1，－2，
0），则α与β的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 无法确定
解析：∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
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√
2. 已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则下列选项
中正确的是（　　）
A. v∥n l∥α B. v∥n l⊥α
C. v⊥n l∥α D. v⊥n l⊥α
解析：已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，由于v∥n，所以l⊥α，故A错误，B正确；由于v⊥n，所以l∥α或
l α，故C、D错误.故选B.
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3. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E
是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且
CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　）
A. y－z＝0 B. 2y－z－1＝0
C. 2y－z－2＝0 D. z－1＝0
解析：　由题意知E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所
以 ＝（－1，0，－2）， ＝（－2，y－2，z），因为CF⊥B1E，
所以 · ＝0，即2－2z＝0，即z＝1.
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4. 已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x，
0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　　）
A. （1，0，－2） B. （1，0，2）
C. （－1，0，2） D. （2，0，－1）
解析：　由题意知 ＝（－1，－1，－1）， ＝（2，0，1）， ＝
（x，－1，z），又PA⊥平面ABC，所以有 · ＝（－1，－1，－
1）·（x，－1，z）＝0，得－x＋1－z＝0　①. · ＝（2，0，
1）·（x，－1，z）＝0，得2x＋z＝0　②，联立①②得x＝－1，z＝2，
故点P的坐标为（－1，0，2）.
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5. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F
是AD上一点，当BF⊥PE时， ＝（　　）
B. 1 C. 2 D. 3
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解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形
ABCD的边长为1，PA＝a，则B（1，0，0），E（ ，
1，0），P（0，0，a）.设F（0，y，0），则 ＝
（－1，y，0）， ＝（ ，1，－a）.因为BF⊥PE，即 · ＝（－1）× ＋y＝0，解得y＝ ，即F（0， ，0）是AD的中点，故 ＝1.
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6. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中
心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　）
A. 和AC垂直
B. 和AA1垂直
C. 和MN垂直
D. 与AC，MN都不垂直
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解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a）.∴ ＝（－a，－a，a）， ＝（0，a，a）， ＝（－
2a，2a，0）.∴ · ＝0， · ＝0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，
OM和AA1显然不垂直.
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7. 〔多选〕给出下列命题，其中是真命题的是（　　）
B. 若直线l的方向向量a＝（0，1，－1），平面α的法向量n＝（1，－
1，－1），则l⊥α
C. 若平面α，β的一个法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，
2），则α⊥β
D. 若平面α经过三点A（1，0，－1），B（0，1，0），C（－1，2，
0），向量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u＋t＝1
√
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解析：　对于A，a·b＝1×2－1×1＋2×（－ ）＝0，则a⊥b，所以
直线l与m垂直，故A是真命题；对于B，a·n＝0，则a⊥n，所以l∥α
或l α，故B是假命题；对于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假
命题；对于D，易得 ＝（－1，1，1）， ＝（－1，1，0），因为向
量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，所以 即
得u＋t＝1，故D是真命题.
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8. 已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，－3，z），
向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝ .
解析：由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
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9. 在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，
1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝ ，则n的坐标为
.
（－2，
4，1）或（2，－4，－1）
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解析：由题意，得 ＝（－1，－1，2）， ＝（1，0，2）.设n＝
（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴ 即
可得 ∵｜n｜＝ ，∴ ＝
，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝
2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）.
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10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝
2，AA1＝ ，M是CC1的中点.
（1）求AM的长；
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解：以B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在直线分别
为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.所以B
（0，0，0），A1（0， ， ），A（0， ，0），M
（1，0， ），
则 ＝（1，－ ， ），AM＝｜ ｜＝ ＝ .
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（2）求证：AM⊥BA1.
解：证明： 由（1）知， ＝（1，－ ， ），
＝（0， ， ），
则 · ＝（1，－ ， ）·（0， ， ）＝0，
所以AM⊥BA1.
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11. 如图，在正三棱锥D-ABC中，AB＝ ，DA＝2，O为底面ABC的中
心，点P在线段DO上，且 ＝λ ，若PA⊥平面PBC，则实数λ＝
（　　）
√
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解析：　由题设知△ABC为边长为 的等边三角形，且DA
＝DB＝DC＝2，等边△ABC的高为 ＝ ，在正三棱
锥中，以O为原点，平行 为x轴，垂直 为y轴，
为z轴建系，如图所示，则A（0，－1，0），B（ ， ，0），C（－ ， ，0），D（0，0， ），且P（0，0， λ），所以 ＝（0，1， λ）， ＝（ ， ，－ λ）， ＝（ ，0，0），设m＝（x，y，z）为平面PBC的法向量，
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则 即 令z＝1，得m＝（0，2
λ，1），又PA⊥平面PBC，则 ＝km且k为实数， 故λ
＝ .故选D.
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12. 〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把
△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中
正确的是（　　）
B. AB⊥DC
C. BD⊥AC
D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
√
√
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解析：建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以 ＝（1，0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝（0，1，0）， ＝（－1，0，0），从而有 · ＝0＋0＋1＝1，故A错误； · ＝0，故B正确； · ＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为 ＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由 ·n＝x－z＝0， ·n＝y－z＝0，取z＝1，则x＝1，y＝1，故n＝（1，1，1）， ·n＝－1，故D错误.
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13. 已知空间三点A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若
直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为
；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标
是
.
（－ ， ，
1）
（4，4，4）（答案不唯一，满足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即
可）
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解析：设M（x，y，z）.∵ ＝（1，－1，0）， ＝（2，1，－4）， ＝（x，y，z－1）， ＝（x－1，y－2，z＋3），∴由题意，得 ∴ ∴点M的坐标为（－ ， ，1）.设平面ABC的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n· ＝x1－y1＝0，n· ＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝ ，∴n＝（1，1， ）.设点N的坐标为（a，b，c），则 ＝（a，b，c－1）.由题知， ∥n，即 ＝ ＝ .∴点N的坐标满足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0.
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14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，
AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝
BC，E是PC的中点.
（1）求证：AE⊥CD；
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证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直
线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，1）.
因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形.
所以C（ ， ，0），E（ ， ， ）， ＝（ ， ，0），
设D（0，y1，0），则 ＝（－ ，y1－ ，0），
由AC⊥CD得 · ＝0，
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即－ ＋ （y1－ ）＝0，解得y1＝ ，则D（0， ，0），
所以 ＝（－ ， ，0）.
又 ＝（ ， ， ），
所以 · ＝－ × ＋ × ＝0，
所以 ⊥ ，即AE⊥CD.
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（2）求证：PD⊥平面ABE.
证明：法一　　由（1）知 ＝（1，0，0）， ＝（ ， ， ），
设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z），
则
即
令y＝2，则n＝（0，2，－ ）.
又 ＝（0， ，－1），显然 ＝ n，所以 ∥n，
所以 ⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
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法二　由（1）知 ＝（ ， ， ）， ＝（0， ，－1）.
所以 · ＝ × ＋ ×（－1）＝0，
所以 ⊥ ，即PD⊥AE.
由（1）知 ＝（1，0，0），所以 · ＝0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
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15. 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已
知BC＝4，AB＝AD＝2.
（1）求证：AC⊥BF；
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解：证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF 平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD.
∵AC 平面ABCD，
∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H（图略），则BH＝1，AH＝ ，CH＝3，
∴AC＝2 ，
∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.
∵AB∩AF＝A，AB，AF 平面FAB，
∴AC⊥平面FAB.
∵BF 平面FAB，∴AC⊥BF.
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（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.理由如下：
由（1）知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点，
， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2 ，0），
E（－1， ，2）.
假设在线段BE上存在一点P满足题意，
则易知点P不与点B，E重合，
设 ＝λ，λ＞0，则 ＝λ ，
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设P（a，b，c），则（a－2，b，c）＝λ（－1－a， －b，2－c），得P（ ， ， ）.
设平面PAC的法向量为m＝（x，y，z）.
由 ＝（ ， ， ）， ＝（0，2 ，0），得

即
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令x＝1，则z＝ ，
∴m＝（1，0， ）为平面PAC的一个法向量.
同理，可求得n＝（1， ，1）为平面BCEF的一个法向量.
当m·n＝0，即λ＝ 时，平面PAC⊥平面BCEF，
故存在满足题意的点P，此时 ＝ .
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THANKS
演示完毕 感谢观看