《创新课堂》1.4.1第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共66张PPT)
第一课时
空间中点、直线和平面的向量表示
1. 能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）.
2. 理解直线的方向向量与平面的法向量（直观想象）.
3. 会求直线的方向向量与平面的法向量（数学运算）.
课标要求
　　我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面.
情境导入
知识点一　空间中点、直线的向量表示
01
知识点二　空间中平面的向量表示
02
提能点　求平面的法向量
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
空间中点、直线的向量表示
问题1　（1）在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？
提示：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可
以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量.
（2）我们知道，在平面中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直
线l.那么在空间中，若给定一个点A和一个方向能唯一确定一条直线l
吗？如何用向量表示直线l？
提示：能.如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，设P是直
线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是
存在实数t，使得 ＝ta，即 ＝t .
如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ta，　①
将 ＝a代入①式，得 ＝ ＋t .　②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直
线上一点及直线的方向向量唯一确定.
【知识梳理】
1. 点的位置向量
如图，在空间中，取一定点O作为 ，那么空间中任意一点P就可
以用向量 来表示，向量 称为点P的 .
基点　
位置向量　
2. 空间直线的向量表示
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，取定空间中的任意一
点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ta
①，将 ＝a代入①式，得 ＝ ②.
①式和②式都称为空间直线的向量表达式.
＋t 　
3. 空间任意直线都可以由直线上一点及直线的 唯一确定.
　　提醒：（1）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下
两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.（2）与直
线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无
数个.
方向向量　
【例1】（1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过
A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y＋z＝（　D　）
A. 0 B. 1
C. D. 3
解析：∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴ ＝（－1，2－y，z－
3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设 ＝km.∴－
1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－ ，y＝z＝ .∴y＋z＝3.
D
（2）〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则（　AC　）
A. 以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1）
B. 以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0）
C. 直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）
D. 直线B1D的一个方向向量为（1，1，1）
AC
解析：当以A为基点时，点C1的位置向量为 ＝（1，1，1），∴A正
确；当以B为基点时，点D的位置向量为 ＝（－1，1，0），∴B不正
确；连接AD1，∵AD1∥BC1， ＝（0，1，1），∴C正确；∵ ＝
（－1，1，－1），∴直线B1D的一个方向向量为（－1，1，－1），又
（－1，1，－1）与（1，1，1）不共线，∴D不正确.
【规律方法】
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为
起点和终点的向量，其难点是向量的运算.
训练1　（1）〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，
则下列可作为直线l方向向量的是（　AB　）
A. （2，2，6） B. （1，1，3）
C. （3，1，1） D. （－3，0，1）
解析：∵ ＝（1，1，3），M，N在直线l上，∴向量（1，1，3），
（2，2，6）都可作为直线l的方向向量.
AB
（2）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线
上的一点，若｜ ｜＝3，则点P的坐标是 .
解析：设P（x，y，z），则 ＝（x，y－1，z－1），因为 ∥v，
所以 ＝λv，即 解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，
1），｜ ｜＝ ＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）.
（－3，1，1）或（3，1，1）
02
PART
知识点二
空间中平面的向量表示
问题2　（1）向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？
提示：存在唯一的有序实数对（x，y），使得p＝xa＋yb.
（2）如果点P在平面ABC内，则 ， ， 之间有什么关系？如何用
向量表示点P在平面ABC内的充要条件？
提示：共面；存在有序实数对（x，y），使得 ＝x ＋y .
【知识梳理】
1. 空间平面的向量表示式
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存
在实数x，y，使 ＝ .
＋x ＋y 　
2. 平面的法向量
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的 .
过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为
.
　　提醒：一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行.
法向量　
{P｜
a· ＝0}　
【例2】 （1）〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-
A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　）
AC
A. 平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0）
B. 平面A1BC的一个法向量为（1，1，1）
C. 平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D. 平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
解析：对于A，由AD⊥平面CDD1C1，知 ＝（0，1，0）是平面
CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知 ＝
（1，0，1）是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面
B1CD1，知 ＝（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对
于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知 ＝（0，－1，1）是平面ABC1D1的一
个法向量，故D错误.故选A、C.
（2）已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个
法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式
是 .
解析：由题意得e⊥ ，则 ·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，
故x＋2y－3z＝0.
x＋2y－3z＝0
【规律方法】
1. 如果n为平面α的一个法向量，A为平面α内的一个已知的点，则对于
平面α上任意一点B，向量 一定与向量n垂直，即 ·n＝0.从而可知
平面α的位置可由n和A唯一确定.
2. 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用
时，可以根据需要进行选取.
训练2　（1）若n＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中
能作为平面α的法向量的是（　D　）
A. （0，－3，1） B. （2，0，1）
C. （－2，－3，1） D. （－2，3，－1）
解析：问题转化为求与n共线的一个向量.易知（2，－3，1）＝－（－2，
3，－1）.故选D.
D
（2）已知n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A（0，－3，
1），B（k，2k，4）在平面α内，则k＝ .
解析：由A（0，－3，1），B（k，2k，4），得 ＝（k，2k＋3，
3），因为n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A，B在平面α
内，所以n⊥ ，所以n· ＝（－3，1，2）·（k，2k＋3，3）＝－3k
＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9.
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03
PART
提能点
求平面的法向量
【例3】（链接教材P28例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为
矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝ ，试建
立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x
轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（0， ， ），C（1， ，0），
于是 ＝（0， ， ）， ＝（1， ，0）.
设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则 即
所以
令y＝－1，则x＝z＝ .
所以平面ACE的一个法向量为n＝（ ，－1， ）.
【规律方法】
求平面法向量的步骤
训练3　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中
点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，
0），D1（0，0，2），E（1，0，2）.
设平面BDD1B1的法向量为n＝（x1，y1，z1），
∵ ＝（2，2，0）， ＝（0，0，2），
则 即
令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0，
∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝（1，－1，0）.
（2）平面BDEF的一个法向量.
解：∵ ＝（2，2，0）， ＝（1，0，2），
设平面BDEF的法向量为m＝（x2，y2，z2）.
则 即 令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1，
∴平面BDEF的一个法向量为m＝（2，－2，－1）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线l的方向向量是唯一的. （　×　）
（2）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则 ·n
＝0. （　√　）
（3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的两个不
共线向量唯一确定. （　√　）
×
√
√
2. 已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向
向量，则x的值是（　　）
A. －1 B. 1或－1
C. －3 D. 1
解析：由题意可得a∥b，所以b＝λa，则（－4，2x2，6x）＝λ（2，－1，3）＝（2λ，－λ，3λ），所以 解得x＝－1.故选A.
√
3. 〔多选〕已知A（－4，6，－1），B（4，3，2），则下列各向量中是
平面AOB（O是坐标原点）的法向量的是（　　）
A. （－ ，1，9） B. （ ，1，－9）
C. （－15，4，36） D. （15，4，－36）
√
√
解析：设平面AOB（O是坐标原点）的法向量是u＝（x，y，z），则 即 令y＝1，解得 令y＝4，解得 故u＝（ ，1，－9）或u＝（15，4，－36）.故选B、D.
4. 已知直线l的一个方向向量为a＝（2，1，1），且过点M（1，0，－
1）.若平面α过直线l与点N（1，2，3），则平面α的一个法向量
是 .
解析：依题意， ＝（0，2，4），显然 与a不共线，设平面α的一
个法向量为n＝（x，y，z），则 取z＝2，得y＝
－4，x＝1，因此n＝（1，－4，2）是平面α的一个法向量.
（1，－4，2）（答案不唯一）
课堂小结
1.理清单
（1）空间中点、直线、平面的向量表示；
（2）直线的方向向量；
（3）平面的法向量.
2.应体会
（1）利用空间向量表示点、直线、平面体现了数形结合思想；
（2）求平面的法向量时一般应用待定系数法.
3.避易错
不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.
04
PART
课时作业
1. 若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向
量为（　　）
A. （1，2，3） B. （1，3，2）
C. （2，1，3） D. （3，2，1）
解析：因为 ＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线l的一个方向向量.
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2. 下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　　）
A. ＝ ＋k
B. ＝ ＋k
C. ＝ ＋k
D. ＝ ＋k
解析：由点P在直线上的充要条件可得，B符合题意.
√
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3. 已知平面α内有两点M（－2，3，1），N（2，4，1），若平面α的一
个法向量为n＝（6，a，6），则a＝（　　）
A. － B.
C. －24 D. 24
解析：　由题可得 ＝（4，1，0），因为平面α的一个法向量为n＝
（6，a，6），所以n⊥ ，所以n· ＝（6，a，6）·（4，1，0）＝
6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24.
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4. 已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3，
1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　）
A. （1，－1，1） B. （1，3， ）
C. （1，－3， ） D. （－1，3，－ ）
解析：对于选项A， ＝（1，0，1），则 ·n＝（1，0，1）·（3，
1，2）＝5≠0，故排除A；对于选项B， ＝（1，－4， ），则 ·n＝
（1，－4， ）·（3，1，2）＝0，故B正确；同理可排除C、D.
√
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5. 已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的
一个单位法向量是（　　）
A. （1，1，1） B. （ ， ， ）
C. （ ， ， ） D. （ ， ，－ ）
解析：　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z）.又 ＝（0，－1，
1）， ＝（－1，1，0），则 ∴x＝y＝z，
又∵单位向量的模为1，故只有B正确.
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6. 〔多选〕若 是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以
下各式成立的是（　　）
A. ⊥ B. ⊥
C. ⊥ D. ⊥
√
√
√
解析：由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确.
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7. 〔多选〕已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1）
三点，则下列说法正确的是（　　）
A. 与 是共线向量
B. 与 同向的单位向量是（ ， ，0）
C. 在 方向上的投影向量是（－2，－1，0）
D. 平面ABC的一个法向量是（1，－2，5）
√
√
√
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解析： ＝（2，1，0）， ＝（－1，2，1）， ＝（－3，1，1），若 与 共线，设 ＝λ ，则 方程组无解，故 与 不共线，A错误；与 同向的单位向量是 ＝ ＝（ ， ，0），B正确； 在 方向上的投影向量是 · ＝ · ＝（－2，－1，0），C正确；
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设平面ABC的法向量是n＝（x，y，z），则
令y＝－2，则n＝（1，－2，5），D正确.
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8. 在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝（2，1，1）与n2＝
（0，2，1）为其法向量，α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为
.（写出一个方向向量的坐标）
解析：设直线l的方向向量为d＝（x，y，z），则 所以
令y＝1，则z＝－2，x＝ ，所以直线l的一个方向向量
为d＝（ ，1，－2）.
（ ，
1，－2）（答案不唯一）
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9. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面
A1B1C的一个法向量为n＝（－2，－2，1），则棱AA1的长为 .
解析：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，
y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设AA1＝
h，由题意可知C（0，0，0），A1（1，0，h），所以
＝（1，0，h），因为n＝（－2，－2，1），所以根据法向
量的定义可得，n· ＝（－2，－2，1）·（1，0，h）＝
－2＋h＝0，解得h＝2，所以AA1＝2.
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10. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图
所示.
（1）求直线DB1的一个方向向量；
解：由题意知D（0，0，0），B1（1，1，1），所以 ＝（1，1，1），即直线DB1的一个方向向量是（1，1，1）.
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（2）点P是过D点且以 为方向向量的直线上的一点，且｜ ｜＝
1，求点P的坐标.
解：设P（x，y，z），则 ＝（x，y，z），
因为点P在以 为方向向量的直线上，
所以 ∥ ，设 ＝λ ，即有（x，y，z）＝
λ（1，1，1），
所以x＝y＝z＝λ，又因为｜ ｜＝1，
所以 ＝1，
即 ＝1，
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所以 ＝1，所以λ＝± ，
所以点P的坐标是（ ， ， ）或（－ ，－ ，－ ）.
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11. （2025·莆田质检）已知 ＝（－3，1，2），平面α的一个法向量为
n＝（2，－2，4），点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系
为（　　）
A. AB⊥α B. AB α
C. AB与α相交但不垂直 D. AB∥α
√
解析：因为n· ＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以n⊥ .又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.
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12. 已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2，
1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量的终点坐标为
.
解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－
2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y
－1，z－1），则满足 即
可取x＝2，y＝1，z＝0，故
终点坐标为（2，1，0）.
（2，1，0）
（答案不唯一）
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13. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（－1，0，2），B（0，1，－
1），点C，D分别在x轴、y轴上，AD⊥BC，那么｜ ｜的最小值
是 .
解析：设C（x，0，0），D（0，y，0）.∵A（－1，0，2），B（0，
1，－1），∴ ＝（1，y，－2）， ＝（x，－1，1）.∵AD⊥BC，
∴ · ＝x－y－2＝0，即x＝y＋2.∵ ＝（－x，y，0），∴｜
｜＝ ＝ ＝ ＝
≥ （当y＝－1时取等号）.故｜ ｜的最小值为 .

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14. 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝
90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐
标系，求：
（1）平面ABCD的一个法向量；
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解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x
轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D
（ ，0，0），S（0，0，1）.
（1）因为SA⊥平面ABCD，
所以 ＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量.
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（2）平面SAB的一个法向量；
解： 因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，
SA 平面SAB，
所以AD⊥平面SAB，
所以 ＝（ ，0，0）是平面SAB的一个法向量.
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（3）平面SCD的一个法向量.
解：在平面SCD中， ＝（ ，1，0）， ＝（1，1，
－1）.
设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），
则n⊥ ，n⊥ ，
所以
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得方程组
所以 令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝（2，－1，1）.
所以n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量.
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15. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 ＝（2，－1，
－4）， ＝（4，2，0）， ＝（－1，2，－1）.
（1）求证： 是平面ABCD的法向量；
解：证明：因为 · ＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，
· ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0，
所以AP⊥AB，AP⊥AD.
又AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.
所以 是平面ABCD的法向量.
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（2）求平行四边形ABCD的面积.
解：因为｜ ｜＝ ＝ ，
｜ ｜＝ ＝2 ，
· ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6，
所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，
故 sin ＜ ， ＞＝ ，
S ABCD＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝8 .
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