第二十七章圆同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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第二十七章圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图,四边形ABCD为矩形,△ACE为AC为底的等腰直角三角形,连接BE交AD、AC分别于F、 N,CM平分∠ACB交BN于M,下列结论：(1)BE⊥ED;(2)AB=AF;(3)EM=EA;(4)AM平分∠BAC，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
3．如图，⊙O中，直径AB=10，AC=6，CD平分∠ACB交圆于点D，则CD=（　　）
A．7 B．7 C．8 D．9
4．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．如图，内接于，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（ ）
A．20° B．25° C．50° D．100°
7．下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列说法正确的是（ ）
A．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
B．直径是弦，弦是直径
C．半圆是轴对称图形
D．长度相等的两条弧是等弧
9．如图，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B． C．140° D．150°
12．如图，A、B是上的两点，，交于点F，则的度数为（ ）．
A．20° B．25° C．15° D．12.5°
二、填空题
13．如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π） ．
14．如图，在中，，，将绕着点按顺时针方向旋转后，得到对应的，则扫过的图形面积为 ．
15．已知在平面直角坐标系xOy内一点A到点，的距离的平方之比为2，点B的坐标，则线段AB的最大值为 ．
16．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则的半径为 米．
17．如图，在中，弦相交于点P，，则的大小是 度．
三、解答题
18．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，连接GE．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若tan∠G=，BE=4，求⊙O的半径；
(3)在（2）的条件下，求AP的长．
20．如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，∠ACB＝90°，在建立平面直角坐标系后，解答下列问题．
(1)点A坐标为 　 　，点B坐标为 　 　；
(2)将△ABC向左平移4个单位，再向下平移5个单位得到△A1B1C1，若△ABC内部任意一点P（a，b）随△ABC一起平移，则点P平移后的对应点P1坐标为　 　，PP1的长为 　 　；
(3)将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，在图中画出旋转后的△A2B2C2，并求出边CB在旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
21．如图，是的直径，点D是上一点，过点A的切线与弦的延长线交于点C，过点D的直线交线段于点E，且．
(1)求证：直线与相切；
(2)已知的半径是4，，求阴影部分的面积．
22．如图，是的直径，点、为圆上的两点，当点是弧的中点时，垂直直线，垂足为，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接．
(1)求证：与相切；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长．
23．如图，有一个半径为3cm球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来．两个三角形与球的接触点分别是P，Q，已知α=70°，β=40°，一侧接触点离地面距离PM是4cm．（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75；sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
（1）求圆心O距离地面的高度；
（2）直接写出∠QOP与α、β的关系；
（3）另一间接触点离地面距离QN又是多少？
24．如图，在△OAB中，OA＝OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF．CF，CF与OA交于点G．
（1）求证：直线AB是的切线；
（2）求证：OD EG＝OG EF；
（3）若AB＝4BD，求sinA的值．
《第二十七章圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A B B C C B A
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】连接DE，由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再利用矩形的性质可得AE=ME，即①正确；再根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，易证△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即②正确；由②得到∠ABF=∠AFB=45°，求出∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，即③正确；根据等腰三角形性质求出∠EAM=∠AME，推出∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=45°+∠BAM，即可判断（4）．
【详解】连接DE.
∵四边形ABCD为矩形,△ACE为AC为底的等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，
∴点A. B. C. D. E都在以AC为直径的圆上，
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°，
∴BE⊥ED,故(1)正确；
∵点A. B. C. D. E都在以AC为直径的圆上，
∴∠AEF=∠CED，∠EAF=∠ECD，
又∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
在△AEF和 CED中，
，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，
而CD=AB，
∴AB=AF,即(2)正确；
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，
∵CM平分∠ACB交BN于M，
∴∠EMC=∠ECM，
∴EC=EM，
∴EM=EA,即(3)正确；
∵AB=AF,∠BAD=90°，EM=EA，
∴∠ABF=∠CBF=45°，∠EAM=∠AME，
∵△AEC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，
∴∠EAM=45°+∠MAN,∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠BAM=∠NAM,∴(4)正确；
故选D.
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形，解题关键在于作辅助线
2．A
【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．
分两种情况讨论：①当点在优弧上时（记为点）；②当点在劣弧上时（记为点）；分别利用圆周角定理和圆内接四边形的性质定理即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当点在优弧上时（记为点），
如图，连接、，
四边形是的内接正方形，
，
根据圆周角定理，可得：
，
②当点在劣弧上时（记为点），
如图，
则，
的度数是或，
故选：．
3．B
【分析】由题意可知直径所对的圆周角是直角，以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=AC，BN=BC，再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等，根据全等三角形对应边相等得到DN=AM，所以DN=CM，从而得到CM+CN=DN+CN=CD．
【详解】过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC==8，
∵CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=AC=×6=3，在Rt△BCN中，CN=×8=4，
∴CM+CN=7，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM与△BDN中，，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形两直角边相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=7．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键
4．A
【分析】根据圆心O到直线L的距离为d，圆的半径为r：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交，即可求解．
【详解】解：∵∠OAB=30°，OA=10cm，
∴点O到直线AB的距离为=5cm，
∴以O为圆心，6cm为半径的圆与直线AB 的位置关系是相交，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直线和圆的位置关系，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】如图所示，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则由圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．B
【分析】由⊙O中，利用垂径定理可证得＝，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角∠ADC的度数．
【详解】解：如图，连接OC，
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝50°，
∴∠ADC＝∠AOC＝25°，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．C
【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】解：直径是弦，故①正确，
半圆是弧，故②正确，
半径相等的圆是等圆，故③正确，
同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误，
平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误，
正确的各数为3，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查圆的基本概念，包括直径、弦、半圆和等弧的定义和性质，利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项．
【详解】解：A、过圆心的点可作无数条直径，过非圆心的点不能作直径，故A错误；
B、 直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，故B错误；
C、半圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于其直径的半径所在的直线，是轴对称图形，故C正确；
D、 等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，仅长度相等不一定等弧，故D错误；
故选：C．
9．B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
10．A
【分析】首先根据弧长求出半径，然后根据扇形面积公式进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵扇形的弧长为，圆心角为120°，
∴
∴解得半径，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．
11．C
【分析】先根据垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得∠BOD＝2∠CAB＝40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝2∠CAB
＝2×20°
＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD
＝180°﹣40°
＝140°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
12．D
【分析】由题意得是等腰三角形，结合可得，再根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可得出．
【详解】解：∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系、等腰三角形的性质，掌握“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”是解题的关键．
13．（4π﹣3）cm2
【分析】连接OB、OC，作OH⊥BC于H，根据圆周角定理可知∠BOC的度数，根据等边三角形的性质可求出OB、OH的长度，利用阴影面积=S扇形OBC-S△OBC即可得答案
【详解】：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，
则BH=HC= BC= 3，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，
∴OB==2 ，OH=，
∴阴影部分的面积= ﹣×6×=4π﹣3 ，
故答案为（4π﹣3）cm2．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.
14．
【分析】先根据旋转的性质可得，再根据所求的面积等于扇形ACE面积减去扇形ABD面积即可得．
【详解】由旋转的性质可知，
则所求的面积为
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题关键．
15．
【分析】满足条件的点A在以D（-3，0）为圆心为半径的圆上运动，则线段AB的最大值为BD与圆的半径的和，则求出BD的长即可解决．
【详解】如图，设N，M，A（x，y），
∵A点到N、M的距离的平方比为2，即：，
∴，
∴，
即，
上式表明：点A到D ( 3，0)的距离等于定值，则点A在以D（-3，0）为圆心为半径的圆上运动，
如图，连接BD、BN，则点A 在线段BD的延长线时，AB最大，且最大值为BD+，
∵BN=3，DN=OD+ON=3+1=4，
∴由勾股定理得：，
则线段AB的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题是求线段的最大值问题，考查了勾股定理，圆外一点与圆上点的最大值是过圆心的线段，根据题意得出点A的运动路径是本题的难点与关键．
16．5
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．连接交于点，连接，根据题意得米，，利用垂径定理得出，再利用勾股定理建立方程即可解决问题．
【详解】解：连接交于点，连接，
则米，，
所以点M为的中点．
因为米，
所以米，
令的半径为米，
在中，，
解得，
所以的半径为5米．
故答案为：5．
17．42
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、圆周角定理等知识点，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等成为解题的关键．
先根据三角形外角的性质可得，再根据圆周角定理可得即可解答．
【详解】解：∵，
∴,
∵，
∴．
故答案为：42．
18．（1）见解析；（2）⊙O的直径AB＝4．
【分析】（1）由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；
（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，由∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD=4．
【详解】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
【点睛】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)6
(3)
【分析】（1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；
（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；
（3）连结AG，利用锐角三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．
【详解】（1）证明：连结OD，
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径，即O在AE上，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4=∠EAF，
∵∠G=∠EAF，
∴∠4=∠G，
∴tan∠4=tan∠G=，
设BD=4k，则OD=OE=3k，
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2=（3k+4）2，
解得，k1=2，k2=（舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），
∴3k=6，即⊙O的半径为6；
　
（3）解：连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5，
∴tan∠5=tan∠EGM=，即，，
∴，
∴AM=AE==，
∵OD∥AC，
∴，，即，，
∴AC=，CD=，
∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，
∴△ACD∽△AMP，
∴，
∴PM==，
∴AP==．
【点睛】本题考查圆的切线定义，勾股定理，相似三角形的性质，解直角三角形，本题属于综合性较强的题型，能够灵活掌握每个知识点是解决本题的关键．
20．(1)（1，4），（3，1）
(2)（a﹣4，b﹣5），
(3)图见解析，π
【分析】（1）根据坐标系即可得点A坐标，点B坐标；
（2）根据平移的性质可得点P平移后的对应点P1坐标，然后根据勾股定理即可求出PP1的长；
（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C2，根据扇形面积公式即可求出边CB在旋转过程中所扫过的面积．
【详解】（1）点A坐标为（1，4），点B坐标为（3，1）；
故答案为：（1，4），（3，1）；
（2）根据平移可得点P平移后的对应点P1坐标为（a﹣4，b﹣5），
∴PP1的长为 ，
故答案为：（a﹣4，b﹣5），；
（3）如图，△A2B2C2即为所求；
边CB在旋转过程中所扫过的面积．
【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标，平移的性质，勾股定理，旋转的性质及求扇形面积．利用数形结合的思想是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由是的直径，与相切于点A，得，推导出，∠ODA=∠OAD，进而推导出，即可证明直线与相切；
（2）先证明，再根据的半径是4，，求得，，，则是等边三角形，所以，，求得，，则，由，求得，进而求得，，则，而，则 ．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵是的直径，与相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线与相切．
（2）解：∵，，
∴，
∵的半径是4，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为．
22．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）要证明与相切，只要求出即可，根据已知可得，所以只要证明即可解答；
（2）要证明，只要证明，结合图形可知∠PFC=∠BAC+∠ACF，∠PCF=∠PCB+∠BCF，根据已知平分，可得，所以只要证明即可解答；
（3）根据是的直径，想到直径所对的圆周角是直角，所以连接，根据已知可求出的长，，然后再证明△PCB∽△PAC，从而得到，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：（1），
，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
点是弧的中点，
∴
，
，
，
，
，
∴∠D=∠OCP=90°，
是圆的半径，
与相切，
（2）是的直径，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
平分，
，
∵∠PFC=∠BAC+∠ACF，∠PCF=∠PCB+∠BCF，
，
；
（3）连接，
平分，
，
，
是的直径，
，
为等腰直角三角形，
∵AB=，
∴OB=OC=
∵
∴，
∵∠PCB=∠BAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴，
设，，
在中，，
∴，
∴或x=0(舍去)，
∴PC=，
∴PF=．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，直线和圆的位置关系，垂径定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（1）5.02（cm）；（2）∠POQ =α+β=110°；（3）2.71（cm）．
【分析】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；
（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；
（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．
【详解】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，
则OP=3cm，∠OAP=90°，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OPC=90°，
∴∠PCM+∠MPC=90°，∠APO+∠MPC=90°，
∴∠APO=∠PCM=70°，
∴PA=OP cos70°≈3×0.34=1.02（cm），
∴圆心O距离地面的高度：AM=1.02+4=5.02（cm）；
（2）∵BQ与CP都是⊙O的切线，
∴∠OPC=∠OQB=90°，
∵∠PCM=，∠QBN=，
∴∠PCB=，∠QBC=，
∴∠POQ=540°﹣90°﹣90°﹣()﹣()=，
∴∠POQ=；
（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，如图3，
按（1）的方法得，∠OQD=∠NBQ=40°，
∴DQ=OQ cos40°≈3×0.77=2.31（cm），
由（1）知，圆心O距离地面的高度5.02cm，
∴QN=5.02﹣2.31=2.71（cm）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质，多边形内角和定理，圆的有关性质，正确构造直角三角形是解题的关键所在．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）sinA＝．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；
（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；
（3）根据勾股定理和三角函数解答即可．
【详解】（1）证明：∵OA＝OB，AC＝BC，
∴△ABO是等腰三角形，
∴OC⊥AB，
∴AB是的切线．
（2）证明：∵OA＝OB，AC＝BC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OE＝OF，
∴∠OFE＝∠OEF，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝∠OFE+∠OEF，
∴∠AOC＝∠OEF，
∴OC∥EF，
∴△GOC∽△GEF，
∴，
∴OC EG＝OG EF．
∵OD＝OC，
∴OD EG＝OG EF．
（3）解：∵AB＝4BD，
∴BC＝2BD，设BD＝m，BC＝2m，OC＝OD＝r，
在Rt△BOC中，∵OB2＝OC2+BC2，
即
则OB＝OD+BD＝＝2.5m，
∴sinA＝sinB＝．
【点睛】本题考查了圆的综合题、切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
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