27.2与圆有关的位置关系同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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27.2与圆有关的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，与相切于点，连接交于点，为优弧上一点，连接，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．35° D．55°
2．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2
3．如图，PA，PB分别与相切于点A，B，PO交于点E，过点B作弦，若，则BC的长为（ ）

A． B． C． D．
4．已知的半径是，，P是线段的中点，则点P与的位置关系是（　　）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定
5．如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为弧的中点，则等于（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，与相切于点，与交于点，若，．则的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．中，，，，以点为圆心，为半径作，当与相切时，（ ）．
A．6 B．8 C．9 D．12
8．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转( )
A．40°或80° B．50°或110° C．50°或100° D．60°或120°
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝122°，则∠C的度数为（　　）
A．22° B．26° C．28° D．30°
10．如图，切于点，交于点，点在上，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝（　　）
A． B． C． D．2
12．如图，将⊙O沿弦AB折叠得到所在圆的切线交⊙O于点C，若⊙O的半径为1，当AC取最大值时，则弦AB的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题
13．如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=54°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数为 ．
14．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，则的周长为 ．
15．中国铁路的转弯处可以抽象为以下模型，如图，若和都是扇形的切线，为，，则可以求的长是 .
16．的半径为2，点A到圆心的距离是3，则点A与的位置关系是
17．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ．
三、解答题
18．如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
19．如图：中，，以为直径作，交于点D，交于点E，点F在的延长线上的，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径．
20．如图，在中，，以AB为直径作．交AC于点D．过点D作的切线DM交BC于点M．
(1)求证：．
(2)若，P为AB上一点，当为最小值时，求AP的长．
21．我国的纸伞工艺十分巧妙．如图①，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动．小明受此启发设计了一个“简易平分角仪器”，如图②，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则为的平分线．

(1)如图②，试说明这个平分角的仪器的制作原理；
(2)如图③，将上述平分角仪器的顶点落在的直径的端点处，边与直径共线，边与相交于点，交于点，过点作的切线，与分别交于点．
①求证：；
②若半径为，，求的长．
22．如图，在中，以为直径的经过点过点作的切线点是上不与点重合的一个动点，连接．
求证:；
填空:
当_ 时，为等腰直角三角形:
当 时，四边形为菱形．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=1，求HG·HB的值．
24．课堂上，李老师布置一道作图题如下：
已知：如图，及外一点P．
求作：直线，使与相切于点．
某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）：
①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）；
②作直线交于点C；
③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）；
④连接，则直线即为所求作直线，交于点D，连接、．
根据这个同学的作图方法，解答下面问题：
(1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)结合作图，说明是切线的理由；
(3)若半径为4，，求的长．
《27.2与圆有关的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A A D C B B C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】连接OB，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BDC=70°，根据切线的性质可得∠ABO=90°，再由三角形的内角和可求．
【详解】解：连接OB，如图，
则∠BOC=2∠BDC=70°，
∵与相切于点，
∴∠ABO=90°，
∴∠A=90°-∠BOC=90°-70°=20°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
2．B
【分析】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，利用等边三角形的性质得 AH 平分∠BAC，则可判断点 O 在 AH 上，所以 OH＝r，连接 OB，再证明
OA＝OB＝2r，则 AH＝3r，所以 OH：OA：AH＝1：2：3．
【详解】解： 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AH 平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴点 O 在 AH 上，
∴OH＝r， 连接 OB，
∵⊙O 为△ABC 的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在 Rt△OBH 中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 1：2：3．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质
3．B
【分析】连接，过作于利用切线的性质求解圆的半径，利用平行线的性质证明利用等角的三角函数及垂径定理可得答案．
【详解】解：如图，连接，过作于
PA，PB分别与相切于点A，B，设半径
故选B．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，切线的性质及切线长定理，垂径定理，锐角三角函数，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由的半径是，，P是线段的中点，所以，根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与的位置关系．
【详解】解：∵的半径为，，P是线段的中点，
∴，
∴点P点在圆内．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，掌握切线的性质，弦、弧、圆心角的关系是解题的关键．
根据切线的性质得到，即，根据点为弧的中点，可证，得到，由此即可求解．
【详解】解：∵直线与相切，切点为，
∴，即，
∵点为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
6．D
【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，由，可得，解直角三角形即可求解．
【详解】解：连接，
∵与相切于点，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，求得是解题的关键．
7．C
【分析】利用锐角三角函数先求解 再结合与相切可得答案．
【详解】解：如图，，，，
则
与相切，
故选C
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，圆的切线的性质，熟练的利用锐角三角函数值求解直角三角形的边长是解本题的关键．
8．B
【详解】如图，当AB旋转到BD，BE的位置时与圆相切，由题意得： ，，则，得：.故选B.
9．B
【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC＝90°，即可求得∠ODA＝32°，再利用等腰三角形的性质得∠A＝32°，然后根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】连接OD，如图，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ODA＝∠CDA﹣90°＝122°﹣90°＝32°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA＝32°，
∴∠C＝180°﹣∠ADC+∠A＝180°﹣122°﹣32°＝26°．
故选B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
10．C
【分析】本题考查切线的性质和圆周角定理．根据切线的性质得，再根据圆周角定理得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算的度数．解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
【详解】解：∵切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数是．
故选：C．
11．D
【分析】设⊙O与AB，AC，BC分别相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB＝10，再根据切线长定理得到AF＝AE，CF＝CG，从而得到四边形OFCG是正方形，根据正方形的性质得到设OF＝x，则CF＝CG＝OF＝x，AF＝AE＝6﹣x，BE＝BG＝8﹣x，建立方程求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即可求出最后结果．
【详解】设⊙O与AB，AC，BC分别相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，则
∠OGC＝∠OFC＝∠OED＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝6 BC＝8，
∴AB＝10
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AF＝AE，CF＝CG （切线长相等）
∵∠C＝90°，
∴四边形OFCG是矩形，
∵OG＝OF，
∴四边形OFCG是正方形，
设OF＝x，则CF＝CG＝OF＝x，AF＝AE＝6﹣x，BE＝BG＝8﹣x，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
∴OF＝2，
∴AE＝4，
∵点D是斜边AB的中点，
∴AD＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝1，
∴tan∠ODA＝＝2．
故选D．
【点睛】此题考查了三角形内切圆的性质．注意切线长定理．还要注意直角三角形的内切圆中，如果连接过切点的半径，可以得到一个正方形，借助于方程即可求得半径的长．
12．B
【分析】如图，设的圆心为O′，连接AO′，OO′交AB于F．只要证明△AOO′是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，设的圆心为O′，连接AO′，OO′交AB于F．
∵当AC取最大值时，AC是⊙O的直径，
又∵AC是切线，
∴∠CAO′＝90°，
∵OA＝AO′，OO′⊥AB，
∴∠OAF＝∠FAO′＝45°，
∵OA＝1，
∴AF＝OA cos45°，
∴AB．
故选：B．
【点睛】
本题考查翻折变换、切线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
13．63°或117°
【分析】首先根据切线的性质得出，然后利用四边形内角和求出的度数，然后分两种情况：当点P在优弧BC上时或当点P在劣弧BC上时，分别讨论即可．
【详解】∵AB、AC与⊙O相切于点B、C，
．
∵四边形内角和为360°，∠A=54°，
．
当点P在优弧BC上时，
，；
当点P在劣弧BC上时，
，
故答案为：63°或117°．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的性质和四边形内角和是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键．
【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、，
，
，
，
，
的周长：
，
故答案为：14．
15．
【分析】本题考查扇形中求线段长，涉及切线性质、邻补角定义、四边形内角和及等边三角形的判定与性质，连接，如图所示，根据邻补角定义、切线性质及圆内角和可得，再利用圆的性质，由等边三角形的判定与性质即可得到答案，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
和都是扇形的切线，
，
为，
，
在四边形中，，，则，
，
是等边三角形，即，
故答案为：．
16．点A在圆外
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵的半径为2，点A到圆心的距离是3，
∴点A到圆心O的距离大于半径，
∴点A在的外面，
故答案为：圆外．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：当时，点P在圆外；当点P在圆上；当点P在圆内．
17．0【详解】【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m，
在Rt△OAB中，AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD AB=OA OB，
∴OD =×m×m，
∵m＞0，解得OD=m，
由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，
故答案为0【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）连接，先由证明，再由，可证得，即可证明；
（2）先证得，，说明，利用相似三角形的性质推得，再由，，判定，利用相似三角形的性质推得，从而可得结论；
（3）结论：．连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
AI
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图2，连接、，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
点是的中点，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
设，则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，由切线的判定定理即可得到结论．
（2）设，则，根据勾股定理得到，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴，
∵ ，
∴，即，
∴，
∵为直径，
∴直线是的切线．
（2）由（1）得，
∴，
设，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴的半径是2．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线长定理可得，进而根据平行线分线段成比例可得为的中点；
（2）过点作，垂足为F，延长至，使得，连接，交于点，连接，则，进而证明，根据相似三角形的性质求得的长度，根据即可求解．
【详解】（1）如图，连接，
，
，
是的切线，
DM是的切线，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点作，垂足为F，延长至，使得，连接，交于点，连接，则，
，当三点共线时，最小，
是直径，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线长定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，综合运用以上知识是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)①见解析；②．
【分析】（1）由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，最后结合角平分线的定义解答；
（2）①由角平分线的定义得到，结合圆的半径相等得到，继而根据平行线的判断方法证明，再由切线的性质得到，最后根据平行线的性质解答；②过点作，由垂径定理得到，由勾股定理解得，再根据正弦定义解题即可．
【详解】（1）解：在和中，，
∴，
∴，
即，
∴是的平分线；
（2）①证明：如解图，连接．

∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是⊙O的切线，
∴，
∴；
②过点作，
，
，
，，
．

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理、正弦等知识，是重要考点，掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
22．见解析；①45°②120°
【分析】（1）连接OC．根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，根据平行线的性质得到∠ACB＝90°．再根据切线的性质定理及圆周角定理即可得到结论；
（2）①根据圆的对称性由BD＝AD可得弧BD＝弧AD，再由圆周角定理得∠DCB＝∠DCA，进而得解；
②由菱形可得OD＝AD，结合OD＝OA，证得△OAD为等边三角形，则∠OAD＝60°，最后根据圆周角定理即可得解．
【详解】解：如图，连接
为的直径，
，
是的切线，
（2）①∵为等腰直角三角形，
∴AD＝DB，
∴弧AD＝弧DB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
②∵四边形为菱形，
∴OD＝AD，
又∵OD＝OA，
∴OD＝OA＝AD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵∠OAD＝∠DOB，
∴∠DOB＝120°．
【点睛】本题考查了圆的对称性、圆周角定理、直径的性质和切线的性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23．（1）BD与⊙O相切，理由见解析；（2）HG·HB=2+．
【分析】（1）连接OB，由已知可以得到∠OBD=90°，从而得到BD与⊙O相切；
（2）连接AE，OH，由已知可得△FHG∽△BHF，从而HG·HB=，同样由已知可得，进而得到问题答案．
【详解】(1)BD与⊙O相切．
理由如下：连接OB．
∵在Rt△ABC中，∠C+∠A=90°，
在Rt△ADF中，∠AFD+∠A=90°，
∴∠C=∠AFD．
又∵☉O是Rt△EBF的外接圆，
∴O是EF的中点，OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB．
又∵∠C=∠OFB，
∴∠C=∠OBF．
∵∠ABC=90°，D是AC的中点，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C，
∴∠DBC=∠OBF．
∴∠OBD=∠OBE+∠DBC=∠OBE+∠OBF=∠EBF=90°，
∴BD与⊙O相切．
(2)连接AE，OH．
在△ABC和△EBF中，
∴△ABC≌△EBF．
∴BE=AB=1．
∴在Rt△ABE中，AE=．
∵DF垂直平分AC，
∴CE=AE=，
∴BF=BC=BE+CE=1+．
在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=4+2．
∵BH平分∠EBF，
∴∠EBH=∠HBF=45°，∠HOF=2∠HBF=90°．
又∠HFE=∠EBH，
∴∠HFE=∠HBF．
而∠FHG=∠BHF，
∴△FHG∽△BHF．
∴=，即HG·HB=HF2，
∵OF=OH=，
∴HF2=OF2+OH2=2OF2==2+，
∴HG·HB=2+．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线相切的判定定理、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用是解题关键 ．
24．(1)图见解析
(2)理由见解析
(3)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．
（1）根据题中作图方法的四个步骤作图即可得；
（2）先根据作图可得为的直径，再根据圆周角定理可得，即，然后根据圆的切线的判定即可得；
（3）先利用勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由题意得：为的直径，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（3）解：∵的半径为4，
∴，
∵，，
∴在中，，
由作图可知，是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
即．
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