2026年高考模拟数学试题卷（含解析）

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2026年高考模拟数学试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z=(1+i)i在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 则A∩B=( )
A.{1,2} B.{4,5} C. {1,2,3} D.{3,4,5}
3.已知数列为等比数列, 则a9=( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4.已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.5,则P(A∪B)=( )
A.0.7 B. 0.8 C. 0.5 D. 0.3
5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为( )
A.6π B.16π C.26π D.32π
6.已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且直线AF的倾斜角为 150°,则 (　　 )
A． B． C．6 D．4
7.已知函数 ,则 是“x>1”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圈这样滚过大圈内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大数是（ ）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.一组数据. 的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记 的平均值为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则（ ）
A．a=9 B．b=4 C.c=13 D. d=11
10.定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量 規定 则对于任意的向量，，.下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数 将f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 对于任意的正整数k,则（ ）
A. B.是极大值点
C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆 和双曲线 的焦点相同，则m= .
13.有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为 .
14.已知正四面体ABCD的棱长为 动点P满足. 用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 .
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知函数 在一个周期内
的图象如图所示，其中,点P的坐标为(-6,0),点Q是f(x)图象上的最低
点且坐标为(-2,-3),点R是f(x)图象上的最高点.
⑴求函数f(x)的解析式;
⑵记 (, β均为锐角),
求 的值.
16.（本题满分15分）
如图，在三梭台ABC-DEF中，平面
.
⑴求三棱台ABC-DEF的高；
⑵若直线AC与平面ABF所成角的正弦值为 求BC.
17.（本题满分15分）
设a为实数，函数
⑴求f(x)的单调区间与极值；
⑵求证: 当且x>0时， .
18.（本题满分17分）
一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球 个，其余为黑球
⑴当盒中的白球数n=6时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率；
⑵当盒中的白球数n=6时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求P(A)与P(B)，并判断事件A与B是否独立;
⑶某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n.
19.（本题满分17分）
双曲线E： 的一个顶点在直线l:y=x+1上，且离心率为
⑴求双曲线E的标准方程；
⑵若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点T在直线l上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M.
(i)设点T的横坐标为t，求t的取值范围；
(ii)设直线TP和直线TM分别与直线x=-1交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上.
(附：双曲线 以点(m，n)为切点的切线方程为
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=(1+i)i在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】∵z=(1+i)i=-1+i,∴在复平面内对应的点(-1,1)位于第二象限,故选B.
2.已知集合 则A∩B=( )
A.{1,2} B.{4,5} C. {1,2,3} D.{3,4,5}
【答案】D
【解析】∵ 是增函数,f(2)=6<10,f(3)=11>10,A∩B={3,4,5},故选D．
3.已知数列为等比数列, 则a9=( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】方法1：设等比数列的公比为q,
∵,∴,即,
又，∴,
∴,故选B.
方法2：∵,∴,
又,∴,故选B.
4.已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.5,则P(A∪B)=( )
A.0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.3
【答案】A
【解析】∵事件A，B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.5,
∴=0.3,
P(A∪B)=
故选A．
5.已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为( )
A.6π B.16π C.26π D.32π
【答案】B
【解析】由题意知，圆台的上底面半径r1=1,下底面半径r2=3,
设圆台母线长为l，扇环小圆半径为x,
∴,解得,
∴圆台的侧面积S=(或S=.故选B.
6.已知抛物线的焦点为F，准线为l,与y轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且直线AF的倾斜角为 150°,则 (　　 )
A． B． C．6 D．4
【答案】D
【解析】方法1：由题意知F(0,1),若直线AF的与x轴的交点为M,则
∠OMA=180 -150 =30 ，OM=,
∴xA，yA=-1,A(,-1),
由,得,
∴ |yB-yA|=|3-(-1)|=4,故选D.
方法2：由抛物线定义可知，
∵直线AF的倾斜角为 150°,BA⊥x轴，∴∠BAF=60 ,
∴ 为等边三角形,即|AB|=|AF|=|BF|,
其中准线l与y轴交点为P，|FP|=2,
∴|AB|=|AF|=,故选D.
7.已知函数 ,则 是“x>1”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵,当
当时，则取,,
此时，则x>1不成立，即充分性不成立；
当x>1时，,,
即必要性成立.
∴是“x>1”的必要不充分条件.故选B.
8.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圈这样滚过大圈内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大数是（ ）
【答案】A　
【解析】如图所示：
由题意可知,小圆O1总与大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O,
设某时刻两圆相切于点A,此时功点M 所处的位置为点,
则大圆圆弧与小圆M转过的圆弧相等.
以切点A在如图上运动为例，记直线OM 与此时小圆O1的交点为M1，
记 ，则
∴
∴大圆圆弧的长为,小圆圆弧的长,
∴小圆圆弧的长与大圆圆弧的长相等，
∴点M1与点重合，即动点M在线段MO上运动.
同理可知，此时点N在与MO垂直的线段上运动.
点A在其它位置类似可得.
则M、N的从迹为互相垂直的线段.故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.一组数据. 的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记 的平均值为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则（ ）
A．a=9 B．b=4 C.c=13 D. d=11
【答案】AD
【解析】由题意可得a=2×5-1=9，b=22×2=8, c=2×7=14, d=2×6-1=11.
故选AD.
10.定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量 規定 则对于任意的向量，，.下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】设,
∴，选项A正确；
，选项B正确；
，选项C错误；
∵，
∴选项D正确.
故选ABD.
11.已知函数将f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 对于任意的正整数k,则（ ）
A. B.是极大值点
C. D.
【答案】BCD
【解析】∵f(x)的极值点为在(0,+∞)上的零点,
即为函数与函数图像在(0,+∞)上交点的横坐标.
又x∈(0,+∞)时，,k∈N时， ,
当k∈N ,x∈时，；
当x∈时，,
据此可将两个函数图象画在同一直角坐标系中，如图所示.
∵k∈N时，,,
结合图象可知，当n=2k-1,k∈N 时,，
当n=2k,k∈N 时，.
由图象可知，选项A错误；
对于B，注意到k∈N时， .
结合图像可知当 当x1,x ,x ,…是函数的极大值点, 是函数的极小值点，故B 正确;
对于C, 表示两点与 间距离，由图像可知，随着n的增大，两点间距离越来越近，即 为递减.
故 化简可得故C正确；
对于D，由于
故 因此 且
故 .
由于 为单调递减函数， 为单调递增函数，结合 为单调递增函数，因此单调递增函数.
由,可得，则D正确.
故选BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.已知椭圆 和双曲线 的焦点相同，则m= .
【答案】
【解析】由双曲线 ,得半焦距焦点在x轴上，
∴.
13有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为 .
【答案】48
【解析】第一步：选一对双胞胎有种；
第二步：再选两对双胞胎,并从两对双胞胎中各选一人共有=12种.
∴利用分步计数乘法原理可得，从中随机选4人其中恰有一对双胞胎的选法种数为
4×12=48（种）.
14.已知正四面体ABCD的棱长为 动点P满足. 用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 .
【答案】2
【解析】建立正四面体的顶点坐标，
设四个顶点为
每条棱长均为 ，设动点
,
,
,
∵
∴z=0.即所有满足条件的点P构成的平面为z=0平面(xoy平面),
而A，B，C，D为正方体的顶点(如图所示)，且该正方体的中心为原点。
由对称性可得棱AC交于(0,1,0),棱AD交于(1,0,0),棱BC交于(-1,0,0),棱BD交于(0,-1,0),
截图四边形的顶点为(0,1,0),(l,0,0),(-1,0,0),(0,-1,0).
在xoy平面上形成一个菱形,其对角线的长度为2,故面积为2.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知函数 在一个周期内
的图象如图所示，其中,点P的坐标为(-6,0),点Q是f(x)图象上的最低
点且坐标为(-2,-3),点R是f(x)图象上的最高点.
⑴求函数f(x)的解析式;
⑵记 (, β均为锐角),
求 的值.
【答案】⑴ ⑵.
【解析】⑴由图象及P(-6,0), Q(-2,-3)可知, A=3,
又函数f(x)的最小正周期T=4[-2-(-6)]=16,∴
∵点P(-6，0)为函数f(x)的一个对称中心,
∴ 即
又 ,∴
∴ .
⑵由⑴函数周期及最值知R(6,3),∵∠RPO=α,∠QPO=β,P(-6,0),Q(-2,-3)
∴,即
∴
∴
16.如图，在三梭台ABC-DEF中，平面
.
⑴求三棱台ABC-DEF的高；
⑵若直线AC与平面ABF所成角的正弦值为 求BC.
【答案】⑴ ⑵.
【解析】⑴作FO⊥BC于点O,
∵平面ABC⊥平面BCFE,平面ABC∩平面BCFE=BC, FO 平面BCFE, FO⊥BC,
∴FO⊥平面ABC,FO即为三棱台ABC-DEF的高,
又∵AB 平面ABC,所以FO⊥AB,连接AO，
∵AB∥DE，AF⊥DE，∴AB⊥AF，
又∵FO∩AF=F，AB⊥AO，∠ABC=∠CBF=45°,AB=1，
∴AO=1，BO=FO=，
∴三棱台ABC-DEF的高为 .
⑵以O为原点, 在面ABC内，作Ox⊥BC,以Ox，OB,OF所在的直线分别为x, y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(,,0),B(0,,0),F(0,0,),
，
,
设平面ABF 的法向量为=(x,y,x),则
可取=(1,1,1),
设,则,
设直线AC与平面ABF所成角为θ，,
化简得，解得，或（舍去，因为AC>AB,则BC>BO，所以>1）.
∴.
17.设a为实数，函数
⑴求f(x)的单调区间与极值；
⑵求证: 当且x>0时， .
【答案】⑴ f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞),f(x)在x=处取极小值，极小值为2(1-+a)，无极大值.
⑵详见解析
【解析】⑴由 知 知=0， 得x=.
于是当x变化时，f(x)，的变化情况如下表：
x (-∞,) (,+∞)
- 0 +
f(x) 单调递减 2(1-+a) 单调递增
则f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞),f(x)在x=处取极小值，极小值为2(1-+a)，无极大值.
⑵证明: 设g(x) =,
于是g'(x) =,x∈R.
由⑴ 知当a>ln2-1时,g'(x) 最小值为g'(ln2) =2 (1-ln2+a) >0.
于是对任意x∈R, 都有g'(x) >0, 所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-l时, 对任意x∈ (0, +∞),都有g(x) >g (0),
即，
故当且x>0时， .
18.一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球 个，其余为黑球
⑴当盒中的白球数n=6时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率；
⑵当盒中的白球数n=6时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求P(A)与P(B)，并判断事件A与B是否独立;
⑶某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n.
【答案】⑴ ⑵,,不独立
⑶当n=6时，参与者获奖的可能性最大；当n=13时，参与者获奖的可能性最小.
【解析】⑴有效目的抽取，每次抽取到白球的数率为，取到黑球的概率为，由n次独立重复试验知,恰有一次取到黑球的概率为
⑵当n=6时, 盒中有6个白球, 14个黑球，
,
则P(B|A)≠P(B)，所以事件A与B相互不独立.
⑶从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率
设f(n)=当时,.
,当 时,f(n+1)>f(n),
当6≤n≤12时,f(n+1)而 则,
所以当n=6时，参与者获奖的可能性最大；当n=13时，参与者获奖的可能性最小.
19.双曲线E： 的一个顶点在直线l:y=x+1上，且离心率为
⑴求双曲线E的标准方程；
⑵若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点T在直线l上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M.
(i)设点T的横坐标为t，求t的取值范围；
(ii)设直线TP和直线TM分别与直线x=-1交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上.
(附：双曲线 以点(m，n)为切点的切线方程为
【答案】(1) ⑵(i) ;(ii) 详见解析.
【解析】⑴直线l方程中，令y=0,则 x=-1,
∴直线l与x轴交于((-1,0),即a=1.高心率
∴
∴双曲线E的标准方程为
⑵(i)经检验,当一条切线斜率不存在时,
若T(1，2),显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为y-2=k(x-1).
联立双曲线方程得
则
解得k=2.而双曲线渐近线方程为y=2x,则此时不符合题意，
当T(-1,0)时,此时只有一条切线,显然不合愿意.
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为k，切线方程为y=k(x-t)+(t+1),
与双曲战方程取立得：(k -4)x -2k(kt-t-1)x+(kt-t-1) +4=0,
令△ =4k2(kt-t-1) -4(k -4)[(kt-t-1) +4]=0,
整理得(kt-t-1)2-k2+4=0,由于,所以且,
上式整理得,
由题意知，k有两个相异实根，即，
且
整理得(t+1)(-3t+5)>0,解得,
综上所述，t的取值范围为.
(ii)设M(x ,y ),P(x ,y2).
直线MT和PT方程分别为 和 ,
联立得点T(),
又点T在直线l上，代入整理得： ①
在直线MT方程中，令x=-1.则 得
.
故直线PN方程为
设直线PN与直线l交点为A,联立两直线方程：
解得
设直线MQ与直线l交点为B,
同理可得
由①式,作差xA,xB的分子有(x2-y +1)y +4(x +1)x -(x -y +1)y -4(x +1)x
,
作差xA,xB分母有
则可得xA和xA表达式的分子分母分别相等.
故A，B两点重合.所以直线PN与MQ的交点在定直线l：y=x+1上.
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