《创新课堂》模块综合检测 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共43张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 双曲线 － ＝1的焦距是（　　）
B. 8
C. 4
解析：　依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝ ＝
＝4.所以焦距2c＝8.
√
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2. 直线l过点（－3，0），且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为
（　　）
解析：　因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－ .又直线
l过点（－3，0），故所求直线的方程为y＝－ （x＋3）.
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3. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是棱AC的三等分点，且AC＝3AE，F是
棱B1C1的中点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　）
解析：　取BC的中点D，连接AD，AF，DF（图略），则 ＝ ＋
＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋c.因为 ＝ ＝ b，所以 ＝
－ ＝ a＋ b＋c－ b＝ a＋ b＋c.
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4. 阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是
著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的
长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，
且椭圆C的离心率为 ，面积为12π，则椭圆C的方程为（　　）
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解析：　由题意，设椭圆C的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），因为椭
圆C的离心率为 ，面积为12π，
所以 解得a2＝16，b2＝9，所以椭圆C的方程为
＋ ＝1.
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5. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的
中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）
√
解析：　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝
2，则B（0，2，0），A（2，0，0），M（1，1，2），N
（1，0，2），所以 ＝（1，－1，2）， ＝（－1，
0，2），设BM与AN所成角为θ，则 cos θ＝
＝ ＝ .
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6. 若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A（－1，0），B（1，0）为两
个定点，则｜PA｜＋｜PB｜的最大值是（　　）
A. 2
C. 4
解析：∵点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且点A（－1，0），B（1，0）为两个定点，∴｜PA｜2＋｜PB｜2＝4，∵（｜PA｜＋｜PB｜）2≤2（｜PA｜2＋｜PB｜2）＝8，∴｜PA｜＋｜PB｜≤2 ，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝ 时“＝”成立，故｜PA｜＋｜PB｜的最大值是2 .
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7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E，F
分别是棱AB，BC的中点，则直线EF到平面ACD1的距离为（　　）
√
解析：　因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以直线EF到平面ACD1的距离等于点E到平面ACD1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），所以 ＝（－1，2，0）， ＝（－1，0，1）.设平面ACD1的法向量为n＝（a，b，c），则 即 所以 令a＝2，则n＝（2，1，2）.连接D1E，则 ＝（1，1，－1），所以点E到平面ACD1的距离为 ＝ ＝ ，即直线EF到平面ACD1的距离为 .故选C.
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8. 设F1，F2同时为椭圆C1： ＋ ＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2： －
＝1（a2＞0，b2＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限
内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点.若｜
F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（　　）
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解析：　设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，｜F1F2｜＝2c.
如图，因为点M是双曲线和椭圆的交点，所以根据椭圆和双
曲线的定义，知m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋
a2，n＝a1－a2.又因为｜F1F2｜＝4｜MF2｜，所以2c＝4（a1－a2），即 － ＝ ，所以 ＝ ＋ ，所以e1＝ .因为椭圆离心率0＜e1＜1，所以 ＞1，即 ＜ ＜1，所以e1e2＝ ＝ .令t＝ ， ＜t＜1，则e1e2＝ ＝ ，在 ＜t＜1时单调递减，所以 ＜e1e2＜2.故选C.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y
＋c＝0的距离为2，则c的取值可能是（　　）
A. －13 B. 13
C. 15 D. 18
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√
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解析：　圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0化为
（x－1）2＋（y＋2）2＝25，则圆心C（1，－
2），半径r＝5，若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0
上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离
为2，则圆心C（1，－2）到直线l的距离d＜3，如
图.即 ＝ ＜3，∴－13＜c＜17.
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10. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点，则（　　）
B. BD1⊥AC
C. BD1⊥EB1
D. ∠BB1E＝45°
√
√
√
解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
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设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（ ， ，0），B1（1，1，1），A1（1，0，1）. ＝（－1，－1，1）， ＝（－1，1，0）.因为 · ＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0，所以 ⊥ ，所以BD1⊥AC，B正确； ＝（ ， ，1）.因为 · ＝（－1）× ＋（－1）× ＋1×1＝0，所以 ⊥ ，所以BD1⊥EB1，C正确；
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＝（0，1，－1）， ＝（－1，－1，0）， cos ＜ ， ＞＝ ＝－ ，所以＜ ， ＞＝120°，A正确； ＝（－ ，－ ，－1）， ＝（0，0，－1）， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ≠ ，D不正确.故A、B、C正确.
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11. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线右支上异于顶点的一点，则
（　　）
A. ｜PA1｜－｜PA2｜＜2a
B. 若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1
D. 若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的渐近线方程
为y＝±2x
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解析：　对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，得｜PA1｜－｜PA2｜＜2a，故A正确；对于B，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2（a＞0），设P（x0，y0）（y0≠0），则 － ＝a2，则 －a2＝ ，故 · ＝ · ＝ ＝1，故B正确；对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2（a＞0），且∠PA2A1＋5∠PA1A2＝π，设∠PA1A2＝θ，则∠PA2x＝5θ，根据 · ＝1，即有tan θ·tan 5θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ＋5θ＝ ，θ＝ ，即∠PA1A2＝ ，故C错误；
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对于D，焦点F2（c，0），渐近线不妨取y＝ x，即bx－ay＝0，设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为（m，n），则
解得 即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为（ ，
），由题意知该点在双曲线上，故 － ＝1，将c2＝a2
＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，故渐近线方程为y
＝±2x，故D正确.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 已知点M（1，2）在直线l上的射影是H（－1，4），则直线l的方程
为 .
解析：因为kMH＝ ＝－1，所以直线l的斜率k＝1，所以直线l的方程
为y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0.
x－y＋5＝0
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13. 在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的
中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是 .
解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设
OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，则A（a，0，0），B
（0，a，0），C（－a，0，0），P（0，－ ， ），
从而 ＝（2a，0，0）， ＝（－a，－ ， ），
＝（a，a，0）.设平面PAC的法向量为n＝（x，
y，z），由 可得n＝（0，1，1），则 cos ＜n， ＞＝ ＝ ，∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.
30°
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14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至公元前190年）与欧
几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.平面内两个定点M，
N及动点P，若 ＝λ（λ＞0且λ≠1），则点T的轨迹是圆.后来人
们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.点P为圆A：（x－1）2
＋y2＝4上一动点，Q为圆B：（x－3）2＋（y－4）2＝1上一动点，点C
（－3，0），则｜PC｜＋｜PQ｜＋｜PB｜的最小值为 .
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解析：由P为圆A：（x－1）2＋y2＝4上一动点，得A（1，
0），｜AP｜＝2，Q为圆B：（x－3）2＋（y－4）2＝1
上一动点，得B（3，4），｜BQ｜＝1，｜AO｜＝1，
｜AC｜＝4.因为 ＝ ＝ ，∠OAP＝∠PAC，所以△ACP∽△APO，于是｜PC｜＝2｜PO｜.当P，Q，B共线且｜PQ｜＜｜PB｜时｜PQ｜＋｜PB｜取得最小值，即｜PQ｜＋｜PB｜≥2｜PB｜－1.所以｜PC｜＋｜PQ｜＋｜PB｜≥2｜PO｜＋2｜PB｜－1≥2｜OB｜－1＝2 －1＝9，当且仅当O，P，B共线时等号成立.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知直线l：（m＋2）x－（2m＋1）y－3＝0
（m∈R）.
（1）证明：直线l过定点；
解：证明：由直线方程（m＋2）x－（2m＋1）y－3＝0可得，（x
－2y）m＋（2x－y－3）＝0，
由 解得 直线l恒过定点（2，1）.
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（2）已知点P（－1，－2），当点P到直线l的距离最大时，求实数m
的值.
解：由题意可知，点P（－1，－2）到直线l的距离的最大值为点P到定点（2，1）的距离，此时直线l垂直于过点P与定点（2，1）的直线，则过点P与定点的直线的斜率为 ＝1，所以kl＝－1，所以 ＝－1，解得m＝－1.
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16. （本小题满分15分）已知点A（－2，0），B（2，0），动点M（x，
y）满足直线AM与BM的斜率之积为 ，记点M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
解：因为M（x，y），则直线AM，BM的斜率分别为kAM＝ ，kBM＝ ，
由已知得 · ＝ ，
化简得 － ＝1（x≠±2），
即曲线C的方程为 － ＝1（x≠±2），曲线C是除去左、右顶点的双曲线.
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（2）若直线l：y＝x－3和曲线C相交于E，F两点，求｜EF｜.
解：联立 消去y，整理得x2－12x＋22＝0，Δ＝122－4×22＝56＞0.
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1＋x2＝12，x1x2＝22，
所以｜EF｜＝ ｜x1－x2｜＝ · ＝
× ＝ × ＝4 .
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17. （本小题满分15分）如图，在多面体P-ABCD中，平面ABCD⊥平面
PAB，AP＝2 ，AB＝3 ，PB＝ .
（1）求证：AP⊥CD；
解：证明：因为平面ABCD⊥平面PAB，
平面ABCD∩平面PAB＝AB，
因为AB2＋AP2＝PB2，所以AP⊥AB，
又AP 平面PAB，所以AP⊥平面ABCD.
因为CD 平面ABCD，所以AP⊥CD.
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（2）若∠DAB＝90°，∠ABC＝45°，AD＝2 ，BC＝2.求平面PAB
与平面PCD夹角的余弦值.
解：因为∠DAB＝90°，即DA⊥AB，所以
DA⊥平面PAB，故AP，AB，AD两两垂直，以A为
原点，AP，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（2 ，0，0），D（0，0，2 ），C（0，2 ， ）， ＝（－2 ，0，2 ）， ＝（－2 ，2 ， ），
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设平面PCD的法向量m＝（x，y，z），
则所以
令x＝1，得m＝（1， ，1）.
易知平面ABP的一个法向量为n＝（0，0，1），
设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
则 cos θ＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ .所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 .
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18. （本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： ＋
＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且右焦点F到直线l：x＝－ 的距离为
6 .
（1）求椭圆的标准方程；
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解：由题意得
解得a＝2 ，c＝2 ，b＝2 ，
所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
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①求证：k1k2为定值；
②当两条切线分别交椭圆于P，Q时，求证：｜OP｜2＋｜OQ｜2为定值.
（2）设椭圆C上的任一点M（x0，y0），从原点O向圆M：（x－x0）2＋
（y－y0）2＝8引两条切线，设两条切线的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）.
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解：证明：①依题意，两条切线方程分别为y＝
k1x，y＝k2x，由 ＝2 ，化简得（ －8）
－2x0y0k1＋ －8＝0，
同理（ －8） －2x0y0k2＋ －8＝0，所以k1，k2是方
程（ －8）k2－2x0y0k＋ －8＝0的两个不相等的实数根，则k1k2＝ .
又因为 ＋ ＝1，所以 ＝12－ ，
所以k1k2＝ ＝ ＝－ ，即k1k2为定值.
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②由①得，k1k2＝－ ，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 · ＝－ ，
即 ＝ ，
因为
所以
得（12－ ）（12－ ）＝ ，
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即144－6（ ＋ ）＋ ＝ ，
解得 ＋ ＝24，
所以 ＋ ＝12－ ＋12－ ＝24－ （ ＋ ）＝24－ ×24＝
12，
所以｜OP｜2＋｜OQ｜2＝ ＋ ＋ ＋ ＝36，即｜OP｜2＋｜
OQ｜2为定值.
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19. （本小题满分17分）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精
致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的
曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线
中的伯努利双纽线.在xOy平面上，我们把与定点F1（－a，0），F2
（a，0）（a＞0）距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，
F1，F2为该曲线的两个焦点.数学家雅各布·伯努利曾将该曲线作为椭圆的
一种类比开展研究.已知曲线C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）是一条伯努利
双纽线.
（1）求曲线C的焦点F1，F2的坐标；
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解：法一　设焦点F1（－a，0），F2（a，0）（a＞0），
曲线C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）与x轴正半轴交于点P（3，0），
由题意知｜PF1｜｜PF2｜＝（3＋a）（3－a）＝9－a2＝a2，
于是a2＝ ，a＝ ，
因此F1（－ ，0），F2（ ，0）.
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法二　设焦点F1（－a，0），F2（a，0）（a＞0），
由题意知[（x＋a）2＋y2][（x－a）2＋y2]＝a4，
即[（x2＋a2＋y2）＋2ax][（x2＋a2＋y2）－2ax]＝a4，
整理得（x2＋y2）2＝2a2（x2－y2），于是a2＝ ，a＝ .
因此F1（－ ，0），F2（ ，0）.
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（2）试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），
使得以AB为直径的圆过坐标原点O. 如果存在，求出A，B坐标；如果不
存在，请说明理由.
解：假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为
直径的圆过坐标原点O，即OA⊥OB，
由题意知直线OA，OB斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y＝k1x，直线OB的方程为y＝k2x，
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将直线OA的方程与曲线C联立，得（1＋ ）2x4＝9x2（1－ ），
即x2＝ ＞0.
解得－1＜k1＜1，同理－1＜k2＜1，
因此k1k2＝－1不可能成立，于是假设不成立，即曲线C上不存在两点A，
B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.
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THANKS
演示完毕 感谢观看