第十八章矩形、菱形与正方形同步练习 （含解析）华东师大版数学八年级下册

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第十八章矩形、菱形与正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，相邻两条平行线间的距离都等于，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，与交于点，则正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若菱形的周长是，则长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）．在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案：
小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处．
小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（ ）
A．两个方案都能 B．小聪的方案
C．小明的方案 D．两个方案都不能
4．如图，点P是正方形内一点，连接，，．若是等边三角形，则的度数为（ ）
A．30° B．60° C．75° D．90°
5．如图，菱形中，交于于，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
7．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE等于（ ）
A．52° B．60° C．65° D．75°
8．下列命题中，不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分
9．如图，将长方形纸片沿折叠后，使得点，重合，点落在处．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，连接，E是上一点，且，连接，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是正方形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
12．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，．若要使四边形为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，，分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为 ．
14．如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上运动（点不与点、重合），且，连接、、．有下列结论：
①且；
②；
③四边形的面积大于面积的一半．
其中正确的是 （填写序号）．

15．如图，在矩形，点在边上，连接，将沿直线折叠，使点刚好落在边上的点处．若，，则长为 ．

16．如图，在中，，为中线，延长至点E，使，连结，F为中点，连接．若，，则的长为 ．
17．如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接，若为等边三角形，，则的长为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，O是斜边上的中点，，求证：四边形是矩形．

19．如图，在平行四边形中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，，
(1)判断四边形的形状并证明；
(2)求四边形的面积．
20．如图，E，F是 ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．
21．如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知．
(1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：连接，判断四边形 的形状，并说明理由．
22．如图，在中，，点是线段上一动点，连结．
(1)当为等腰三角形时，直接写出的度数．
(2)当点是的中点时，求的度数．
(3)过点作，垂足分别点，求连结，求的最小值．
23．如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
24．有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形．（ 在两个图中画出拼接的虚线）

《第十八章矩形、菱形与正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C C C D B B B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】过点D作，交于G点，交于F点，然后证明出和全等，从而得出，根据勾股定理求出的平方，即正方形的面积．
【详解】解：过点D作，交于G点，交于F点，
∵，，
∴，
即．
∵为正方形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
即正方形ABCD的面积为5．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定与性质、正方形的性质及勾股定理，作出辅助线是解决这个问题的关键．
2．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，先由菱形的性质求出的长，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出答案．
【详解】解：∵菱形的周长是，
∴，
∵对角线，相交于点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握折叠（即是轴对称）的性质是解题的关键．
由折叠的方法和对称性质可得：，，再由两种方案的折叠方法可证明四边形是正方形．
【详解】：连接，因为是等边三角形，所在直线是的一条对称轴，
由折叠方法可知：，，、是关于的对称，
∴，，即是的垂直平分线，，
小聪的方案，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形；
小明方案，将对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形
∴平行四边形是是正方形；
综上所述：两种方案中折出的四边形为正方形；
故选A．
4．C
【分析】求得，，根据三角形内角定理和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
5．C
【分析】根据菱形的性质得到点O为的中点，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形内角和定理得到，则．
【详解】解：∵四边形是菱形，交于，，
∴点O为的中点，，
∵，
∴，
∴
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定．
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形．
【详解】解：如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，
由三角形中位线定理可得，，，，，
四边形是平行四边形，
∵，
∴，
四边形是正方形，
故选：C．
7．D
【分析】根据矩形性质，得，；根据角平分线定义，推导得；通过证明是等边三角形，得，再根据三角形内角和、等腰三角形性质计算，即可得到答案．
【详解】∵矩形ABCD
∴，
∵AE平分∠BAD交BC于点E
∴，
∴
∴
∴
∵∠CAE＝15°
∴，
∵
∴
∴，
∴是等边三角形
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形、三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、角平分线、三角形内角和、等腰三角形、等边三角形的性质，从而完成求解．
8．B
【分析】根据特殊四边形的性质一一判断即可；
【详解】解：A、正确，平行四边形的对角线互相平分；
B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分；
C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分；
D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分；
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型．
9．B
【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求解可得的值，最后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据题意画出图形，由菱形的性质可求得的度数，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，在菱形中，，
则.
∵，
∴.
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了特殊四边形的判定定理，平行四边形的性质，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，则，
A．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
B．当时，四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
C．当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
12．B
【分析】本题考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．故B选项符合题意，
由无法判断平行四边形是矩形．故A选项不符合题意，
由无法判断平行四边形是矩形．故C选项不符合题意，
由无法判断平行四边形是矩形．故D选项不符合题意，
故选：B．
13．
【分析】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，根据、、分别是的中点，可知为的中位线，根据的长度可求得的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，即可求解．
【详解】解：∵、分别是的中点，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∵，且F为的中点，
∴．
故答案为：．
14．①②
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，证明是解题的关键．
连接，结合等腰直角三角形的性质证明，可证得①；利用全等三角形面积相等可判断③；根据三角形的三边关系可证明②．
【详解】解：连接，
∵，是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴且，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积的面积面积的一半．，故③错误；
∵，
∴．
∵，
∴，故②正确；
故答案为：①②．
15．
【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是本题的关键．由矩形的性质和折叠的性质可得，设，则，，由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵将矩形沿直线折叠，
∴，,
∴,
设，则，，
∵，
∴中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段的长度和线段是的中位线．利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则，即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴．
又∵为中线，
∴．
∵F为中点，即点B是的中点，
∴是的中位线，则．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关性质定理．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，点O为的中点
，，
在中，由勾股定理得：
为等边三角形
，
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
18．见解析
【分析】本题主要考查了中位线的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线的性质，先判定，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出结论即可．
【详解】证明：∵O是斜边上的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19．(1)矩形
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等角对等边等知识点，解题关键是利用平行四边形的性质证得相关线段和角相等．
（1）先利用平行四边形得出，，，从而可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，再结合，证得，根据等角对等边可得，从而可得，于是可证明四边形是矩形；
（2）先利用矩形的性质得出，再利用勾股定理可求得，然后求出四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形的面积为．
20．（1）见解析；（2）4.8
【分析】（1）连接AC，交BD于点O，由平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证得OE＝OF，则即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．
【详解】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF＝＝＝5，
∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，OE＝OF，OA＝OC，
∴AC⊥EF，
∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，
解得：OF＝1.8，
∴OA＝＝2.4，
∴AC＝2OA＝4.8．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
21．(1)作图见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据直角三角形的性质得，则，进而可证四边形是平行四边形，再由，可得四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求．
（2）解：四边形是菱形．理由如下：
由（1）可知点为中点，
∵，
∴，
在中，，为边上中线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
四边形是平行四边形，
又∵，
平行四边形是菱形．
22．(1)
(2)
(3)的最小值是
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，点到直线垂线段最短等知识点，解题的关键是正确做出辅助线；
（1）分为①为底时，②为底时，③为底时，分别求解即可；
（2）延长，过点作交的延长线于点，连结，根据，求出，，再根据是的中点，得出，即可证明是等边三角形，结合，即可求解；
（3）如图，连结，取的中点，连结，根据，得出，求出，是等腰直角三角形，，当最小时，最小，即当时，即可求解．
【详解】（1）解：当为等腰三角形时，分三种情况：
①为底时，
②为底时，
③为底时，
综上，的度数为；
（2）如图，延长，过点作交的延长线于点，连结，
，
．
是的中点，
，
是等边三角形，即，
，
，
．
（3）如图，连结，取的中点，连结，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
．
当最小时，最小，即当时，此时．
的最小值是．
23．(1)见解析
(2)四边形是正方形，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
为边上的中点，
，
，，
四边形是平行四边形．
为边上的中点，，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是正方形，
理由：，，
是等腰直角三角形．
为边AB上的中点．
．
由（1），可知四边形是矩形，
四边形是正方形．
24．见解析
【分析】5个边长为1的正方形的面积为5，因此分割后拼接成一个大正方形的面积也是5，拼接的大正方形的边长为，根据勾股定理可知是直角边为1、2的直角三角形的斜边，因此把5个边长为1的正方形分成4个直角边为1、2的直角三角形和一个边长为1的正方形，利用赵爽弦图拼接即可．
【详解】分割方法和拼接方法分别如图（1）和（2）．

【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，正方形的性质，根据题意确定所拼接的大正方形的边长是解题的关键．
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