26.2二次函数的图象与性质同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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26.2二次函数的图象与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．由二次函数y=3（x-4）2-2，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-4
C．其最小值为2 D．当x＜3时，y随x的增大而减小
2．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD=AD=9时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
A．8 B．3 C．2 D．6
3．已知抛物线不经过第三象限，且当时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象如图所示，在下列说法中：
①0；②；③；④当时，随着的增大而增大．正确的说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．根据下表中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数且）的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．(3, 2) B．(-3, 2) C．(3, -2) D．(-3, -2)
9．已知二次函数的图像如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
10．已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．
11．若二次函数y＝x2－2x的图象经过点（－1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（）
A．y1> y2 B．y1＝y2 C．y1< y2 D．不能确定
12．以下命题：①面包店某种面包售价元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；②等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．已知二次函数．当 时，随的增大而减小．
14．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，，点C在点A的左边，，点B的坐标为，抛物线为：．
（1）当抛物线经过点A时，则 ；
（2）若抛物线的顶点在内（包括边界）时，则a的取值范围是 ．
15．将抛物线向下平移1个单位后得到的解析式为 ．
16．若点P（m，n）在抛物线上，则的值为 ．
17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程．
②若是倍根方程，则．
③若，则关于的方程是倍根方程．
④若方程是倍根方程，且相异两点M（），N（）都在抛物线上，则方程的一个根为．
三、解答题
18．如图，抛物线与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点A，C，且，它的对称轴为直线l．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）P是直线上方对称轴上的一动点，过点P作于点Q．若，求点P的坐标．
19．如图,设抛物线T：y=ax2+c(a> 0)与直线L:y=kx-4(k> 0)交A,B两点（点B在点A的右侧）.
（1）如图，若点A（，-），且a+c=-1.
①求抛物线T和直线L的解析式；
②求△AOB的面积.
（2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A,O,C三点共线时，求实数c的值.
20．已知二次函数．
(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标：
(2)画出此函数的图象（不需要列表）；
(3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
21．如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为．
①求点的坐标；
②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离．
22．抛物线与坐标轴交于、、三点．点P为抛物线上位于上方的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点P作轴于点F，交于点E，连结．当时，求点P的坐标；
(3)过点P作于点G，是否存在点P，使线段的长度是2倍关系？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，在轴上，点位于点左侧，点，分别在边，上，，，，．
(1)求证：；
(2)若点坐标为，抛物线经过，两点，求抛物线的解析式；
(3)若点坐标为（），点为平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标．
24．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，（点在点的左边），与轴交于点．
(1)直接写出，，的坐标；
(2)点为线段上一点（点与点，点不重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，若点在点的左侧，当矩形的周长最大时，求的面积．
《26.2二次函数的图象与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C D C C A D D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【详解】二次函数y=3（x-4）2-2，由a=3>0，则图象开口向上，故A错误；其对称轴为直线x=4，故B错误；其最小值为-2，故C错误；当x<4时，y随x的增大而减小，故当x＜3时，y随x的增大而减小也成立.故D正确.
故选D.
2．B
【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=6，DE=3，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出==，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=9，DE⊥OA，
∴OE=EA=OA=6，
由勾股定理得：DE==3 ,
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴==,
∵AM=PM=（OA-OP）=（12-2x）=6-x，
即=， =，
解得：BF=，CM=，
∴BF+CM=3
故答案选B．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.
3．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出抛物线的对称轴方程，结合增减性得到关于m的不等式，进而即可求解
【详解】解：∵的对称轴为：，
又∵当时，抛物线满足y随x的增大而增大，
∴，解得．
∵抛物线开口向上，且不经过第三象限，
∴，解得，，
∴m的取值范围为：，
故选A．
4．C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、特殊点的坐标及二次函数的性质依次分析即可.
【详解】解：由图可得，，则；由图可得，则，①正确；
当时，，②错误；
当时，，③正确；
当时，随着的增大而增大，④正确；
则正确的说法有3个，
故选C.
【点睛】此类问题在中考中比较常见，一般在选择题、填空题的最后一题出现，难度较大.
5．D
【详解】∵，
∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称，
故，
故选：D．
6．C
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），
即x1＝1，x2＝﹣3，
∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．
所以正确的是②④；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
7．C
【分析】根据的一个根对应的函数值为，根据，可判断，选择即可．
【详解】解：因为的一个根对应的函数值为，
且，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与一元二次方程的根，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键．
8．A
【分析】由于二次函数y=a（x-b）2+c的顶点坐标为（b，c），由此即可求出抛物线的顶点坐标．
【详解】∵二次函数y=2（x-3）2+2，
∴其图象的顶点坐标为（3，2）．
故选A．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式求其顶点的坐标．
9．D
【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线对称轴在轴的右侧，∴，
∵与轴交于负半轴，∴，
∴，故①错误；
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故③正确；
当时，，
即，故④错误；
综上可得：正确的结论为：②③，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
10．D
【分析】本题考查二次函数图象和性质，根与系数之间的关系，把点和代入解析式，求出，根与系数的关系得到，进而求出的范围，即可．
【详解】解：∵抛物线经过点和，
∴，
∴，
∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，另一个交点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
故a的取值可能是；
故选：D．
11．B
【详解】试题分析：求出（2，y2）的关于对称轴的对称点，在对称轴的同侧利用抛物线的性质解答：
函数的对称轴为，点（3，y2）关于对称轴的对称点为（－1，y2），即（－1，y1），∴y1＝y2．
故选B．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
12．B
【分析】①列代数式求解；②利用三角形内角和及外角关系定理求解；③利用三角形全等进行判断；④利用作差比较代数式的大小，并化成二次函数判断其增减性即可．
【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85a元，现在需要a×(1+10%)×0.9=0.99a，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.99a-0.85a=0.14a元，故①项正确；
②项，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，
∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②项错误；
③项，如图，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC边上的中线，DN是△DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：
延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，
∵AM是中线，
∴BM=MC，
∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，
∴△AMB≌△GMC，
∴AB=GC，
同理可证DE=HF，
∵AM=DN，
∴AG=2AM=2DN=DH，
∵AB=DE，
∴GC=HF，
∴结合AC=DF可得△ACG≌△DFH，
∴∠GAC=∠HDF，
同理可证∠GAB=∠HDE，
∴∠BAC=∠GAB+∠GAC=∠HDF+∠HDE=∠EDF，
∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF，故③正确；
④设原数为x，则新数为，设原数与新数之差为y，
即，变形为：，
将x等于0、1、2、3、...、55分别代入可知，y随着x的先变大，然后再变小，
故④错误；
即正确的有两个，
故选：B，
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
13．
【详解】根据y=ax2+bx+c（a、b、c为常数）当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，可得答案.
解：∵，
开口向上，对称轴为．
∴当时随的增大而减小．
14． 2.5 -2≤a≤-1或≤a≤1
【分析】（1）根据△ABC的性质求出点A的坐标，代入抛物线表达式，可得而a值；
（2）根据抛物线表达式得到顶点坐标，求出BC的表达式，根据顶点在△ABC内部（含边界）得到不等式，解之即可．
【详解】解：（1）∵AC在x轴上，∠BAC=90°，B（1，3），
∴A（1，0），代入，
得，
解得：a=2.5；
（2）∵AC=4，A（1，0），
∴C（-3，0），设直线BC的解析式为y=mx+n，
则，解得：，
∴BC的解析式为，其中-3≤x≤1，
∵抛物线的顶点为（a，），
∵抛物线的顶点在内（包括边界），
∴-3≤a≤1，且，
解得：-2≤a≤-1或≤a≤2，
∴-2≤a≤-1或≤a≤1．
故答案为：（1）2.5；（2）-2≤a≤-1或≤a≤1．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是将点在三角形内部转化为关于坐标的不等式．
15．
【分析】本题考查二次函数的平移变换，掌握以上知识点是解题的关键．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位，根据平移规律，函数值减去1，得．
故答案为：．
16．2021
【分析】将点（m，n）代入即可得．
【详解】解：将点（m，n）代入得：，
则，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数图像上点的坐标特征．
17．②③/③②
【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②通过解方程求得方程的两个解，结合“倍根方程”的定义来求m、n的数量关系；③根据pq=2求出方程的两个根，从而得出答案；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得x1=2x2，由相异两点都在抛物线上，通过抛物线对称轴求得x2的值．
【详解】解方程x2 x 2=0得：x1=2，x2= 1，
∴方程x2 x 2=0不是倍根方程，故①错误；
②∵(x 2)(mx+n)=0是倍根方程，且x1=2，x2=，
∴=1或=4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0， 故②正确；
③∵pq=2，
解方程px2+3x+q=0得：x1=，x2=，
∴x2=2x1， 故③正确；
④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，
∴设x1=2x2，
∵相异两点M(1+t，s)，N(4 t，s)都在ax2+bx+c=0抛物线上，
∴抛物线的对称轴，
∴x1+x2=5，
∴x2+2x2=5，
∴x2= 故④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了定义新运算，一元二次方程的解法，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
18．（1）；；（2）P或
【分析】（1）令x＝0，可得y＝﹣c，得到点C的坐标为，根据表示出A的坐标为，将其代入，可得关于c的一元二次方程，解方程可得c的值，继而即可求解；
（2）根据点A、C坐标易得为等腰直角三角形，直线的表达式为，设直线l与直线的交点为D．易知为等腰直角三角形，继而可知，根据对称轴和直线AC求出点D坐标，设点P的坐标为，根据两点间的距离公式可得，由可得关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线与y轴负半轴交于点C，
∴点C的坐标为．
∵，且点A在x轴负半轴上，
∴点A的坐标为．
∵抛物线经过点A，
∴，
解得（舍去），．
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）∵A点的坐标为，C点的坐标为，
∴为等腰直角三角形，直线的表达式为，
∴．
设直线l与直线的交点为D．
∵轴，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当时，，∴点D的坐标为．
设点P的坐标为，
则．
∵，
∴，
解得．
故点P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求解析式，顶点坐标、等腰直角三角形的判定和性质、两点间的距离公式，解题的关键是综合运用所学知识，学会数形结合的思想．
19．（1）①，y=3x-4；②1；（2）-2.
【分析】（1）①利用点A的坐标及a+c=-1即可求得抛物线T的解析式，再将点A的坐标代入直线解析式即可；
②先求出两个函数图象的交点B的坐标，再求出直线与x轴的交点D的坐标，即可根据面积加减关系得到△AOB的面积；
（2）根据解析式求出交点A、B的坐标，由轴对称得到点C的坐标，求出直线AC的解析式，由点A、O、C三点共线，将点O的坐标代入,即可得到c的值.
【详解】（1）①将点A（，-）代入抛物线解析式中得： ，
∵a+c=-1，
∴解，得，
∴抛物线T的解析式为，
将点A（，-）代入y=kx-4中，得k=3，
∴直线L的解析式为y=3x-4；
②解方程组，得， ，
∴B（1，-1），
令y=3x-4中y=0，得，
∴D(，0)，
∴△AOB的面积=S△AOD-S△BOD=；
（2）解方程组，
得，
∴,
,
∵点C是点B关于y轴的对称点，
∴,
设直线AC的解析式为y=mx+n，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为，
∵点A,O,C三点共线，
当x=0时，y=4+2c=0，
得c=-2.
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，图象中三角形面积的求法，（2）是本题的难点，考查点的对称性，由对称性得到点的坐标，求出直线AC的解析式，由三点共线将点O的坐标代入解析式求出c的值，思路简单，但是计算复杂.
20．(1)对称轴为直线，顶点坐标为；
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；
（2）根据画图象的步骤作图即可；
（3）由函数图像过点和，根据函数图像求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：函数图像如下图所示：
（3）解：当时，，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴函数图像过点和，
∴由函数图像可知，当时，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
21．(1)
(2)①；②0或或
【分析】（1）根据一次函数解析式求得的坐标，进而得出的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（2）①过作轴交于，设，则，表示出△的面积，根据其面积为，建立方程，解方程，即可求解；
②若为直角顶点，则与点重合，即，此时点到抛物线对称轴的距离为；若为直角顶点，设，证明，得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：当时，，解得，则，，
当时，，则，
点为的中点，
，
把，代入
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①过作轴交于，如图，
设，则，
∵
整理得，解得，
∴；
②抛物线解析式为，
抛物线的顶点为，
，，，
，
，
若为直角顶点，则与点重合，即，如图，
此时点到抛物线对称轴的距离为；
若为直角顶点，如图，
过点作轴，于，于，
，
，
，
设，则：，
，
，
，
，
，
点坐标为或；
若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为，
若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题，勾股定理解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)存在点P，使线段的长度是2倍关系．此时点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）设，求出直线的解析式，得到点E的坐标，表示出的长，根据，得到，列得一元二次方程，求解即可；
（3）分两种情况①当时， ②当时， 利用三角函数求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得
∴
∴此抛物线的解析式为：
（2）设，
设直线的解析式为，
得，解得，
∴，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴或4（舍去），
∴；
（3）存在点P．
①当时，连接，
∴
∴，
∴点P的纵坐标为2，则，
解得或，
∴；
②当时，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点F．
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
联立方程组，得或，
∴，
综上所述，存在点P，使线段的长度是2倍关系．此时点P的坐标为或 ．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，线段与二次函数，勾股定理，三角函数，求直线与抛物线的交点，正确掌握各知识点是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)点坐标为或或
【分析】（1）由矩形的性质、垂直关系得出直角三角形，利用斜边、直角边证明全等；
（2）求出，，用待定系数法求出解析式；
（3）分三种情况讨论：①以，为菱形的邻边时，②以，为菱形的邻边时，③以，为菱形的邻边时．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：四边形是矩形，在轴上，，，，
，，，
分将，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（3）解：由（1），则，
，
分三种情况讨论：
①以，为菱形的邻边时，则，
∵点坐标为（），
，
，
即，
，
坐标为；
②以，为菱形的邻边时，则，
由①知，，
在中，，
，或，
，
（舍去），
坐标为；
③以，为菱形的邻边时，则，
由①和②知，，，，
，
，
点坐标为，
综上，以，，，为顶点的四边形是菱形时，则点坐标为或或．
【点睛】本题考查四边形的综合，涉及矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、直角三角形全等的证明，熟悉相关定理是关键，注意分类讨论问题．
24．(1)，，
(2)
【分析】（1）通过解析式即可得出点坐标，令，解方程得出方程的解，即可求得、的坐标；
（2）设点横坐标为，则，，矩形的周长，将配方，根据二次函数的性质，即可得出的值，然后求得直线的解析式，把代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
【详解】（1）由抛物线可知点，
令，则，
解得或，
点，，；
（2）由抛物线可知，对称轴为直线，
设点的横坐标为，则，，
矩形的周长，
当时矩形的周长最大．
点，，
设直线，
代入得，
解得，
直线的函数表达式为，
当时，，则点，
，，
的面积．
【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出矩形的周长为．
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