18.3正方形同步练习（含解析）华东师大版数学八年级下册

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18.3正方形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
2．如图，已知等腰直角三角形纸板中，．现要从中剪出一个尽可能大的正方形，则能剪出的最大正方形的面积是（ ）
A． B． C．25 D．50
3．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD是正方形，（即各边相等，各内角都是90°）△EBC为等边三角形，则∠BEA为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
5．如图，将边长为正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，边相交于点，则四边形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，四边形是菱形，顺次连接菱形各边的中点，则说法正确的是（　　）

A．是菱形 B．是正方形 C．是矩形 D．是平行四边形
7．如图，在正方形中，点F在边上（不与点C，点D重合），点E是延长线上的一点，且满足，连接EF，过点A作，垂足是点H，连接．设，则（　　）

A． B． C． D．
8．下列说法：（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（3）有两条互相垂直的对称轴的四边形是菱形；（4）四个内角相等，两条对角线互相垂直的四边形是正方形．错误的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
9．如图，在正方形中，，F是对角线，的交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（ ）

A．仅①②③ B．仅①②④ C．仅②③④ D．①②③④
10．如图，正方形的边长为，对角线、相交于点．为上的一点，且，连接并延长交于点．过点作于点，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，正方形的边长为4，E，F分别是边上的动点，且，连接交于点G，P是边上的另一个动点，连接，则的最小值为 ．
14．E，F分别是正方形边，上的点，．以，为边作，连结并延长交于点H，连结．若，则的长为 ．

15．如图，在正方形中，是对角线，的交点，过点作，，分别交，于点、点，，，则的长为 ．
16．如图，点是四边形内一点，且满足，，，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的形状为 .

17．定义：平面上一点到图形的最短距离为d，如图，OP=2，正方形ABCD的边长为2，O为正方形中心，当正方形ABCD绕O旋转时，d的取值范围是 ．
三、解答题
18．（1）如图1，点是正方形两条对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接、，则直线和的夹角为___________；线段、之间的数量关系是___________．
（2）如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，
①试判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
②若正方形的边长为1时，在旋转过程中，求长的最大值和此时角的度数，直接写出结果不需要说明理由．
19．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请你补充完整．
原题：如图，点分别在正方形的边上，，连接则，请说明理由．
思路梳理
（1），
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，
即点在一条直线上．
根据______，易证______，得．
类比引申
（2）如图，四边形中，，点分别在边上，若都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有．
联想拓展
（3）如图，在中，，点均在边上，且．
①试猜想线段之间的数量关系，请证明你的猜想；
②直接写出的面积．
20．如图，在矩形中，平分，交于点，点是上的一点，连接，，且．过点作于，延长线交于，过点作于．
(1)如图1，①若，求线段的长；
②求证：；
(2)如图2，过点作于，当时，若，求的长
21．如图，是正方形的对角线，经过旋转后到达的位置 .

(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)分别写出点、、的对应点．
22．（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明：
（2）小明逆向思考（1）这个题目并提出问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
步骤一：将正方形纸片（边长为4）对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1．
步骤二：将图1中的纸片的右上角沿着折叠，点落到点的位置，连接，得到图2．
步骤三：在图2的基础上，延长与边交于点，连接，得到图3．
(1)求的度数；
(2)求线段的长度
24．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．
(1)求证：①DE=FG；
②DE⊥FG；
(2)若正方形ABCD的边长为2，求FG的最小值．
《18.3正方形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C C C C A D C
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定即可得到答案．
【详解】解：A、对角线相等的四边形无法判定是矩形，故此选项不符合题意；
B、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项不符合题意；
C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是矩形，故此选项符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形、平行四边形、矩形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握它们的判定方法．
2．C
【分析】本题主要考查图形的拼接，涉及正方形的性质和等腰直角三角形的性质，根据题意要求从一张等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形是以两直角边、斜边中点和直角顶点为正方形四个顶点，设正方形的边长是a，则，且，求解即可．
【详解】解：假设能剪出的最大正方形为，如图，
则，，
设正方形为的边长为a，
∵，
∴，
则，即，解得，
∴能剪出的最大正方形的面积25．
故选：C．
3．D
【分析】先根据正方形的性质得出，，，结合已知可求出的度数，再证和全等，得出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据正方形和等边三角形的性质以及内角和定理进行计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BC，∠ABC＝90°，∠EBC＝60°，
∴AB＝BE，∠ABE＝∠ABC-∠EBC＝30°，
∴∠BEA＝∠BAE＝75°，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查利用正方形和等边三角形的性质以及三角形的内角和定理求角的度数．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，判断出点共线是解答本题的关键．
【详解】解：如图，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
∵正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，
∴，
∴点共线，且，
，
∴四边形的面积为
．
故选C．
6．C
【分析】依据题干进行推理，分别对菱形、正方形、矩形、平行四边形的逐一进行判断，看是否符合题意即可．
【详解】如图，连接菱形的对角线AC、BD．

由菱形的性质可知，．
∵分别是菱形各边的中点，
∴由三角形中位线定理可得：．
∴．
所以四边形是平行四边形．
由得，
，
故四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
因此，C正确．
对于选项A，假如是菱形或者正方形，则可推得，而菱形的对角线不一定相等，与题干矛盾，A、B错误；
对于选项D，是平行四边形的充分条件并不需要是菱形，只要是普通四边形就足够了，故D说法不够精确，D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、顺次连接菱形各边的中点所构成的四边形具有什么特点，解题的关键是深刻理解各种特殊四边形的特征．
7．C
【分析】连接，过点H作交于点M，交于点N，可得,，证明，可得到，可得是等腰直角三角形，由得到，，则可得到，，得到是等腰三角形，可以证明四边形是矩形，可进一步证明，得到，得是等腰直角三角形，则可得到，则，设，则，则，得到，则，即可得到结论．
【详解】解：连接，过点H作交于点M，交于点N，

∵四边形是正方形，
∴,，
∴，
在和中，
,
∴，
∴，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∵,
∴，，
即是的中点，
∴，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8．A
【分析】利用平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定条件逐项分析即可．
【详解】根据一组对边平行，一组对角相等，结合平行线的性质，可得另一组对角也相等，即一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故（1）正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故（2）错误；
有两条互相垂直的对称轴的四边形也可以是矩形，故（3）错误；
四个内角相等的四边形是矩形，两条对角线互相垂直的矩形是正方形．即四个内角相等，两条对角线互相垂直的四边形是正方形，故（4）正确．
综上可知（2）（3）错误，有2个．
故选A．
【点睛】本题考查特殊四边形的判定方法．掌握判定特殊四边形的条件是解答本题的关键．
9．D
【分析】先证可得，然后说明可判断①；当G，E为中点时，四边形为正方形，可判断②；先说明当最小时，最小，时，最小为4，然后运用勾股定理求得的最小值；根据全等三角形的性质可得，即，据此即可判定④．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴为等腰直角三角形，
又∵F为斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形．故①正确，
当G，E为中点时，四边形为正方形，故②正确；
∵为等腰直角三角形，
∴当最小时，最小，
当时，最小为，
∴最小值为，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积保持不变， 故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形及正方形的性质是解题关键．
10．C
【分析】根据正方形的性质以及已知条件求得的长，进而证明，即可求得，勾股定理即可求得的长
【详解】解：如图，设的交点为，
四边形是正方形
，,
，，
，,
在与中
在中，
故选C
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．
11．A
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
∵正方形的边在x轴上，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查用勾股定理，三角形的全等判定和全等性质，正方形的性质，牢记相关定理内容并作出符合题意的辅助线是解题的关键．延长，过点E作垂直于的延长线于点F，证明，可得，然后在中，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：延长，过点E作垂直于的延长线于点F，如下图：
∵四边形是正方形
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，即：，
∵，
∴；
故选：B．
13．
【分析】取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．由题意，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，延长到T，使得，连接，，，过点O作于H．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
14．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理；先证明，得四辺形是菱形，再证明是等腰直角三角形，作出辅助线得，再证明，得到，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，延长至，使得连接，

∵四边形是正方形，
，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴， ，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴， ，
在与中，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】根据正方形的性质和 ，可得，从而AE=BF，得到BE=CF，然后在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：在正方形中，
AO=BO，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=∠ABC=90°，AB=CB，
∵，
∴∠EOF=90°，
即∠BOE+∠AOE=90°，∠BOE+∠FOB=90°，
∴∠AOE=∠FOB，
∴ ，
∴AE=BF，
∴AB-AE=CB-BF，即BE=CF，
∵，，
∴BF=3，BE=2，
在中，由勾股定理得： ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质和勾股定理，得到三角形全等是解本题的关键．
16．菱形
【分析】连接、，证得，由、，，，则，可得四边形是菱形．
【详解】解：如图，连接、，
，
，即，
在和中，
，
，
，
点、、分别为、、的中点，
、，，，
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形和菱形、正方形的判定与性质．
17．
【分析】连接，过点作于点，由题意求得，根据定义以及旋转即可求得的取值范围
【详解】如图，连接，过点作于点，
根据题意，O为正方形中心，
，
，
当点落在上时，点到正方形的最小距离为，
当点落在上时，点到正方形的最小距离为，
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．
18．（1），、之间的数量关系是相等；（2）①成立，见解析②，
【分析】（1）延长交于点H，证明，根据等量代换证明结论；
（2）①延长交于点H，交于点M，然后仿照（1）的步骤求解即可；
②根据正方形的性质分别求出和的长，根据旋转变换的性质求出长的最大值和此时α的度数．
【详解】解：（1）如图1，延长交于点H，
∵点O是正方形两对角线的交点，
∴，
又，，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
故答案为：；相等；
（2）①如图，延长交于点H，交于点M．
点是正方形两对角线的交点，
，，
，，
∴．
旋转
．
在和中，
，
，
，，
，
；
②如图，连接，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形的边长为1，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴当A、O、在一条直线上时，的长最大，最大值为，此时．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质以及勾股定理，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键．
19．（1），；（2）；（3）①，理由见解析；②
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键：
（1）利用旋转的性质，证明，即可；
（2）同法（1）进行证明即可；
（3）①把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论．②先求解，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）如图，
，，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图，
，
，点，、共线，
则，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
故答案为：，；
（2）当时，，理由如下：
如图，
，，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，，
，，
，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，
即；
故答案为：；
（3）①，理由如下：
把旋转到的位置，连接，，如图，则，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
是直角三角形，
，
②，，，
，
，
∵，
的边上的高为，
．
20．(1)①；②证明过程见详解
(2)的长为
【分析】（1）①根据矩形，平分，可知，是等腰直角三角形，由此即可求解；②如图所示，过点作于，可证，由此即可求解；
（2）如图所示，过点作于，可证四边形是正方形，根据，即可求解．
【详解】（1）解：①∵矩形，，平分，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
∴；
②如图所示，过点作于，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
（2）解：如图所示，过点作于，
∵矩形中，平分，
∴，，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，且，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形，角平分线，等腰直角三角形，全等三角形，正方形的综合，理解题意，掌握矩形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)点
(2)旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度
(3)点、、
【分析】（1）由于经过旋转后到达的位置，则点的对应点为，于是可判断旋转中心；
（2）根据旋转的性质求解；
（3）根据旋转的性质求解．
【详解】（1）经过旋转后到达的位置，点的对应点为，
它的旋转中心是点；
（2）是正方形的对角线，
，
经过旋转后到达的位置，
它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；
（3）经过旋转后到达的位置，
点、、的对应点分别为点、、．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，会运用旋转的性质解决问题是解本题的关键．
22．（1），证明见解析；（2），见解析
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：
（1）取的中点连接，根据已知条件可证明，即可得出结论．
（2）如图所示，在上取连接根据条件可证得出由可得出即可得出结论．
【详解】解：（1），理由如下：
证明：如图所示，取的中点连接，
∵分别为正方形的边的中点，
∵平分
在和中，
（2）如图所示：在上取连接
由（1）同理可得
∴
23．(1)度
(2)
【分析】（1）利用折叠得到全等三角形，通过角的关系求出的度数；
（2）借助全等得出边的关系，再在直角三角形中运用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
由翻折的性质可知，，，，
，
，
又，，
，
，，
；
（2）解：正方形纸片的边长为4，则，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，
，解得，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
24．(1)①见解析；②见解析
(2)的最小值为
【分析】（1）①连接，交于点O，先证明四边形为矩形，得到，再证明，得到，即可证明；②延长交于点M，交于点H，由全等三角形和矩形的性质证明，再由，得到，则，由此即可证明结论；
（2）由DE=FG，则当DE最小时FG最小，根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：①连接，交于点O，如图，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②延长交于点M，交于点H，如图，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵点E为上一动点，
∴根据垂线段最短，当时，有最小值，
又∵，
∴此时有最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，三线合一定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，垂线段最短等等；证明是解题的关键．
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