第二十六章二次函数同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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第二十六章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若二次函数的图像经过点、，则、的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶
．．． 0 1 2 ．．．
0 4 6 6 4
从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线与 轴的一个交点坐标为
B．抛物线与 轴的交点坐标为
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小
4．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线和的共同性质是（ ）
A．过原点 B．开口向上 C．都有最高点 D．随增大而增大
6．已知函数，当时，随的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列二次函数的图象中经过原点的是（ ）
A． B． C． D．
8．将二次函数的图象，先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．规定：如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程是“倍根方程”；
②若方程是“倍根方程”，则；
③若方程是“倍根方程”，且相异两点A（2+t，s），B（4-t，s）都在抛物线上，则方程的一个根为2；
④若点（m，n）在反比例函数的图像上，则方程是“倍根方程”．
上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
10．如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
11．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
12．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．抛物线的对称轴是直线 ．
14．抛物线顶点坐标 ．
15．设、是方程的两个实数根，则的值为 ．
如果将抛物线的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 ．
16．已知抛物线，如果点P（0，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是 ．
17．将函数的图象向左平移 个单位，可得到函数的图象．
三、解答题
18．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
19．如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，现计划将此余料进行切割．
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与、重合），过点作轴的垂线，垂足点为，连接．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点的坐标．
(2)如果点的坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围，并求出的最大值．
(3)在（2）的条件下，当取到最大值时，过点作轴的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为点，求出的坐标，并判断是否在该抛物线上．
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．
（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；
（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧作正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为 　 　（不必写出t的取值范围）．
22．【操作】如图①，在矩形中，为对角线上一点（不与点重合），将沿射线方向平移到的位置，的对应点为．已知（不需要证明）．
【探究】过图①中的点作交延长线于点，连接，其它条件不变，如图②．求证：．
【拓展】将图②中的沿翻折得到，连接，其它条件不变，如图③．当最短时，若,，直接写出的长和此时四边形的周长．
23．已知二次函数．
(1)若该图象过点，求c的值并求图象的顶点坐标；
(2)若二次函数的图象与坐标轴有2个交点，求字母c的值．
24．如图，已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过A(0，3)，且对称轴是直线x＝2.
(1)求该函数的解析式；
(2)在抛物线上找一点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的，求出点P的坐标．
《第二十六章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B A A B C C A
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题考查了二次函数图象性质，比较二次函数上两点的函数值，利用二次函数的函数图象的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，进行分析，即可作答．
【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴（即），
则点到对称轴的距离为3，点到对称轴的距离为4，
则开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
∵
∴，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，对于顶点式的二次函数，其对称轴为直线，掌握此点是关键．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到A、B正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故C正确；根据 ，得到抛物线开口向下，然后利用二次函数的增减性即可判断D错误；即可求解．
【详解】解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当时 ， ，
∴点，在抛物线上，故A、B正确，故本选项不符合题意；
根据表格中信息，得：
当 时， ，
当 时，，
∴抛物线的对称轴为 ，故C正确，故本选项不符合题意；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故D错误，故本选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴所得抛物线的解析式是，
故选：B．
5．A
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
【详解】解：抛物线开口向下，经过原点，有最高点，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小，
抛物线开口向上，经过原点，有最底点，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
∴抛物线和的共同性质是经过原点，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．A
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，对任意的，，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于即可，进而求解．将转换为最大值与最小值的差小于等于是解题的关键．
【详解】解：∵函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小，
∴，
∵和，
∴时，函数的最小值为：，
∴函数的最大值在和中产生，
则，中，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，而，
∴距离更远，
∴当时，函数取得最大值为：，
∵对任意的，，，相应的函数值，总满足，
∴最大值与最小值的差小于等于，
即，
∴，
解得：，
∵，
∴实数的取值范围是．
故选：A．
7．B
【分析】本题只需要将x=0代入函数解析式，然后看所得出的函数值是否为零即可得出正确答案．
【详解】A、将x=0代入可得y=1，故不经过原点；B、将x=0代入可得y=0，故经过原点；C、将x=0代入可得y=4，故不经过原点；D、将x=0代入可得y=－3，故不经过原点；故选B．
【点睛】本题主要考查的是判断函数图象是否经过某一个点，属于基础题型．在判断点是否在函数图象上时，我们只要将点的横坐标代入函数解析式，看函数值是否相等即可得出答案．
8．C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数解析式的变化求解更简便．先求出二次函数顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后二次函数顶点坐标，然后利用顶点式写出即可．
【详解】解：二次函数顶点坐标为，
图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后，
平移后顶点坐标为，
所得图象的函数表达式是．
故选：C．
9．C
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；
②设x2＝2x1，得到x1 x2＝2x12＝2，得到当x1＝1时，x2＝2，当x1＝ 1时，x2＝ 2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；
③由方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是倍根方程，得到x1＝2x2，由已知条件得到得到抛物线的对称轴x＝2，可得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
④若点（m，n）在反比例函数的图象上，得到mn＝4，然后解方程mx2＋5x＋n＝0即可得到正确的结论.
【详解】①由x2-2x 3＝0，得（x＋1）（x 3）＝0，
解得x1＝ 1，x2＝3，
∵x1≠2x2或x2≠2x1，
∴方程x2-2x 3＝0不是倍根方程.故①错误；
②关于x的方程x2＋ax＋2＝0是倍根方程，
∴设x2＝2x1，
∴x1 x2＝2x12＝2，
∴x1＝±1，
当x1＝1时，x2＝2，
当x1＝ 1时，x2＝ 2，
∴x1＋x2＝ a＝±3，
∴a＝±3，故②正确；
③∵方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是倍根方程，不妨设x1＝2x2，
∵相异两点M（2＋t，s），N（4 t，s）都在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，
∴由抛物线的对称轴x＝，
可知：x1＋x2＝6，
又∵x1＝2x2，
∴2x2＋x2＝6，即x2＝2，
∴x1＝4，
即ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1＝4，x2＝2．故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，
∴mn＝4，
解mx2＋5x＋n＝0得x1＝ ，x2＝ ，
∴x2＝4x1，
∴关于x的方程mx2＋5x＋n＝0不是倍根方程；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误．
【详解】解：由图象可知：函数的对称轴为直线，
∴，即，结论①正确；
由题意可知，函数的图象经过点，
将点代入：，解得，
∴函数的解析式为，其顶点坐标为，
∴函数在段的图象的最高点的坐标为，
∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为，
∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确；
由上可知，函数的解析式为，
当或时，，
当时，，
有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点，
则，解得；
如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，
联立得：，这个方程有两个相等的实数根，
∴方程根的判别式，
解得，
∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确；
由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数取得最小值，最小值为，
∴对于任意实数，都有，即，结论④错误；
综上，正确的是①②③，
故选：A．
11．B
【分析】根据函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线为，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图像平移，熟记函数图像的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．
12．D
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：A.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二、三象限；当时，y随x的增大而增大．故选项B不符合题意；
C.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
13．
【分析】根据顶点式直接可得对称轴为直线．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键．
14．
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转换是解题的关键．
通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：将函数解析式进行配方：，
所以顶点坐标为 ．
故答案为 ．
15．
【分析】先根据根与系数的关系得到，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算；
直接根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：根据根与系数的关系得，
所以；
将抛物线的图象向右平移3个单位，
得到的抛物线是．
故答案为：；．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
16．（3，5）
【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可．
【详解】解：的对称轴为，
点关于该抛物线的对称轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质．
17．3
【分析】先把，化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律可得答案.
【详解】解：
把向左平移3个单位长度可得：
即
故答案为：3
【点睛】本题考查的是把抛物线的一般式化为顶点式，抛物线的图象的平移规律，掌握“抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减”是解题的关键.
18．（1）y=4x2﹣16x+12；（2）P（，﹣3）．（3）不存在．理由见解析.
【详解】试题分析：（1）由tan∠ABC=4，可设B（m，0），则A（m-2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4(x-m)(x-m+2),把C点坐标代入即可求解；
（2）设P（m，4m2-16m+12）.作PH∥OC交BC于H，根据SΔPBC=SΔPHC+SΔPHB，构建二次函数，求解即可；
（3）不存在.假设存在，由题意知， 且1＜﹣＜2，求出a的值，解不等式组即可得解.
试题解析：（1）∵tan∠ABC=4
∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），
∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），
把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，
∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），
∴y=4x2﹣16x+12，
（2）如图，设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H．
∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，
∴H（m，﹣4m+12），
∴S△PBC=S△PHC+S△PHB=（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12） 3=﹣6（m﹣）2+，
∵﹣6＜0，
∴m=时，△PBC面积最大，
此时P（，﹣3）．
（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，
且1＜﹣＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整数，
∴a="5" 或6或7，
当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．
考点：二次函数综合题.
19．(1)
(2)20
【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据计算点H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可．
（2）由（1）知所设的点H的坐标，表示矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：如图1，由题意，得，，，
设抛物线的解析式为．
把代入，得，
∴，
∴抛物线的解析式为．
∵四边形是正方形，
∴．
设，
∴，
解得，（舍去）．
∴此正方形的面积为．
（2）解：如图2，由（1）知，
∴矩形的周长为．
∵，
∴当时，矩形的周长最大，且最大值是．
故此矩形的周长为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、二次函数的最值问题，根据题意求出二次函数的解析式是解决问题的关键．
20．(1)解析式为．顶点坐标为
(2)，取最大值
(3)，点不在该抛物线上
【分析】（1）将点，点，点坐标代入，即可求解；
（2）先根据点和点的坐标确定直线的函数解析式，然后再根据三角形面积公式确定的面积与之间的函数关系，并根据函数关系式以及函数所具有的图象性质求出的最大值；
（3）利用图形折叠的特性求出的坐标，将的坐标代入抛物线的函数解析式，判断是否在该抛物线上．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、、三点，
∴，
解得，
∴解析式为．
∵，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：∵，，
∴设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
∵在上，
∴，
∴，
当时，取最大值．
（3）解：如图，设与轴交于点，过作轴于点，
∵沿翻折得，且，
∴，，，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
当时，，
∴点不在该抛物线上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，轴对称的性质，求一次函数的解析式，二次函数中的面积问题等，解答本题的关键是要掌握利用待定系数法求函数解析式的一般步骤，以及坐标轴上点的坐标的特征．
21．（1），y＝﹣x﹣15；（2）面积最大值225，C（﹣10，﹣30）；（3）S＝﹣+160t﹣240．
【分析】（1）利用待定系数法将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入抛物线y＝ax2+x+c即可求出抛物线的函数表达式；设AB的函数表达式是y＝kx+b，然后利用待定系数法将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入y＝kx+b即可求出直线AB的函数表达式；
（2）作CE⊥OA于E，交AB于F，设C（a，a2+a﹣15），F（a，﹣a﹣15），根据题意表示出的长度，进而表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）作AN⊥OD于N，AD与FG交于点I，首先根据题意求出OC的解析式，然后联立求出点D的坐标，然后求出，利用等腰三角形三线合一性质求出ON的长度，进而利用勾股定理求出AN的长度，表示出S△AON，然后证明出△GFI∽△OGH∽△ANO，利用相似三角形的性质表示出S△IJF＝（t﹣3）2，S△GOH＝，最后利用面积之间的关系即可求出S与t之间的函数关系式．
【详解】解：（1）由题意得，
将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入抛物线y＝ax2+x+c得，
，
∴，
∴，
设AB的函数表达式是y＝kx+b，
将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入y＝kx+b得，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣15；
（2）如图1，
作CE⊥OA于E，交AB于F，
设C（a，a2+a﹣15），F（a，﹣a﹣15），
∴FC＝（﹣﹣（+﹣15）＝﹣﹣a，
∴＝CF AO＝（﹣﹣a）×20＝﹣（a+10）2+225，
∴当a＝﹣10时，＝225，
当a＝﹣10时，y＝+﹣15＝﹣30，
∴C（﹣10，﹣30）；
（3）如图2，
作AN⊥OD于N，
∵C（﹣10，﹣30），
∴OC的解析式是：y＝3x，
由得，
，
∴D（﹣4，﹣12），
∵A（﹣20，0），OD＝4，
∴AD＝20，
∴，
又∵AN⊥OD，
∴ON＝2，，
S△AON＝，
∵OE＝t，OD＝4，
∴DE＝4﹣t，
∴JE＝3（4﹣t），
∴FJ＝EF﹣JE＝t﹣3（4﹣t）＝4（t﹣3），
∵，
∴，
又∵，
∴△GFI∽△OGH∽△ANO，
∴＝（）2＝[]2，＝（）2＝（）2，
∴S△IJF＝（t﹣3）2，S△GOH＝，
∴S＝S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH
＝10t2﹣t2﹣（t﹣3）2
＝﹣+160t﹣240，
故答案是：S＝﹣+160t﹣240．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数与一次函数综合问题，相似三角形的性质和判定，二次函数中最大面积问题等知识，解题的关键是正确分析题目中的条件，设出点的坐标，根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积．
22．探究：见解析；拓展： 四边形的周长为
【分析】探究：证明四边形EGBC是平行四边形，推出EG=BC，利用SAS证明三角形全等即可．
拓展：如图3中，连接BD交AC于点O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．由题意四边形AGFC是平行四边形，推出GF=AC=，由BF=BF′，可以假设BF=x，则BG=利用相似三角形的性质，求出BH，HF′，利用勾股定理求出GF′，再利用二次函数的性质，求出GF′的值最小时BF′的值，推出BF′= 此时点F′与O重合，由此即可解决问题．
【详解】解：探究：由平移，
∴，即
又∵，∴四边形为平行四边形
∴
∵，∴∠CBF=∠ACB，
∵
∴∠AEG=∠ACB，
∴∠AEG=∠CBF
∴．
拓展：
如图3中，连接BD交AC于点O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AB=4，BC=2，
∴
∵
∴，
∴
由题意四边形AGFC是平行四边形， ∴GF=AC=，
∵BF=BF′，可以假设BF=x，则BG=
∵AC∥GF， ∴∠BOK=∠HBF′，
∵∠BKO=∠F′HB=90°，
∴△F′HB∽△BKO，
∴
∴
∴
∴
∵ ＞0，
∴当 时，GF′的值最小，
此时点F′与O重合，由对折得：
由矩形的性质得：
四边形BFCF′是菱形，
四边形BFCF′的周长为，
且与互相平分，
由勾股定理得：
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
23．(1)，顶点坐标
(2)或0
【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数图象与坐标轴的交点，掌握相关知识是解题的关键．
（1）把点代入解析式，即可求出c的值，将二次函数化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）二次函数的图象与坐标轴有2个交点，其中一个交点是与y轴的交点，因此分两种情况求解，即二次函数图象与x轴只有一个交点，或二次函数图象与x轴、y轴的交点重合，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴，
∴该函数图象的顶点坐标为．
（2）解：∵二次函数的图象与坐标轴有2个交点，
∴当二次函数图象与x轴只有一个交点时，
∴，
解得；
当二次函数图象与x轴、y轴的交点重合时，即二次函数图象过原点，
∴；
综上所述，或0．
24．(1)y＝x2－4x＋3;(2)点P的坐标是(2＋，2)或(2－，2)
【详解】试题分析：(1)由A点坐标可知 ，由对称轴可知 ，得到 ，从而得到函数的解析式为.
(2)根据坐标先求出△ABC的面积，进而求出△PBC的面积，根据三角形面积计算公式逆推出P点的纵坐标 ，再令 ，解一元二次方程即可求得P点的横坐标，从而得到P点坐标.
试题解析：(1)由题意得n＝3，，∴m＝－4，∴该函数的解析式为y＝x2－4x＋3.
(2)∵A(0，3)，∴OA＝3.∵S△PBC＝S△ABC，∴|yP|＝×3＝2.
∵函数的最小值为－1，∴yP＝2.代入函数解析式中得x2－4x＋3＝2，解得x＝2±，
∴点P的坐标是(2＋，2)或(2－，2)．
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