27.1圆的认识同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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27.1圆的认识
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．直径是弦
B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧
C．在中，、是弦，若，则
D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径
2．如图，是的直径，弦于点E，点G是劣弧上任一点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．半径等于8的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知下列命题：①两条对角线相等的四边形是矩形；②圆的切线垂直于半径；③圆周角等于圆心角的一半；④若半径分别为，的两圆相切，则两圆的圆心距为或．其中正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的半径为，于点，，则弦 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，是圆O的直径，，，是圆O的弦，且，则等于（ 　）

A． B． C． D．
7．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC＝25°，则∠AOC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
8．一定在同一个圆上的是（ ）
A．平行四边形的四个顶点
B．矩形的四个顶点
C．菱形的四个顶点
D．梯形的四个顶点
9．是以半径为的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段为邻边作菱形，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或
10．如图，点，，在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在圆O中，是直径，，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，点为的中点，半径交弦于点，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOB＝46°，弦BC的长等于半径，则∠ADC的度数等于 ．
14．如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为 ．
15．如图，在的内接五边形中，，则的度数为 ．

16．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝6，则弦BC的长是 ．
17．“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．

三、解答题
18．(1)如图1，等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，点H在BC边上，连AH，作等腰Rt△HFA，∠HFA=90°求证：AF=CF.

(2)如图2，等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，D在BC上，AD⊥AE,AD=AE,G为CD中点，求证：AG⊥BE
(3)如图3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，过C作CD∥AB, CD=8，连AD,在AD上取一点E使AE=AB，连BE交AC于F，若AF=9，则AD= .
19．已知，四边形内接于，连接和交于点，且平分．求证：．
20．如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
(1)求证：DA平分∠EDC．
(2)若∠EDA＝72°，求的度数．
21．综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到，在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在上，，且，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在上，，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．
22．如图1，四边形内接于，，．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)如图2，点为的中点，连结，，分别交于点，，且．
①求证：点，是的三等分点．
②如图3，取的中点，作射线，将绕点旋转，得到，的对应边，交射线于点，若的半径为，直接写出的面积的最小值．
23．25综合与实践：
问题发现：如图1，在中，，，点，任边上，．若，，求的长．
聪聪的思路是：如图2，在左侧作，使得，并截取使，连接和，可证
明明的思路是：如图2，过点在左侧作，并截取使，连接和，可证
问题解决：
（1）在上面的思路中都可得到的度数是__________；
（2）请你选择上面的其中一种思路求的长；
问题拓展：
（3）如图3，四边形是的内接四边形，．，分别是射线和射线上的动点，且．请直接写出，，之间的数量关系．
24．如图，在中，点C在弦上，，求的半径．
《27.1圆的认识》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A C B B B C A
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂径定理，轴对称图形，真命题与假命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：A、直径是特殊的弦，该选项正确，符合题意；
B、“平分弦的直径垂直于弦”的前提是“弦不是直径”：若弦是直径，任意一条直径都能平分它，但不一定垂直，该选项错误，不符合题意；
C、在中，，但和相交于一点，该选项错误，不符合题意；
D、对称轴是直线，圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身，该选项错误，不符合题意．
故选A．
2．C
【分析】连接BD，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接BD，
∵AB是直径，∠BAD=25°，
∴∠ABD=90°-25°=65°，
∴∠AGD=∠ABD=65°，
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．
3．D
【分析】由题意和垂径定理得，，再根据勾股定理可得，即可得出答案．
【详解】由题意得，，弦垂直平分半径，
则，，，
根据勾股定理可得，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
4．A
【分析】根据矩形的判定，圆的切线的性质，圆周角定理，两圆相切的位置关系即可作出判断．
【详解】①中，必须在平行四边形的基础上，错误；
②中，应是垂直于过切点的半径，错误；
③中，必须是同弧或等弧所对，错误；
④中，两圆相切，可能内切，也可能外切，正确.
故选：A.
【点睛】考查圆与圆的位置关系，矩形的判定，圆周角定理，切线的性质，比较基础，难度不大.
5．C
【分析】本题考查垂径定理，连接，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，则：，
∵于点，，
∴；
故选C．
6．B
【分析】连接，根据，得出，推出均为等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴均为等边三角形，
∴，
∴，
故选：B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弦所对的弧相等．
7．B
【分析】利用圆周角定理解决问题即可．
【详解】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．B
【分析】本题主要考查圆内接四边形，平行四边形、矩形、菱形及梯形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
圆内接四边形的对角互补，而菱形、平行四边形及梯形都不一定满足，而矩形的四个顶点一定共圆，进而可得答案．
【详解】解：对于A，平行四边形对角相等但不一定互补，故平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，不符合题意；
对于B，矩形的两条对角线互相平分且相等，故矩形的四个顶点一定共圆（即在同一个圆上），符合题意；
对于C，菱形对角相等但不一定互补，故菱形的四个顶点不一定在同一个圆上，不符合题意；
对于D，梯形不一定对角互补，故梯形的四个顶点不一定在同一个圆上，不符合题意．
故选：B．
9．C
【分析】设圆心为点，过点作直径，连接交于点，连接，先根据垂径定理可得，再分顶点在线段上和顶点在的延长线上两种情况，利用菱形的性质和勾股定理求解即可得．
【详解】解：设圆心为点，过点作直径，连接交于点，连接，
为的中点，
∴，
（1）如图①，顶点在线段上，
∵点恰在该圆直径的三等分点上，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图②，顶点在的延长线上，
，
同理可得：，，，
∴，
∴；
综上，该菱形的边长为或，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、勾股定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
10．A
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，即可计算．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
11．C
【分析】本题考查了圆周角定理及推论，直角三角形两个锐角互余，解题关键是熟悉上述知识点，并能运用求解．
先利用圆周角定理的推论，得到，再根据直角三角形两个锐角互余，得到，然后利用圆周角定理求得，代入上式后求得．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∴，
又，
，
∴，解得：，
故选：C．
12．A
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，，先根据圆心角定理的推论可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：．
13．53°/53度
【分析】首先利用等边三角形OBC得到∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出结果．
【详解】解：连接OC，
∵BC=OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=46°+60°=106°，
∴∠ADC= ，
故答案为53°．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质以及圆周角定理，解决问题的关键是利用弧确定圆周角和圆心角的关系．
14．/25度
【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先由圆内接四边形，对角互补得，结合圆周角定理的，再根据，即可作答．
【详解】解：∵五边形是的内接五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
即，
故答案为：．
16．4
【分析】作CH⊥AD于H，连接OC、AC、CD，如图，先利用折叠的性质得AC弧与CDB弧所在的圆为等圆，利用圆周角定理得，所以CA＝CD，则AH＝DH＝2，再利用勾股定理计算出CH＝4，AC＝2，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC．
【详解】解：作CH⊥AD于H，连接OC、AC、CD，如图，
∵以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，
∴AC弧与CDB弧所在的圆为等圆，
∴，
∴CA＝CD，
∴AH＝DH＝2，
在Rt△OCH中，OC＝5，OH＝3，
∴CH＝4，
在Rt△ACH中，AC＝，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝10．
故答案为4．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆的对称性、圆周角定理和勾股定理．
17． 圆周长的一半 半径
【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答．
【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，
圆的面积近似长方形的面积长宽．
故答案为：圆周长的一半，半径，．
【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）17.
【分析】（1）以AH为直径作圆O，与BC交于点E，可得∠AEC=90°，由等腰三角形三线合一可知AE为BC边上的中线，所以EA=EC，再由圆周角定理推出∠AEF=∠AHF=45°=∠CEF，再次由等腰三角形三线合一可知EF垂直平分AC，即可得证；
（2）延长AG到N，使GN=AG，连接CN，易证△AGD≌△NGC，然后推出∠ACN=∠BAE，再证明△ACN≌△BAE，得到∠CAN=∠ABE，即可得出结论；
（3）延长BE，CD交于G，易得DG=DE，设CF=a，则AC=AB=AE=AF+CF=9+a，由相似三角形对应边成比例，用a表示出CG，DE，AD，然后用勾股定理建立方程求解.
【详解】证明：（1）如图所示，以AH为直径作圆O，与BC交于点E，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，
∵AB=AC
∴AE为BC边上的中线，
∴EA=EC
由∵∠AEF=∠AHF=45°
∴∠CEF=90°-45°=45°
∴∠AEF=∠CEF
由等腰三角形三线合一可得EF垂直平分AC，
∴AF=CF
（2）延长AG到N，使GN=AG，连接CN，
∵G为CD中点，
∴CG=DG，
在△AGD和△NGC中，
∴△AGD≌△NGC（SAS）
∴∠DAG=∠N，AD=NC，∠ADG=∠NCG
∵AE=AD
∴AE=NC
∵∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠EAC=∠BAD
∵∠ADG=∠BAD+∠ABD=∠BAD+45°
∴∠ACN=∠NCG+45°=∠BAD+90°
又∵∠BAE=∠EAC+90°
∴∠ACN=∠BAE
在△ACN和△BAE中，
∴△ACN≌△BAE（SAS）
∴∠CAN=∠ABE
又∵∠ABE+∠AMB=90°
∴∠CAN+∠AMB=90°
∴AG⊥BE
（3）如图，延长BE，CD交于G，
∵AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC=90°，∠G=∠ABE
又∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AEB=∠DEG
∴∠G=∠DEG
∴DG=DE
设CF=a，则AC=AB=AE=AF+CF=9+a
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CGF
∴，即
解得
∴DE=DG=CG-CD=
∴AD=AE+DE=
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2
即
令，则原方程变形为
整理得，解得x=0或225
即或
舍去负根得
∴AD=
故答案为：17.
【点睛】本题考查等腰直角三角形中的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，圆的性质，以及勾股定理，需要综合运用几何知识进行解答，难度较大.
19．见解析
【分析】根据角平分线的性质可得，再由圆周角定理可得，，等量代换有即，即可得证．
【详解】证明：平分，
，
，，
，即，
又，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)72°
【分析】（1）由圆的内接四边形的性质可知∠ADB+∠ACB＝180°，即可证明∠ACB＝∠ADE．再由等腰三角形的性质可知∠ABC＝∠ACB．根据圆周角定理又可推出∠ABC＝∠ADC，从而即可得出∠ADC＝∠ADE，即AD平分∠EDC；
（2）根据（1）得出∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，再由三角形内角和定理即可求出的大小，最后根据圆周角定理即可求出的大小，即的度数．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°．
【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，角平分线的定义以及三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（2）作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，即可；
（3）作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，即可，则垂径定理得出确定圆心的理由即可．
【详解】（1）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．
作∠ABD=90°，　BD与圆相交于D，连接BC、AD相交 于点O，
∵∠CAB=∠ABC=90°，
∴BC、AD是圆的直径，
∴点O是圆的圆心．
（3）解：如图所示 ，点O就是圆的圆心．
作AB的垂直平分线DE，作AC的垂直平分线MN，DE交MN于O，
∵DE垂直平分AB，
∴DE经过圆心，即圆心必在直线DE上，
∵MN垂直平分AC，
∴MN经过圆心，即圆心必在直线MN上，
∴DE与MN的交点O是圆心．
确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
22．(1)证明见详解
(2)①证明见详解，②
【分析】（1）根据等弧对等弦，证得，结合题目条件证得四边形是平行四边形，再根据圆的内接四边形对角互补，证直角，即可求证矩形．
（2）①连接，先证是等边三角形，再通过弧之间的转换证得，再通过圆周角相等得到，同理，即可求证；②过点E作，，过点B作，连接，先通过半径求出和矩形中各边的长度，转化求出等线段的长度，通过勾股定理得到当最短时，最短，也最短，的面积最小，再结合旋转得到当最短时，，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形内接于，
，
，
四边形为矩形．
（2）①如图，连接，
由（1）可知四边形为矩形，
，
，
，
点为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
同理，
，即点，是的三等分点．
②如图，过点E作，，过点B作，连接，
由（2）可知是等边三角形，且内接于，而的半径为，
，
，
四边形为矩形，，
四边形为矩形，
，，
又，
，
，
由勾股定理，可知，
，
，
，
，，
根据勾股定理，可知当最短时，最短，也最短，的面积最小
又是由上的点旋转得到，
当最短时，，
，
，
是的中点，，
，
此时面积为．
【点睛】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点并适当添加辅助线帮助分析出旋转过程中线段长度变化情况是解题的关键．
23．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）聪聪的思路：根据等腰直角三角形的性质得出，证明，即可证明；明明的思路：证明，得出，即可证明；
（2）聪聪的思路：证明，得出，再证明，得出，在中，勾股定理算出，即可解答．明明的思路：证明，得出，，再证明，得出，在中，勾股定理算出，即可解答．
（3）根据四边形是的内接四边形，得出，根据，得出，将绕点逆时针的方向旋转，使与重合，得到，证明点在同一条直线上，再证明，得出，再分为当点，分别在线段和线段上时，和当点，分别在射线和射线上时，分别解答即可．
【详解】解：（1）聪聪的思路：∵在中，，，
∴，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴；
明明的思路：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）聪聪的思路：∵在中，，，
∴，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，，
，
，
，
，
在中，
，
．
；
明明的思路：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∵，，，
，
，
在中，
，
．
；
（3）∵四边形是的内接四边形，
，
∵，
∴，
将绕点逆时针的方向旋转，使与重合，得到，
，，
∵，
，即点在同一条直线上，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
当点，分别在线段和线段上时，
，
．
当点，分别在射线和射线上时，
，
．
综上，或．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆内接四边形，同弧所对的弦相等，旋转的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点．
24．的半径为
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这些知识并作出辅助线是关键；连接，过点O作于点D，由垂径定理得，求得，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点D，
则，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得；
故的半径为．
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