高考数学二轮复习立体几何与空间向量微专题16立体几何中的证明问题课件(共63张PPT)

(共63张PPT)
微专题16　立体几何中的证明问题
·体验真题
1．以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题．
2．空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问．
1．(多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A．AD⊥A1C
B．B1C1⊥平面AA1D
C．AD∥A1B1
D．CC1∥平面AA1D
BD
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a α，b α，a∥b a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m α，n α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a β，a⊥α α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
3．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2.
4．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2 v1⊥v2 v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β u1⊥u2 u1·u2＝0.
热点一　空间线、面位置关系的判断
例1　(1)设α，β是两个平面，a，b是两条直线，则α∥β的一个充分条件是
(　　)
A．a∥α，b∥β，a∥b　
B．a⊥α，b⊥β，a⊥b
C．a⊥α，b⊥β，a∥b
D．a∥α，b∥β，a与b相交
聚焦热点
·重难攻坚
C
解析：C　选项A：当满足a∥α，b∥β，a∥b时，α，β可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面α，用四边形AEFD代表平面β，故A错误；
选项B：当满足a⊥α，b⊥β，a⊥b时，α，β可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面α，用四边形AEFD代表平面β，故B错误；
选项C：因为a⊥α，a∥b b⊥α，又b⊥β，所以α∥β，
故a⊥α，b⊥β，a∥b是α∥β的一个充分条件，故C正确；
当满足a∥α，b∥β，a与b相交时，α，β可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面α，用四边形AEFD代表平面β，故D错误；故选C.
A
解析：A　显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD外一点B与平面ACD内一点E的直线BE与平面ACD内不经过E点的直线AF是异面直线．
下面证明BE与AF垂直：
证明：因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，所以AB⊥CD，
因为BC＝BD＝CD，F为CD的中点，连接BF，
所以BF⊥CD，因为AB∩BF＝B，AB，BF 平面ABF，
所以CD⊥平面ABF，如图：取AF的中点Q，
连接BQ，EQ，
因为AF 平面ABF，所以CD⊥AF，
又因为EQ∥CD，所以EQ⊥AF，
判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断；
(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断；
(3)必要时可以借助特殊空间几何图形，如从长方体、四面体等图形中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．
训练1　已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是(　　)
A．若m∥n，且n α，则m∥α
B．若m⊥n，且n α，则m⊥α
C．若m∥α，且m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，且m⊥β，则α∥β
D
解析：D　如图所示正方体，对于A，若m，n，α对应直线AB，CD与平面ABCD，显然符合条件，但m α，故A错误；
对于B，若m，n，α对应直线AB，CB与平面ABCD，显然符合条件，但m α，故B错误；
对于C，若m，α，β对应直线AB与平面HGCD，平面HGFE，显然符合条件，但β∩α＝HG，故C错误；
对于D，若m⊥α，且m⊥β，又α，β是两个不同的平面，
则α∥β，故D正确．
训练2　已知四棱锥P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为PC中点，则(　　)
A．BE∥平面PAD
B．PD⊥平面ABCD
C．平面PAB⊥平面PAD
D．DE＝EB
C
解析：C　对于A，易知BC∥平面PAD，
因为BE∩BC＝B，且两条直线都在平面PBC内，所以BE不可能平行平面PAD，故A错误；
对于B，举反例，如图PH垂直平面ABCD时，由于PD∩PH＝P，所以PD不垂直平面ABCD，故B错误；
对于C，作PH⊥AD于点H，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且PH 平面PAD，
所以PH⊥平面ABCD，因为AB 平面ABCD，
所以PH⊥AB，
又因为AB⊥AD，PH∩AD＝H，且PH，
AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因为AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正确；
对于D，没有任何条件可以证明DE＝EB，故D错误；故选C.
热点二　几何法证明平行、垂直
例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若点F是棱AB的中点，求证：CF∥平面PAE.
证明：(1)由PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD，又因为底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
易知PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
平行关系及垂直关系的转化
训练3　如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点，连接AE，EC，CA.求证：
(1)PB∥平面EAC；
(2)平面PAD⊥平面ABCD.
证明：(1)连接BD，交AC于点F，连接EF，
因为底面ABCD为矩形，所以F为BD的中点，
又因为E为PD的中点，
所以EF∥PB，
因为PB 平面EAC，EF 平面EAC，
故PB∥平面EAC.
(2)∵PA⊥平面PCD，CD 平面PCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD.
又∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又∵CD 平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.
热点三　向量法证明平行、垂直
例3　如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求B，F两点间的距离；
(2)求证：EF∥平面PAB；
(3)求证：平面PAD⊥平面PDC.
利用向量证明线面平行的三种方法
(1)证直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量平行；
(2)证直线的方向向量与平面的法向量垂直；
(3)证直线的方向向量能写为平面内两不共线向量的线性表达式．
训练4　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．
(1)求证：A1D∥平面BCC1B1；
(2)求证：EF⊥A1D.
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1．下列命题正确的是(　　)
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线a不平行于平面α且a α，则平面α内不存在与a平行的直线
C．已知直线a，b，平面α，β，且a α，b β，α∥β，则直线a，b平行
D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交
课时作业
训 练(十六)　立体几何中的证明问题
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2．已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(　　)
A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b
B．若a∥b，a∥α，则b∥α
C．若a∥α，b∥α，c⊥a，且c⊥b，则c⊥α
D．若β⊥α，γ⊥α，且β∩γ＝a，则a⊥α
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解析：D　∵C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，A1B1∩AA1＝A1.
∴C1D⊥平面AA1B1B，故C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于点F，
此时AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，
所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，
又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，
即BB1＝2B1F，所以B1F＝BF.即λ＝1.
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5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PC＝AB，E，F分别为PD，BC的中点，则(　　)
A．PB∥平面AEF
B．EF∥平面PAB
C．EF⊥PD
D．AF⊥平面PBD
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6．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF是△BCD的中位线，AC与EF交于点G，已知△PEF是△CEF绕EF旋转过程中的一个图形﹐且P 平面ABCD.给出下列结论：
①BD∥平面PEF；
②平面PAC⊥平面ABCD；
③“直线PF⊥直线AC”始终不成立．
其中所有正确结论的序号为(　　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
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B
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解析：B　菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF是△BCD的中位线，则EF∥BD，
而EF 平面PEF，BD 平面PEF，因此BD∥平面PEF，①正确；
连接PG，由BD⊥AC，得EF⊥AG，EF⊥PG，而AG∩PG＝G，AG，PG 平面PAC，
则EF⊥平面PAC，又EF 平面ABCD，因此平面PAC⊥平面ABCD，②正确；
显然∠PGA是二面角P-EF-A的平面角，△PEF由△CEF绕EF旋转过程中，
∠PGA从180°逐渐减小到0°(不包含180°和0°)，
当∠PGA＝90°时，AG⊥PG，
PG∩EF＝G，PG，EF 平面PEF，则AG⊥平面PEF，
而PF 平面PEF，于是PF⊥AG，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
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7．在空间中，下列说法正确的是(　　)
A．若∠AOB的两边分别与∠A1O1B1的两边平行，则∠A1O1B1＝∠AOB
B．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
C．若直线l⊥平面α，直线a⊥l，则a∥α
D．到四面体ABCD的四个顶点A，B，C，D距离均相等的平面有且仅有7个
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D
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解析：D　对于A：若∠AOB的两边分别与∠A1O1B1的两边平行，则∠A1O1B1＝∠AOB或∠A1O1B1＋∠AOB＝π，故A错误；
对于B：若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故B错误；
对于C：若直线l⊥平面α，直线a⊥l，则a∥α，或a可能在α内，故C错误；
对于D：对于四个顶点，平面的划分有两种情况，
1＋3型和 2＋2型，
1＋3型，就是一个点在一侧，另三个点在另一侧，
这三个顶点张成一个平面，如图，
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很显然，点和面中间的平面构成一个解，四个顶点轮换，所以这种情况共有4个解，
2＋2型，这个的解是两组异面直线的中间那个平面，
如图，
每一个顶点拉出了三条线，这条线的对侧构成另外一条线．
所以这种划分有3 种解，故总共有7个解，
不会有0＋4型，因为平面一侧到一个面上距离相等的点，必然都在一个平面上．而正四面体的四个顶点构成立体空间，不在一个平面上，故D选项正确．
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8．(多选)已知m，n是异面直线，m α，n β，那么(　　)
A．当m⊥β，或n⊥α时，α⊥β
B．当m∥β，且n∥α时，α∥β
C．当α⊥β时，m⊥β，或n⊥α
D．当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行
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AB
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解析：AB　对于A：当m⊥β，m α时，α⊥β；
当n⊥α，n β时，α⊥β，故A正确；
对于B：当m∥β，n∥α时，又m，n为异面直线，所以α∥β，故B正确；
对于C：当α⊥β时，由m α，得m∥β或m与β相交；当α⊥β时，由n β，得n∥α或n与α相交，故C错误；
对于D：当α，β不平行时，可能m∥β或m与β相交，n∥α或n与α相交，故D错误．
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9．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．D1N⊥平面ADM
B．BN∥AM
C．B，D，M，N四点共面
D．平面ADM⊥平面ABB1A1
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AD
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10．如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是______．
解析：因为AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，
所以由等腰三角形三线合一可知BE⊥AC，DE⊥AC，
又BE∩DE＝E，BE 平面BDE，DE 平面BDE，
∴AC⊥平面BDE.
又AC 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.
答案：垂直
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13．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AC的中点．
(1)证明：BD⊥DC1；
(2)证明：AB1∥平面BC1D.
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证明：(1)由题意知，C1C⊥平面ABC，△ABC为正三角形．
由BD 平面ABC，得BD⊥C1C，
因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又AC∩C1C＝C，AC，C1C 平面ACC1A1，
所以BD⊥平面ACC1A1，而DC1 平面ACC1A1，所以BD⊥DC1.
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(2)如图，取A1C1的中点F，连接B1F，AF，DF，
则DF∥B1B且DF＝B1B，AD∥FC1且AD＝FC1，
所以四边形BDFB1，ADC1F为平行四边形，得B1F∥BD，AF∥DC1，
又B1F 平面BC1D，BD 平面BC1D，AF 平面BC1D，C1D 平面BC1D，
所以B1F∥平面BC1D，AF∥平面BC1D，又B1F∩AF＝F，B1F，AF 平面AB1F，
所以平面AB1F∥平面BC1D，又AB1 平面AB1F，
所以AB1∥平面BC1D.
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