27.3圆中的计算问题同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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27.3圆中的计算问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径，作，分别交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的两段弧AmB、AnB所在圆的半径分别为，，若弧AmB、弧AnB的度数分别为120°和60°，则弧AmB、弧AnB的长度之比为（ ）
A．1：2 B． C． D．
3．如图，直线与相切于点，是的一条弦，且，连接．若的半径为，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（ ）
A． B． C． D．
5．已知和有相同的外心，，则的度数是（ ）
A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定
6．如图，在半径2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图（2）所示的一个圆锥模型，则圆的半径r与扇形的半径R之间的关系为（　　）
A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r
9．如图,已知△ABC,∠ABC=2∠C,以B为圆心任意长为半径作弧,交BA、BC于点E. F,分别以E. F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点,则下列说法不正确的是( )
A．∠ADB=∠ABC B．AB=BD C．AC=AD+BD D．∠ABD=∠BCD
10．如图，半径为6的中，，，则劣弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．
11．点O在直线AB上，点A1，A2，A3，…在射线OA上，点B1，B2，B3，…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2→A2…按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（ ）秒．
A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π
12．已知扇形的半径为3，扇形的弧长π，则此扇形的圆心角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．45° D．20°
二、填空题
13．半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为 ．
14．如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是 ．（结果保留）
15．如图，四边形为菱形，，以点为圆心，长为半径画，恰好经过点，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．一条弧所对的圆心角为，弧长等于，则这条弧的半径为 ．
17．如图，扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
三、解答题
18．如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的表面积（结果保留整数）．
19．追本溯源
（1）如图1，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求剪出的扇形的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径是多少？
变式探究
（2）如图2，是一块直角三角形铁皮，其中，，，以点D为顶点剪出一个面积最大的扇形组成圆锥的侧面，求此圆锥底面圆的直径．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是．
(1)与关于原点O成中心对称，画出，并写出点的坐标；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到，画出；
(3)求（2）的旋转过程中点C经过的路径长．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)作出关于x轴对称的；
(2)将绕O点逆时针旋转，画出旋转后的．
(3)在（2）的条件下，求点旋转到所经过的路径长？
22．如图，
(1)在网格中以A为位似中心，画出的位似图形，且与的相似比为2∶1．
(2)利用无刻度直尺和圆规，作出的外接圆（保留作图痕迹）．
23．如图，是⊙O的直径，，点E是射线上一点且，过点E作交射线于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求弧的长．
24．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，求OC的长．
《27.3圆中的计算问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B C C C D B C
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得即可．
【详解】解：如图：连接OB，是的切线，
设
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、扇形面积的计算等知识点，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键．
2．C
【分析】连接AB，作AB中点H，取弧AmB和弧AnB的圆心M、N，连接MH、NH，由垂径定理及其推论可知，，，再根据题意计算出， ．设，在和中，由三角函数可计算，，然后由弧长计算公式分别计算弧AmB和弧AnB的长度，进而得到两弧长之比．
【详解】解：根据题意，连接AB，作AB中点H，取弧AmB和弧AnB的圆心M、N，连接MH、NH，
由垂径定理及其推论可知，，，
故点M、N、H在同一直线上，
由题意可知，，，
∵，，
∴，，
∴，
，
设，则在和中，
，，
即，，
∴弧AmB的长度，弧AnB的长度，
∴弧AmB、弧AnB的长度之比为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧长公式、圆心角、垂径定理及其推论以及三角函数解直角三角形等知识，解题关键是弄清弧、弦、半径等几何关系，并补齐图形．
3．A
【分析】如图所示，过点作，作于，可得，，结合图形可求出扇形的面积，的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，作于，则点是的中点，
∵直线与相切于点，，
∴在同一条直线上，且，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂进定理，平行线的性质，特殊角的直角三角形，扇形面积的计算方法是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点旋转转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．
【详解】解：滑轮的半径为，
滑轮上点A转过的度数为时，所对应的弧长为：，
重物上升了
故选：B．
5．C
【分析】分两种情况讨论：若C、D在AB的同侧，根据圆周角定理求解；若C、D在AB的异侧，根据圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：若C、D在AB的同侧，如图1，则∠D=∠C=70°，
若C、D在AB的异侧，如图2，则∠D+∠C=180°，
∵∠C=70°，
∴∠D=110°；
综上，∠D=70°或110°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的外心和圆内接四边形的性质，解题的关键是进行正确分类、熟练掌握有关基本知识．
6．C
【分析】利用圆的半径，和90度的扇形，构造等腰直角三角形ABC，求出AB，利用扇形面积公式求扇形面积即可．
【详解】连结BC，设扇形的圆心为A点，
∵∠BAC=90°，
∴BC为直径，
∴BC=4，
在Rt△BAC中，由AB=AC，
由勾股定理AB=AC=，
∴S扇形BAC=．
故选择：C．
【点睛】本题考查圆周角的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握圆周角的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积公式，利用90°的扇形构造等腰直角三角形是解题关键．
7．C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，根据点是斜边的中点，得到，得到点是的外心，根据正方形的性质得到，求得，得到点是的外心，点是的外心，由于，得到点不是的外心，证得，是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
在中，点是斜边的中点，
，
点是的外心，
四边形是正方形，
，
，
点是的外心，点是的外心，
在等腰中，，则由勾股定理可得，
，
点不是的外心，
故选：C．
8．D
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长,扇形半径等于圆锥的母线长,即可解题.
【详解】解：∵扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长,
∴,
化简得R=4r
故选D.
【点睛】本题考查了扇形和圆锥的相关计算,弧长公式,圆的周长,中等难度,熟悉公式是解题关键.
9．B
【分析】根据作图方法可得BD平分∠ABC，进而可得∠ABD=∠DBC=∠ABC，然后根据条件∠ABC=2∠C可证明∠ABD=∠DBC=∠C，再根据三角形内角和外角的关系可得A说法正确；根据等角对等边可得DB=CD，进而可得AC=AD+BD，可得C说法正确；根据等量代换可得D正确．
【详解】由题意可得BD平分∠ABC，
A. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC,
∵∠ABC=2∠C，∠ADB=∠C+∠DBC，
∴∠ADB=2∠C，
∴∠ADB=∠ABC，故A不合题意；
B. ∵∠A≠∠ADB，
∴AB≠BD，故此选项符合题意；
C. ∵∠DBC=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠DBC=∠C，
∴DC=BD，
∵AC=AD+DC，
∴AC=AD+BD，故此选项不合题意；
D. ∵∠ABD=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C，故此选项不合题意；
故选B.
【点睛】此题考查作图—基本作图，解题关键在于掌握作图法则.
10．C
【分析】连接OB、OC，由同弧或等弧所对的圆周角相等得 ，由三角形内角和定理得 ，再由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出 ，结合已知条件，代入弧长公式计算即可．
【详解】
连接OB、OC
，
半径为6
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理及弧长公式，能够灵活运用知识点是解题的关键．
11．A
【分析】观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π 1+π 2+π 3+π 4）单位长度，然后可得到动点M到达A10点处运动的单位长度=4×2.5+（π 1+π 2+…+π 10），然后除以速度即可得到动点M到达A10点处所需时间．
【详解】解：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π 1+π 2+π 3+π 4）单位长度，
∵10=4×2.5，
∴动点M到达A10点处运动的单位长度=4×2.5+（π 1+π 2+…+π 10）=10+55π；
∴动点M到达A10点处运动所需时间=（10+55π）÷1=（10+55π）秒．
故选A．
12．B
【详解】解：设扇形圆心角度数为n°，根据
解得：n=60，
故此扇形的圆心角的度数为60°．
故选B．
【点睛】本题考查弧长公式，在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为.
13．2
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可．
【详解】解：，且，
.
，
中间空白部分的面积为
又，
以为直径的半圆面积为，
阴影部分的面积为
故答案为：
14．
【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是：将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【详解】解：如图，连接、．
∵，是以为直径的半圆的三等分点，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB＝BC＝CO，根据题意得到△AOB、△OBC为等边三角形，求出∠AOE、OF，根据扇形面积公式、梯形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接OB，OE与BC的交点为F，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB＝BC＝CO，
由题意得，OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，即△AOB、△OBC为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∠BOC＝60°，
∵OE⊥BC，
∴BF＝FC＝BC＝1，∠BOE＝∠BOC＝30°，
∴∠AOE＝90°，
∴，
则图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
16．9cm
【分析】由弧长公式即可求得弧的半径．
【详解】∵
∴
故答案为：9cm
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．
17．
【分析】本题考查了扇形面积公式、根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解．
【详解】解：∵扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点
∴
∴图中阴影部分的面积为
故答案为：．
18．
【分析】本题考查通过三视图求解圆锥侧面积，圆锥展开后是一个扇形，分别求解母线长以及底面圆周长和面积，再利用扇形面积公式求解侧面积即可．
本题可通过主视图求得底面圆直径，左视图求得圆锥的高，即可得到圆锥的母线，利用扇形面积公式求解侧面积即可．
【详解】解：由题可得，圆锥的底面直径为，高为，
则圆锥的底面半径为，圆锥的底面周长为，圆锥的底面面积为，
圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积．
圆锥的表面积为
答：圆锥的表面积．
19．（1）剪出的扇形的面积为；圆锥底面圆的半径是；（2）
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知为的直径，则，再根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式求出剪出的扇形的面积；再根据弧长公式即可求出圆锥底面圆的半径；
（2）过点作于点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，则扇形为能剪出的面积最大的扇形，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式求出的长，再利用弧长公式即可求出圆锥底面圆的直径．
【详解】解：（1）如图1，连接．
，
为的直径，即，
，
是等腰直角三角形，
，
；
设圆锥底面圆的半径为，
则，
解得，
圆锥底面圆的半径是；
综上，剪出的扇形的面积为；圆锥底面圆的半径是；
（2）如图2，过点作于点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，则扇形为能剪出的面积最大的扇形．
在中，，，
由勾股定理得，
，
，
设圆锥底面圆的直径为，
，
解得，
圆锥底面圆的直径是．
【点睛】本题考查了圆周角定理、求圆锥底面半径、扇形的面积、弧长公式、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．(1)画图见解析，
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题考查作图平移变换，旋转变换，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接，写出点的坐标即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出，B，的对应点，，，再顺次连接即可．
（3）利用弧长公式求得点C经过的路径长．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求
（3），
点C经过的路径长为
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了作轴对称图形，作旋转后图形，勾股定理，弧长公式，掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可求解．
【详解】（1）如图，即为所求，
（2）解：如上图，即为所求
（3）解：由网格可得：，
∵将绕O点逆时针旋转，
∴点旋转到所经过的路径长为．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作位似图形，圆的外接三角形，垂线的尺规作图等知识，
（1）借助网格图，延长、分别值D、E，使得、，再连接，即可；
（2）方法（1）：做出两边的垂直平分线，两线交于一点，则该点即为外接圆圆心，据此画圆即可；方法（2）：做出斜边的垂直平分线，找到斜边的中点，据此画圆即可；方法（3）：利用平行四边形对角线互相平分，找到斜边中点，据此画圆即可．
【详解】（1）如图，
即为所作；
（2）结合网格图可知：，即是直角三角形，
则的外接圆作法有如下几种方法：
方法（1）：做出两边的垂直平分线，画圆；
圆O即为所作；
方法（2）：做出斜边的垂直平分线，画圆；
圆O即为所作；
方法（3）：利用平行四边形对角线互相平分，找到斜边中点，画圆；
圆O即为所作．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由垂径定理及三角形中位线定理即可求解；
（2）先证明，再根据平行线的性质得出，即可证明；
（3）连接，先证明为等边三角形，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴点D是的中点，
∵点O是的中点，
∴，
∵，
∴，
（2）证明∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：连接，
∵与⊙O相切时，
∴，
∴，
∵在中，，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、平行线的性质、切线的性质、全等额三角形的判定、等边三角形的判定与性质及弧长公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）OC的长为1cm.
【分析】（1））如图，记与小扇形交于 证明再证明从而可得答案；
（2）由（1）可得：证明 再利用，列方程求解即可.
【详解】解：（1）如图，记与小扇形交于
圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，
（2）
阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，
，
整理得：
解得： （负根舍去）
所以OC的长为1cm.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆的基本性质，扇形面积的计算，证明是解本题的关键.
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