26.1二次函数同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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26.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中是二次函数的有（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴为，顶点坐标为
B．开口向下，对称轴为，顶点坐标为
C．开口向上，对称轴为，顶点坐标为
D．开口向上，对称轴为，顶点坐标为
4．下列函数中，一定是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．若是二次函数，则m的值是（　　）
A．4 B．2 C． D． 或2
7．若是二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天最高温度将达到40℃ B．对顶角相等
C．一定是二次函数 D．抛掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
9．对于抛物线,下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；时 ,y随x的增大而减小其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列函数是二次函数的是（　　）
A．y=x+1 B．y=x2+1 C．y=x2+ D．y=ax2
11．如图，是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在位置时，水面宽度为，此时水面到桥拱的距离是，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
12．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知二次函数，当时， ．
14．已知函数为二次函数，则m的值为 ．
15．已知是关于x的二次函数，那么m的值为 ．
16．在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是 ．
17．当 时，函数是关于的二次函数．
三、解答题
18．如图，在中，，，，是边的中点，交于点直角绕顶点旋转，使得边于线段交于点，边与线段交于点．
(1)判断与是否相似，如果相似，请写出证明过程；
(2)设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)探求，，三者数量关系，并说明理由．
19．已知点为抛物线的顶点，点为直线l：上的点．
(1)求点的坐标．（用含m的代数式表示）
(2)若．
①当最小时，求直线的解析式；
②y轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．
(1)如图1，若，求的长；
(2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域；
(3)当是等腰三角形时，直接写出的长．
21．某市场将进货价为40元/件的商品按60元/件售出，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元/件，每星期该商品要少卖出10件．
（1）请写出该商场每月卖出该商品所获得的利润y（元）与该商品每件涨价x（元）间的函数关系式；
（2）每月该商场销售该种商品获利能否达到6300元？请说明理由；
（3）请分析并回答每件售价在什么范围内，该商场获得的月利润不低于6160元？
22．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点．连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记的交点为．
(1)线段与有什么数量关系？______．
①当点坐标时，点的坐标是______；
②当点坐标时，点的坐标是______．
(2)在轴上改变点的位置，可得到不同的点，试着把得到的点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线．______．
(3)验证（2）的猜想：对于曲线上任意一点，设点的坐标是，请根据与的关系求出满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？
23．周老师家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，她记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价（元/千克）与时间第天（为整数）的函数关系为，日销量（千克）与时间第天（为整数）的部分对应值如表所示：
时间第天
日销量（千克）
(1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画随的变化规律，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)在这天中，哪一天的销售额达到最大，最大销售额是多少元；
(3)周老师非常热爱公益事业，若在前天，周老师决定每销售千克红心猕猴桃就捐献元给“环保公益项目”，且希望每天的销售额不低于元以维持各种开支，求的值．
24．已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
《26.1二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D C A B B B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】解：A、是二次根式的形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项符合题意；
D、，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握一般地，形如 （其中 是常数， ）叫做二次函数是解题的关键．
2．B
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：A、，自变量的指数是1次，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B、，是二次函数，故该选项符合题意；
C、，自变量的指数是4次，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D、，右边不是整式，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据二次函数性质：当a＝ 2＜0时，开口向下；而二次函数y＝ 2（x 3）2＋5中，顶点坐标为（3，5），可知对称轴是x＝3．
【详解】由二次函数解析式y＝ 2（x 3）2＋5，
可知：a＝ 2＜0，开口向下；顶点坐标为（3，5），对称轴为x＝3．
故选B．
【点睛】此题考查了二次函数性质中抛物线的开口方向和对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、，不是二次函数，是一次函数，故此选项不符合题意；
D、，整理后不是二次函数，是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
5．D
【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的定义“一般地，形如（a，b，c是常数，且）的函数，叫做二次函数”即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：A，是反比例函数，不是二次函数，不合题意；
B，是一次函数，不是二次函数，不合题意；
C，是一次函数，不是二次函数，不合题意；
D，是二次函数，符合题意；
故选D．
6．C
【分析】利用二次函数定义可得：，且，再计算出m的值即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，且，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
7．A
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】解：由题意得： a-2 ≠0，则a≠2．
故选择：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．
8．B
【分析】必然事件发生的可能性为100%，随机事件发生的可能性介于0～1之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为100%的选项即可．
【详解】解：A、明天最高温度将达到40℃，是随机事件，可能发生也可能不发生，故不是必然事件；
B、对顶角相等是真命题，是必然事件；
C、当a=0，b≠0时，不是二次函数，是一次函数，故不是必然事件；
D、抛掷两次质地均匀的骰子，不一定有一次正面朝上，也有可能两次反面朝上等其他情况，故不是必然事件，
故选B．
【点睛】本题考查随机事件、必然事件的可能性，理解随机事件、必然事件是正确解答的关键．
9．B
【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：,
抛物线的开口向下,正确；
对称轴为直线,故本小题错误；
顶点坐标为,故本小题错误；
时,y随x的增大而减小,
时,y随x的增大而减小一定正确；
综上所述,结论正确的个数是共2个．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
10．B
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案．
【详解】解：A、y=x+1是一次函数，故此选项错误；
B、y=x2+1是二次函数，故此选项正确；
C、y=x2+不是二次函数，故此选项错误；
D、y=ax2，a≠0时是二次函数，故此选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式．
11．C
【分析】根据题意可知，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：根据题意可知．
设抛物线解析式 ，
将代入，
得：，
解得，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
12．A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐项判定即可．
【详解】解：A．是二次函数，故符合题意；
B．是一次函数，故不符合题意；
C．是一次函数，故不符合题意；
D．不是二次函数，故不符合题意；
故选：A．
13．10
【分析】把代入计算即可．
【详解】把代入，得
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的函数值的计算，准确计算是解题的关键．
14．
【分析】由函数为二次函数，可得，再解不等式组可得答案．
【详解】解：∵函数为二次函数，
∴，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，形如：的函数是二次函数，熟记二次函数的定义是解本题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解．
【详解】解：根据题意，得且，
解得：且，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；
由题意可得二次项系数是2，常数项是，再求和即可．
【详解】解：在二次函数中，
二次项系数为2， 一次项次数为，
∴二次项系数与一次项系数的和是：，
故答案为：．
17．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：由函数y=（m-21）x2+3x+1是关于x的二次函数，得
m-21≠0．
解得m≠21，
故答案为≠21．
【点睛】本题考查二次函数的定义，形如y=a2+bx+c （a≠0，a是常数）是二次函数，注意二次函数的二次项的系数不等于零．
18．(1)相似，理由见解析
(2)，；
(3)，理由见解析
【分析】本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意函数思想在解题中的灵活运用．
（1）根据垂直的定义、同角的余角相等得到，，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的性质、直角三角形的性质用表示出的长，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据（2）的结论、结合图形，运用函数思想进行计算即可．
【详解】（1）解：与相似，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：，，，
，，
是边的中点，
，，，
，
，
，即，
解得：，
，
，；
（3）解：，
证明：由（2）得，，，
由勾股定理得，
，
，，
，
．
19．(1)
(2)①；②点的坐标为或．
【分析】本题考查了二次函数，掌握二次函数的顶点坐标等问题是关键．（1）利用顶点坐标公式即可求解；（2）①画出图形去找最小进行分析即可；②为等腰直角三角形进行分类讨论，分三种情况依次进行解答．
【详解】（1）解：，，，
，，
点的坐标为；
（2）解：①由点的坐标为可得点在上运动，
点为直线l：上的点，如图，
过点作轴，交直线l与点，则,
,
当最小时，则最小，点坐标为，
，
当时，最小，
此时，点的坐标为，
设的解析式为，
代入点的坐标得，
解得，
直线的解析式为；
②点的坐标为或，
<1>当，如图：
此时，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
，，，满足题意，
<2>当，如图：
此时，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
，
，
解得，
点的坐标为；
<3>当：
此时，点的坐标为，
则点的坐标为，点的坐标为，
有，
整理得，
此方程无解，
综上所述，点的坐标为或．
20．(1)1
(2)；
(3)的长为或2或．
【分析】（1）证明，即可求解；
（2），，由勾股定理即可求解；
（3）分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：设交于点，
则，
，，
，
，
，，
则；
（2）解：由题意得：则，，
，，
，，
，
则，
化简得：；
（3）解：①当时，
过点作，则，
则，
连接，则，
在中，，
即：②，
联立①②并解得：，
故；
②当时，
则，
点与点重合，
即：；
③当时，
则，
即：是的角平分线，
故：，
则，而，
则；
故的长为或2或．
【点睛】本题为四边形综合应用题，涉及到矩形与折叠问题、勾股定理运用、二次函数基本知识等，其中（3），关键是按条件分类，正确画图、确立线段间的关系，进而求解，本题综合性强，难度较大．
21．（1）y= 10x2+100x+6000；（2）每月该商场销售该种商品获利不能达到6300元，理由见解析；（3）每件售价不低于62元且不高于68元时，该商场获得的月利润不低于6160元
【分析】（1）该商品每件涨价x（元），该商场每月卖出该商品所获得的利润y（元），依题意可得y与x的函数关系式；
（2）不能，把函数关系式用配方法化为y=-10(x-5)2+6250，可得y有最大值为6250；
（3）令-10x2+100x+6000≥6160，求出x的取值范围即可．
【详解】解：（1）该商品每件涨价x（元），该商场每月卖出该商品所获得的利润y（元），根据题意得：
∴y= 10x2+100x+6000
故答案为：y= 10x2+100x+6000
（2）每月该商场销售该种商品获利不能达到6300元，
理由：∵y= 10x2+100x+6000= 10(x 5)2+6250，
当x=5时，y取最大值为6250元，小于6300元
∴不能达到；
（3）依题意有： 10x2+100x+6000 6160，
整理得：x2 10x+16 0，
∴(x 2)(x 8) 0，
∴①或②，
解①得：2 x 8，
解②得：x 2且x 8，无解，
∴当售价不低于62元且不高于68元时，商场获得的月利润不低于6160元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解两个变量表示的含义，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数关系式．
22．(1)①；②；③
(2)抛物线
(3)，得出的结论与猜想一致
【分析】（1）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案；②根据题意画出对应的图形即可得到答案；③据题意画出对应的图形即可得到答案；
（2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案；
（3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到，进而推出，由此可得结论．
【详解】（1）解：①由题意得，点P在线段的垂直平分线上，
∴，
故答案为：；
②如图所示，当点坐标时，点的坐标是；
③如图所示，当点坐标时，点的坐标是；
（2）解：观察画出的曲线，可知曲线L是抛物线，
故答案为：抛物线；
（3）解：∵点的坐标是，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴得出的结论与猜想一致．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(1)（，取整数）
(2)第天的销售额达到最大，最大销售额元
(3)的最大值为
【分析】（1）根据表格里的两个变量的值是均匀变化的，可知，是关于的一次函数，用待定系数法，即可求得函数表达式及其自变量的范围；
（2）根据“每天的销售额=销售单价×日销售量”，在自变量的不同取值范围内，可列出，销售额关于的函数表达式，分别求出销售额的最大值即可；
（3）根据题意，列出关于的不等式，在的取值范围内，求出参数最大值即可．
【详解】（1）解：由表格数据可知，是关于的一次函数，设，
把，；，，代入可得，，解得，，
经检验，其它数据符合，
∴（，取整数）；
（2）解：设销售额为，
①当时，，
∵，
∴当时，随的增大而减少，
∴当时，；
②当时，，
随的增大而增大，
∴当时，；
综上所述：第天销售额达到最大，最大销售额是元．
（3）解：根据题意，可得：
当时，，
即，在，且取整数范围内，恒成立，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上所述：，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求函数解析式以及不等式的应用，体现了分类讨论和函数思想，是一道较难的函数和不等式的综合题．
24．(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
【分析】（1）把代入二次函数即可求解；
（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。
【详解】（1）解：把代入二次函数得：，
．
（2）解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，
当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。
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