19.2数据的离散程度同步练习（含解析）华东师大版数学八年级下册

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19.2数据的离散程度
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一组数据的方差可以用式子表示，则式子中的数40所表示的意义是（　　）
A．这组数据的个数 B．这组数据的平均数 C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
2．云南省第十六届运动会将于2022年8月在玉溪市举办，下表记录了备战省运会的四名10米气步枪运动员近期训练成绩的平均成绩和方差，
甲 乙 丙 丁
平均成绩（环） 615 620 615 620
方差 3.1 3.4 5.7 4.5
要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．某班有40人，一次数学单元测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小明没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为105分，方差．后来小明进行了补测，成绩为105分，关于该班40人的数学单元测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
6．某校选拔五名运动员参加市阳光体育运动会，这五名队员的年龄分别是17、15、17、16、15，其方差是0.8，则三年后这五名队员年龄的方差（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
7．市农科所收集统计了甲、乙两种甜玉米各块试验田的亩产量后，得到方差分别是、，则（ 　　）
A．甲比乙的亩产量稳定 B．乙比甲的亩产量稳定
C．甲、乙的亩产量稳定性相同 D．无法确定哪一种的亩产量更稳定
8．已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．某校四位学生参加数学竞赛模拟测试，每位同学的5次测试的平均分和方差如表所示：根据表格中的数据，选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加正式竞赛，应该选择（ ）
学生 平均分 方差
甲 95
乙 93
丙 92
丁 90
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．已知两组数据：x1、x2、x3、x4、x5和x1+2、x2+2、x3+2、x4+2、x5+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（　　）
A．平均数相等 B．中位数相等 C．众数相等 D．方差相等
11．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．2022年冬季奥运会在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（单位：秒） 52 m 53 49
方差（单位：秒） n
根据表中数据，可以判断乙是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员，则m、n的值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
13．甲、乙两名同学参加古诗词大赛，五次比赛成绩的平均分都是90分，如果甲五次比赛成绩的方差为0.8，乙五次比赛成绩依次为88分、89分、90分、91分、92分，则这五次比赛成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
14．甲、乙两块水稻田，随机测量若干株水稻的高度后，计算方差分别为，，则两块水稻田稻苗高度比较均匀的是 ．（填“甲”或“乙”）
15．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是环，方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
方差
则这四人中成绩发挥最稳定的是 ．
16．甲、乙两名战士在相同的条件下各射击10次，对射击的成绩进行统计分析，若，，，，则甲、乙中射击成绩较稳定的是 ．
17．甲、乙两名同学10次跳远成绩的方差分别为，则跳远成绩更稳定的是 ．
三、解答题
18．为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

(1)求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
统计量 平均数 众数 中位数 方差
（1）班 8 8 c 1.16
（2）班 a b 8 1.56
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
19．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同的条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，解答下列问题：
(1)算出甲射击成绩的平均数；
(2)经计算，乙射击成绩的平均数为8，甲射击成绩的方差为1.6，请你计算出乙射击成绩的方差，并判断谁的射击成绩更加稳定．
20．学校运动会开设了“抢收抢种”项目，八（5）班甲，两个队伍都想代表班级参赛，为了选择一个比较好的队伍，八（5）班的班委组织了一次选拔赛，甲，乙两队各5人的比赛成绩如下表（单位：分）：
甲队 7 8 10 7 8
乙队 7 8 7 9 9
经计算，甲队比赛成绩的平均数为8分，方差为，请计算乙队比赛成绩的方差，并根据计算结果，帮助班委选择一个成绩比较稳定的队伍代表班级参赛．
21．射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)分别计算甲、乙两人的平均成绩．
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
(3)若成绩不低于9环为优秀，分别求出甲、乙两人的优秀率．（精确到）
(4)射击环数为10环可能得冠军，若你是教练员，为了尽可能获得冠军，你会推荐谁参加比赛？
22．如图为A，B两家酒店去年下半年的月营业额折线统计图．
(1)要评价两家酒店7～12月的月营业额的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．
(2)分别求出两家酒店7~12月月营业额的方差．
(3)根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为哪家酒店经营状况较好？请简述理由．
23．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）
日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是．
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
24．下表是明德学校初三（一）班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）．
慧慧 116 114 110 106 111 112 108 112 111 120
聪聪 112 104 105 102 109 120 111 108 120 109
回答下列问题：
(1)分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差；
(2)根据（1）中结果，你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由．
《19.2数据的离散程度》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B C A B A D
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】由方差的计算公式即可得到答案．
【详解】解：根据方差的计算公式，
可知式子中40即是，
∴数字40所表示的意义是这组数据的平均数，
故选：B．
【点睛】本题考查方差的计算公式，解题的关键是理解、掌握公式中字母所代表的意义．
2．B
【分析】选择平均数较高且方差较小的即可．
【详解】解：由平均数可知，乙和丁成绩较好，
乙的方差小于丁的方差，故乙发挥稳定，
故选：B．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．
3．C
【分析】本题考查了方差的意义，解题关键是理解方差的意义，方差越小越稳定，根据方差的意义作出决策．
先比较四人的平均数，再比较方差的大小，然后作出判断．
【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，
∴四人的平均数相同，
∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，方差分别为，，，，
，
∴丙的射击测试成绩最稳定．
故选： C．
4．D
【分析】本题主要考查方差，算术平均数，根据方差越小越稳定求解即可．
【详解】解：∵，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故选：D．
5．B
【分析】根据平均数、方差的定义即可解答．
【详解】解：∵小明的成绩和其他39人的平均数相同，都是105分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为105分，方差变小．
故选：B．
【点睛】本题考查方差、算术平均数等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．
6．C
【分析】根据方差公式的性质求解．三年后，五名队员的年龄都要加三，数据的波动性没改变，所以方差不变．
【详解】解：由于方差反映的数据的波动大小，而3年后，这五名队员与现在的波动情况是相等的，方差仍为0.8，
则三年后这五名队员年龄的方差不变．
故选：C．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据的波动程度不变，方差就不变．
7．A
【分析】根据方差越小越稳定，方差越大越不稳定进行求解即可
【详解】解：∵，，
∴，
∴甲比乙的亩产量稳定，
故选A．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟知方差的意义是解题的关键：方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．
8．B
【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系．方差越小，数据越集中，据此可得答案．
【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，
∴，
故选：B．
9．A
【分析】此题主要考查了方差，算术平均数，掌握方差的含义是关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．所以选出方差最小．
【详解】解：数学竞赛模拟测试中甲学生的考试成绩平均分最高，且方差最小，发挥稳定，
选择甲参加正式数学竞赛．
故选：A
10．D
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义求解即可．
【详解】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，
∴这两组数据的平均数、中位数和众数都改变，而波动幅度不变，即方差不改变，
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
11．A
【分析】根据方差作出决策即可．
【详解】∵平均成绩都是9环，甲的方差最小，
∴甲最稳定，
故选A．
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．D
【分析】本题考查了平均数与方差的意义，熟悉掌握理解平均数与方差的概念是解题的关键．
根据平均数与方差的概念，对比四个选项中的数值即可解答．
【详解】解：对比四个选项的平均数可得：，平均数越小，成绩越好，因此；
对比四个选项的方差可得：，方差越小，发挥越稳定，因此；
故则m，n的值可以是，；
故选：D．
13．甲
【分析】先求出乙五次比赛成绩的方差，然后与甲五次比赛成绩的方差进行比较，根据方差越小，成绩越稳定即可得到答案．
【详解】解：由题意得：乙五次比赛成绩的方差
∵2＞0.8，即乙五次比赛成绩的方差大于甲五次比赛成绩的方差，
∴五次比赛成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了求方差和利用方差判断稳定性，熟知求方差的方法是解题的关键．
14．甲
【分析】根据方差越小，数据越稳定解答即可．
【详解】解：∵，，且＜，
∴＜，
∴两块水稻田稻苗高度比较均匀的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查方差，熟知方差越小，数据越稳定是解答的关键．
15．乙
【分析】根据方差的意义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴这四人中乙选手的成绩方差最小，
∴这四人中成绩发挥最稳定的是乙．
故答案为：乙
【点睛】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．乙
【分析】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可得出结论．
【详解】解：由题意得，，，
射击成绩较稳定的是乙．
故答案为：乙．
17．甲
【分析】根据方差越小，越稳定，比较方差大小解答即可．
考查了方差的意义，熟练掌握方差越小，越稳定是解题的关键．
【详解】∵，
∴甲更稳定，
故答案为：甲．
18．(1)（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人
(2)a，b，c的值分别为8，9，8
(3)（1）班成绩更均匀
【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据（1）中数据分别计算a，b，c的值即可；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
【详解】（1）解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知：
a＝＝8；
∵9分占总体的百分比为28%是最大的，
∴9分的人数是最多的，
∴众数为9分，即b＝9；
由题意可知，（1）班的成绩按照从小到大排列后，中间两个数都是8，
∴c＝＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）∵（1）班的方差为1.16，（2）班的方差为1.56，且1.16＜1.56，
∴根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
【点睛】本题主要考查统计的知识，根据方差判断稳定性，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
19．(1)8
(2)1.2，乙的射击成绩更稳定
【分析】（1）根据平均数的定义解答即可；
（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．
【详解】（1）解：
（2）
∵ ；
∴ 乙的射击成绩更稳定．
【点睛】本题考查了平均数与方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
20．乙队，见解析
【分析】先求出乙组的平均成绩，再根据方差公式进行计算，再比较出甲组和乙组的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【详解】解：乙队比赛成绩的平均数为(分)，
乙队比赛成绩的方差是(分)，
因为两队比赛成绩的平均数相等， 且，
所以选择乙队代表班级参加学校比赛．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
21．(1)甲的平均成绩为9环，乙的平均成绩为9环
(2)推荐甲参加省比赛更合适，理由见解析
(3)甲的优秀率为，乙的优秀率为
(4)推荐乙参加比赛
【分析】本题考查了平均数、方差等知识，解题关键是牢记平均数和方差的计算公式，并正确分析题意．
（1）根据图表得出甲、乙每次数据，再根据平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据方差公式求出甲、乙六次测试成绩的方差即可求解；
（3）根据题干中“成绩不低于9环为优秀”的定义，分别统计甲、乙成绩不低于9环的次数，再除以总次数6，即可求出优秀率；
（4）根据题意可得六次测试成绩中，甲得10环的有2次，乙得10环的有3次，即可求解．
【详解】（1）解：甲的平均成绩为（环），
乙的平均成绩为（环）．
（2）解：甲六次测试成绩的方差为
乙六次测试成绩的方差为
推荐甲参加省比赛更合适，
理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当，但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加省比赛更合适．
（3）解：甲的优秀率为，
乙的优秀率为．
（4）解：六次测试成绩中，甲得10环的有2次，乙得10环的有3次，因为射击环数为10环可能得冠军，所以为了尽可能得冠军，应该推荐乙参加比赛．
22．(1)平均数，，
(2)，
(3)A酒店经营状况好，理由见解析
【分析】（1）根据平均数可以判断营业水平，根据数据求平均数即可；
（2）根据方差公式求解即可；
（3）根据平均数和方差综合分析即可．
【详解】（1）选择两家酒店月营业额的平均数：
，
，
（2）
；
（3）A酒店营业额的平均数比B酒店的营业额的平均数大，且B酒店的营业额的方差小于A酒店，说明B酒店的营业额比较稳定，而从图像上看A酒店的营业额持续稳定增长，潜力大，说明A酒店经营状况好．
【点睛】此题考查平均数的求法和方差在数据统计中的应用，解题的关键是掌握平均数的求法和方差的求法和意义．
23．(1)，见解析
(2)甲，见解析
(3)选甲更合适．理由见解析
【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键．
（1）先求出乙的方差，然后比较即可；
（2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可；
（3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可．
【详解】（1），
即．
因为，
所以，
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．
（2）由已知得，获奖分数线的平均数为，
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
（3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．
24．(1)慧慧的平均分数=112分，方差=14.2；聪聪的平均分数=110分，方差=33.6
(2)选慧慧参加全国数学竞赛更合适，理由见解析．
【分析】（1）根据平均数的计算公式计算她们的平均成绩，再根据方差公式计算两组数据的方差；
（2）根据平均数的大小和方差的意义进行判断．
【详解】（1）解：慧慧的平均分数=(116+114+110+106+111+112+108+112+111+120)=112（分），
慧慧成绩的方差 S2= [(112-116)2+(112-114)2+(112-110)2+(112-106)2+(112-111)2+(112-112)2+(112-108)2+(112-112)2+(112-111)2+(112-120)2]=14.2，
聪聪的平均分数=(112+104+105+102+109+120+111+108+120+109)=110（分）；
慧慧成绩的方差 S2= [(112-110)2+(110-104)2+(110-105)2+(110-102)2+(110-109)2+(110-120)2+(110-111)2+(110-108)2+(110-120)2+(110-109)2]=33.6，
（2）解：根据（1）可知慧慧的平均成绩要好于聪聪，慧慧的方差小于聪聪的方差，因为方差越小越稳定，所以慧慧的成绩比聪聪的稳定，因此选慧慧参加全国数学竞赛更合适．
【点睛】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差作决策，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
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