18.2菱形同步练习（含解析） 华东师大版数学八年级下册

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18.2菱形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在菱形中，，，则菱形的面积为( )
A．72 B．24 C．48 D．96
4．如图，已知，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线，与交于点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．轴对称图形
6．如图，在菱形中，，，，分别是，上的动点，关于①、②两个结论，下列判断正确的是（　　）
①若，，的大小为；
②的最小值为5
A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都不对
7．如图，在菱形中，添加一个条件不能证明的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1 B．－1 C．－1 D．2
9．如图，在菱形中，E是边上一点，，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．的对角线，交于点O，以下结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．不可能是轴对称图形
11．如图，四边形是菱形，于点，则的长是（ ）
A． B．6 C． D．12
12．如图，在的两边上分别截取，使：再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；再连接．若，，则四边形的面积是（ ）
A． B．6 C．4 D．8
二、填空题
13．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为 ．

14．如图，菱形的边，．
（1）菱形的高的长度是 ；
（2）P是上一点，，Q是边上一动点，将点A沿直线作对称，A的对应点为，当的长度最小时，的长为 ．
15．在菱形中，是对角线，，连接．，，则的长为 ．
16．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是 ．
17．如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，．
(1)请用尺规作图的方法作一个菱形，使点D在线段上；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积．
19．如图，在矩形中，点E为对角线的中点，过点E作分别交于点F，交于点G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
20．如图所示，在中，平分．求证：四边形是菱形．
21．如图，在矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交边边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求四边形的面积．
22．定义：如图，E，F，G，H四点分别在四边形ABCD的四条边上，若四边形EFGH为菱形，我们称菱形EFGH为四边形ABCD的内接菱形．
(1)如图，矩形ABCD，，点E在线段AB上且，四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，求GC的长度；
(2)如图，平行四边形ABCD，，，点E在线段AB上且，请你在图中画出平行四边形ABCD的内接菱形EFGH，点F在边BC上；（尺规作图，保留痕迹）当BF最短时，请求出BC的长．
23．如图，已知矩形，请用尺规在图上作菱形，使得点在边上，在边上．（保留作图痕迹．不写作法）

24．（1）菱形有一个内角为，一条较短的对角线长为，则菱形的边长为_____；
（2）如图，在菱形中，，，则______．

《18.2菱形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B A C B C D
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质．
根据菱形的性质可得，利用等腰三角形的性质求得，最后通过平行的性质可得的度数．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
故选：C．
2．B
【分析】根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 等 ），逐一分析选项即可得解．本题主要考查菱形的判定定理，熟练掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” “一组邻边相等的平行四边形是菱形”等判定方法是解题的关键．
【详解】解： A、仅给出平行四边形及一个角和一条对角线相关信息，无法得出邻边相等，不能判定为菱形．
B、平行四边形中，对角线互相垂直（由图中垂直符号可知 ），故该平行四边形是菱形．
C、给出平行四边形的边和对角线长度，无法得出邻边相等或对角线垂直等菱形判定条件，不能判定为菱形．
D、仅给出角的信息，无法得出邻边相等或对角线互相垂直，不能判定为菱形．
故选：B ．
3．C
【分析】此题考查了菱形的性质．解此题的关键是掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用．
由菱形的对角线，，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形的面积．
【详解】解：菱形的对角线，，
菱形的面积为：．
故选：C．
4．C
【分析】根据提示作法可知AG为的角平分线，根据边角边可证，然后根据平行线的性质可得四边形AEGD为菱形，然后证明四边形EBCG为平行四边形，即可得出EB=CG，再根据证明为等腰三角形即可求得结果．
【详解】解：连接GE，如图，
根据题意作图方式可知AD=AE，
AG为的角平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴AD=AE，，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AEGD为菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CG=CB，
在和中，
,
∴，
∴EB=CG，
∴EB=CG=AE，
∵，
∴AB=20，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，构造全等三角形证明线段之间的等量关系是解决本题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了矩形和菱形的性质，比较矩形和菱形的性质，找出矩形具有而菱形不具有的选项即可，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：、矩形和菱形均为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此两者均具有此性质，原选项不符合题意；
、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，原选项符合题意；
、菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，原选项不符合题意；
、矩形和菱形均为轴对称图形，原选项不符合题意；
故选：．
6．A
【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质，由菱形的性质可得，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可判断①；连接交于，连接、，作于，由菱形的性质可得点和点关于对角线对称，，，，，从而可得，，进而得出，，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，为，再由菱形的面积公式计算即可判断②；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵ 四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，连接交于，连接、，作于，
，
∵四边形为菱形，
∴点和点关于对角线对称，，，，，
∴，，
∴，，
∴当点、、在同一直线上，且时，的值最小，为，
∵，
∴，
∴的最小值为，故②错误；
故选：A．
7．C
【分析】先根据菱形性质得出AB=CD，∠ABE=∠CDF，利用ASA可判断A；利用AAS可判断B；根据SSA不能判断C；利用SAS可判断D．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
A. 添加，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
故选项A正确，不合题意；
B. 添加，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
故选项B正确，不合题意；
C. 添加，根据SSA条件不能判断△ABE和△CDF全等；
故选项C不正确，符合题意；
D. ，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
故选项D正确，不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质，添加条件判断三角形全等，掌握菱形性质，三角形全等判定方法是解题关键．
8．B
【分析】根据题意，在N的运动过程中在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出C的长即可．
【详解】解：如图所示：
由折叠可知M=MA，
∵M为AD中点，
∴2MA=2MD=AD=2，
∴M= MA=1是定值，
∵M+C≥MC，
∴当线段长度是最小值时，在MC上，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵菱形ABCD，
∴CDAB
∴∠FDM=∠A=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FC=FD+CD=，FM=，
∴MC=，
∴C=MC-M=-1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，由两点之间线段最短得出点位置是解题关键．
9．C
【分析】先由等腰三角形的性质得出，再根据菱形的性质得出，继而得到，即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和菱形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．D
【分析】题目主要考查平行四边形的性质和菱形的判定和性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
根据平行四边形的性质可判断A，C，由得到是菱形，进而可判断B，D．
【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O，
∴，，故A，C正确，不符合题意；
若，
∴是菱形
∴，故B正确，不符合题意；
∴此时是轴对称图形，故D错误，符合题意．
故选：D．
11．C
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
故选：C．
12．C
【分析】本题考查作图-基本作图、菱形的判定与性质，由尺规作图可得，，即可得四边形为菱形，根据菱形的性质可得答案．
【详解】解：由尺规作图可得，，
四边形为菱形，
，
四边形的面积为
故选：C．
13．
【分析】过点作于点，则，根据，进一步可得，，根据勾股定理，可得的长，根据菱形的性质可得的长，从而求解．
【详解】解：过点作于点，如图所示：

则，
，四边形是菱形，
，
，
根据勾股定理，得，即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14． 7
【分析】（1）作于，根据菱形的性质可判断为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长即可；
（2）勾股定理求出的长，根据，得到在线段上时，的值最小，推出即可．
【详解】解：（1）作于，如图，
菱形的边，，
∴，，
为等边三角形，
∴，
；
即：菱形的高的长度是；
故答案为：；
（2）由（1）知：，，
，
，
在中，
．
将点A沿直线作对称，A的对应点为，
∴，
∴，
当点在上时，的值最小，此时，
∵，
，
，
；
故答案为7．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小．
15．40
【分析】连接，交于点O，根据菱形性质，得出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：连接，交于点O，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴中根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∴在中，根据勾股定理得：
．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形性质，求出．
16．4+2
【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，
∴△DEG也为等边三角形．
∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，
∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，
即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，
所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，
，
∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，
∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．
观察图形，可得A，E关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，
∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，
∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，
∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，
∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，
故答案为：4+2．
【点睛】本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
17．
【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识．
首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，即可．
【详解】解：过P作于点N，交于点M，
由题意，，
∴，
∵点P是CE的中点，
∴，
∴，
∴，
则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上
过点D作于点F，
则此时点D和F关于直线l对称，
连交直线l于点H，连，
则，
当点P与点H重合时，的值最小，
由题意，，，
∴，
∴，
∴
故答案为：
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理、菱形的判定及性质、尺规作垂直平分线以及尺规作线段，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线交于点O，交于点D，在线段的垂直平分线上取，连接、、，则四边形为所求作的四边形；
（2）由菱形的性质得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：四边形为所求作的四边形；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，
设，
∵，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
即，解得，
∴，
∴．
19．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）先利用矩形对边平行得角相等，结合E是BD中点得边相等，通过AAS证三角形全等得到对角线互相平分，先证是平行四边形，再结合对角线垂直证菱形．
（2）由菱形性质得边相等，设未知数，利用矩形直角和勾股定理列方程求解BG ．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∴，．
∵点E为对角线的中点，
∴．
在和中，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴．
∵四边形是矩形，，，
∴，．
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得．
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定方法和勾股定理的应用是解题的关键．
20．证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定，等角对等边，平行线的性质与判定，先由垂直的定义得到，则可证明，进而证明四边形是平行四边形；再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【详解】证明：，
．
又，
，
．
又，
四边形是平行四边形．
平分，
又，
，
，
平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质：
（1）根据矩形的性质，证明，进而得到，即可得证；
（2）先证明四边形为菱形，设，利用勾股定理求出的值，再利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵O是的中点
∴
在和中，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵
∴四边形是菱形
设，则
∴，
∵四边形是矩形
∴，
在中，勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
22．(1)
(2)作图见解析，
【分析】（1）连接，证明，可得；
（2）根据（1）中可知，根据对角线垂直平分作内接菱形；如图5，当与重合，则与重合时，此时的长最小，就是的长，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理计算可得结论．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，即，
，
，
；
（2）由（1）知：，
，
作法：作，连接，再作的垂直平分线，交、于、，如图所示：
四边形即为所求作的内接菱形；
当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于，如图所示：
在中，
，，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
即当的长最短时，的长为．
【点睛】本题考查新定义四边形的内接菱形，基本作图线段的垂直平分线，菱形性质，矩形性质，熟练掌握基本作图及平行四边形、菱形和矩形的性质是解题的关键．
23．见解析
【分析】作的垂直平分线即可解答．
【详解】解：如图，四边形即为所求，

【点睛】本题考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
24．（1）；（2）．
【分析】（1）根据菱形和等边三角形的性质，即可求解；
（2）根据菱形和等边三角形的性质，以及勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）∵菱形有一个内角为，
∴菱形的两条边和较短的对角线构成了一个等边三角形，
∴菱形的边长为6；
故答案为：6
（2）设对角线相交于点，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：

【点睛】本题主要考查了菱形和等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握菱形和等边三角形的性质，以及勾股定理是解题的关键．
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