高考数学二轮复习概率与统计微专题20随机变量及其分布课件(共56张PPT)
文档属性
| 名称 | 高考数学二轮复习概率与统计微专题20随机变量及其分布课件(共56张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 8.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共56张PPT)
微专题20 随机变量及其分布
·体验真题
离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
2．(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比①中E(X)估计值大．
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，
对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，
对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，
对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，
对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，
故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.
所以E(X)X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
聚焦热点
·重难攻坚
X 1 2 3 4
P p2 3p2 1－2p＋p2 1－3p＋p2
BCD
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
训练1 (多选)设随机变量X的分布列为
其中ab≠0.则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝1
B．E(X)＝2b
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)有最小值
X 0 1 2
P a
AC
X 0 1 2 3 4
P
角度2 超几何分布
例3 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．
X 1 2 3
P
求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．
X 0 10 12 18
P
ABC
解析：ABC 由图象可知，甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg，乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg，σ1<σ2，则A，B，C都正确，D不正确，故选ABC.
(2)(多选)在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米．某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X.另一随机变量Y～N(4，1)，则( )
A.D(2X＋1)＝1.6
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y)
C．P(X≤4)>P(Y≥4)
D．P(X＝k)随k的增大先增大后减小
CD
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：
(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)．
(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
训练3 (多选)某校高三年级选考生物学科的学生共1000名，现将他们该学科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30，100]，若等级分X～N(80，25)，则( )
参考数据：P(μ－σA．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在[65，95]内的人数约为997
D．P(70CD
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2
1．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.3，则P(X>2)＝( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
课时作业
训 练(二十) 随机变量及其分布
14
C
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B
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3．已知离散型随机变量X的分布列如下：
则其数学期望E(X)等于( )
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
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X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
D
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D
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5．若一组样本数据y1，y2，…，yn的期望和方差分别为2，0.04，则数据5y1＋1，5y2＋1，5y3＋1，…，5yn＋1的期望和方差分别为( )
A．3，1 B．11，1
C．3，0.2 D．11，0.2
解析：B 由原样本数据集y中E(y)＝2，D(y)＝0.04，而新数据集为5y＋1，
所以新数据集中E(5y＋1)＝5×E(y)＋1＝11，D(5y＋1)＝25×D(y)＝1.
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B
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B
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X 1 2
P a b
A
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8．(多选)设随机变量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，下列说法正确的是( )
A．变量X的方差为1，均值为0
B．P(|X|≤x)＝1－2f(x)
C．函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数
D．f(－x)＝1－f(x)
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ACD
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解析：ACD 随机变量X～N(0，1) σ2＝1，μ＝0，则A正确；
P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，则B错误；
随机变量X～N(0，1)，结合正态曲线(图略)易得函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，则C正确；
正态分布的曲线关于x＝0对称，f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，则D正确，故选ACD.
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10．已知随机变量X～N(4，42)．若P(X<3)＝0.3，则P(3解析：由题意可知：μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，所以D(Y)＝4D(X)＝64；
因为3＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，所以P(3答案：0.4 64
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13．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
14
年龄段
(单位：岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
被调查的
人数 10 15 20 m 25 5
赞成的
人数 6 12 n 20 12 2
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P
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14．市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%.现有某质检部门对该商品进行质量检测．
(1)若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；
(2)若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．
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微专题20 随机变量及其分布
·体验真题
离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度．
2．(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比①中E(X)估计值大．
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，
对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，
对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，
对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，
对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，
故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.
所以E(X)
P p1 p2 … pi … pn
聚焦热点
·重难攻坚
X 1 2 3 4
P p2 3p2 1－2p＋p2 1－3p＋p2
BCD
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
训练1 (多选)设随机变量X的分布列为
其中ab≠0.则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝1
B．E(X)＝2b
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)有最小值
X 0 1 2
P a
AC
X 0 1 2 3 4
P
角度2 超几何分布
例3 随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．
X 1 2 3
P
求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．
X 0 10 12 18
P
ABC
解析：ABC 由图象可知，甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg，乙类水果的平均质量μ2＝0.8 kg，σ1<σ2，则A，B，C都正确，D不正确，故选ABC.
(2)(多选)在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米．某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X.另一随机变量Y～N(4，1)，则( )
A.D(2X＋1)＝1.6
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y)
C．P(X≤4)>P(Y≥4)
D．P(X＝k)随k的增大先增大后减小
CD
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：
(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)．
(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．
训练3 (多选)某校高三年级选考生物学科的学生共1000名，现将他们该学科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30，100]，若等级分X～N(80，25)，则( )
参考数据：P(μ－σ
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在[65，95]内的人数约为997
D．P(70
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1．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.3，则P(X>2)＝( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
课时作业
训 练(二十) 随机变量及其分布
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3．已知离散型随机变量X的分布列如下：
则其数学期望E(X)等于( )
A．1 B．0.6
C．2＋3m D．2.4
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X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
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5．若一组样本数据y1，y2，…，yn的期望和方差分别为2，0.04，则数据5y1＋1，5y2＋1，5y3＋1，…，5yn＋1的期望和方差分别为( )
A．3，1 B．11，1
C．3，0.2 D．11，0.2
解析：B 由原样本数据集y中E(y)＝2，D(y)＝0.04，而新数据集为5y＋1，
所以新数据集中E(5y＋1)＝5×E(y)＋1＝11，D(5y＋1)＝25×D(y)＝1.
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8．(多选)设随机变量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，下列说法正确的是( )
A．变量X的方差为1，均值为0
B．P(|X|≤x)＝1－2f(x)
C．函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数
D．f(－x)＝1－f(x)
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解析：ACD 随机变量X～N(0，1) σ2＝1，μ＝0，则A正确；
P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，则B错误；
随机变量X～N(0，1)，结合正态曲线(图略)易得函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，则C正确；
正态分布的曲线关于x＝0对称，f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，则D正确，故选ACD.
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10．已知随机变量X～N(4，42)．若P(X<3)＝0.3，则P(3
因为3＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，所以P(3
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13．每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
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年龄段
(单位：岁) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
被调查的
人数 10 15 20 m 25 5
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14．市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%.现有某质检部门对该商品进行质量检测．
(1)若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；
(2)若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．
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