27.4正多边形和圆同步练习（含解析）华东师大版数学九年级下册

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27.4正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三角形的内心是（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
2．如图，已知的内接正六边形的边心距是，则阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
3．四边形ABCD是圆的内接四边形，若∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）
A．70° B．90° C．110° D．120°
4．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
5．若一个正六边形的边长为2，则其外接圆与内切圆的半径分别为（ ）
A．2，1 B．2， C．，2 D．，3
6．以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是
C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补
7．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B-∠CAD＝50°，则∠E的度数是（　　）
A．100° B．120° C．150° D．130°
8．如图，中，，，，I为的内心，，，则的周长为（　　）
A．6 B．5 C．4.8 D．4
9．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于点M，若AC=8，BM=4，则⊙O的半径等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．6
10．如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，正十边形内接于，点在上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正六边形，P点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，正八边形的边长为3，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
14．如图，在正边形中，，则的值是 ．
15．如图，是正六边形的外接圆，正六边形的边长为，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ．
17．如图，的半径是2，则这个圆的内接正十二边形的面积是 ．
三、解答题
18．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求的度数．
19．综合与实践：在学习了《7.4实践与探索》之后，小亮买了若干块完全相同的长方形拼图（图1），第一次他用2块图1的长方形拼出了图2所示的正方形，第二次他又用4块图1的长方形拼出了图3所示的正方形（中间留有一个正方形小洞，即阴影区域），经过测量，他发现图3的大正方形的边长为．
（1）请你帮小亮求出图1中长方形的长和宽；
（2）请你参照图3，用图1的长方形拼出一个面积为的正方形（中间留有一个正方形小洞），请画出你拼出的大正方形（要求画出两个）．
20．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
21．如图，在中，，，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连接、、．
（1）求证：；
（2）请猜想线段与的位置关系，并说明理由；
（3）已知为的内心，求的度数
22．按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)仅用无刻度直尺作图，
①如图1，直角三角板的直角顶点恰好在圆上，作出一条圆的直径；
②如图2，在的正方形网格中，四边都与圆相切，、、、是切点，在圆上作出一个的圆周角（标出角度）；
(2)用无刻度直尺和圆规作图，如图3，点在圆上，作一个圆的内接正方形
23．如图，在矩形中，为矩形对角线，于点，的延长线交于点，已知，．
（1）求的长；
（2）的角平分线交于点，求的值；
（3）若、分别是、的内心，求、两点间的距离．
24．综合与实践：（1）如图（1），有一块三角形材料，准备裁剪成一个面积最大的圆形，已知，，，求裁剪出的最大圆形面积．
（2）如图（2），市政部门准备把一块四边形区域改造成公园，计划在主干道上确定大门的位置，且在与另外两个小门、连接而成的三角形区域内设计一个面积尽可能大的圆形花园，部分数据如下：，米，点为的中点，请按市政要求确定的位置，画出图形并求出长和最大的圆形花园的面积．

《27.4正多边形和圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B A D B A B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】本题考查了三角形的内心，根据三角形的内心的定义，它是三条角平分线的交点．
【详解】解：∵三角形的内心是三角形内切圆的圆心，且内切圆与三边相切，
∴内心到三边的距离相等，这要求它是三条角平分线的交点．
∴三角形的内心是三条角平分线的交点．
故选：B．
2．D
【分析】连接正六边形的相邻的两个顶点与圆心，构造扇形和等边三角形，则可得到弓形的面积，阴影部分的面积等于弓形的6倍．
【详解】解：连接、，
，的内接正六边形，
，
∴△DOE是等边三角形，
∴∠DOM=30°，
设，则
，
解得：，
，
根据图可得：，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是知道阴影部分的面积等于三个弓形的面积．
3．C
【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．
【详解】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°．
故选C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
4．C
【分析】连接OA、OB、OC，根据正方形及正三角形的性质得出∠AOB==90°，∠AOC==120°，进而得出∠BOC=30°，即可得出n的值．
【详解】如图，连接OA、OB、OC，
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，
∴∠AOB==90°，∠AOC==120°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，
∴n==12，
故选C.
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出∠BOC=30°是解题关键．
5．B
【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边引垂线，构建直角三角形，解直角三角形即可．
【详解】解：设内切圆的圆心为，连接，，过作于．
∵正六边形的边长为，
∴正六边形的半径是，则外接圆的半径，
∵内切圆的半径是正六边形的边心距，
∵，，则是等边三角形，，
∴
∴
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
6．A
【分析】根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；
对于B选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；
对于C选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；
对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】连接AC，CE，先推出∠CAD=∠CED，结合已知可得∠B=∠CED+50°，根据四边形ABCE是圆的内接四边形，可得∠B+∠AEC=180°，将∠B代入可得出答案．
【详解】解：连接AC，CE
∵，
∴∠CAD=∠CED，
∵∠B-∠CAD=50°，
∴∠B=∠CED+50°，
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∴∠CED+50°+∠AEC=180°，
∵∠CED+∠AEC=∠E，
∴∠E=130°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，此题难度不大．
8．B
【分析】先解直角三角形得到，连接、，如图，利用三角形的内心的性质得到，再证明得到，同理可得，所以的周长．
【详解】解：，，，
，
连接、，如图，
为的内心，
平分，
即，
，
，
，
，
同理可得，
的周长．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
9．A
【详解】试题分析：作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，推出∠HCA=∠HBA=90°，证出四边形HBMC为平行四边形，求出HC，根据垂径定理求出AF，根据中位线得出OF，再根据勾股定理求出OA即可． 作直径AH，连接HB、HC，作OF⊥AC于F，连接CM，延长CM交AB于点N，则CN⊥AB，如图所示： ∵AH为直径， ∴∠HCA=∠HBA=90°， ∵CN⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CNA=∠BEA=90° ∴∠HBA=∠CNA，∠HCA=∠BEA， ∴HB∥CN，HC∥BE， ∴四边形HBMC为平行四边形， ∴BM=HC=4， ∵OF⊥CC，OF过O， ∴根据垂径定理：CF=FA=AC=4， ∵AO=OH， ∴OF为△ACH的中位线， ∴OF=HC=2， ∴在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=22+42=20， ∴AC=2；
考点：(1)、三角形的外接圆与外心；(2)、圆周角定理．
10．B
【分析】连接AC、 BD,先由正方形的性质得出∠ADC=∠BCD=,再根据90度的圆周角所对的弦是直径得出AC与BD是直径,由直径所对的圆周角是直角得出∠APC=∠BPD=,然后根据勾股定理得出,,从而求出结果.
【详解】解:
如图，连接AC,BD.ABCD是正方形,
∠ADC=∠BCD=,
AC与BD是直径,
∠APC=∠BPD=,
,,
又正方形ABCD的边长为1,
AC=BD=,
.
所以B选项是正确的.
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆,勾股定理,圆周角定理,综合性较强,难度中等.根据圆周角定理得∠APC=∠BPD=是解题的关键.
11．C
【分析】本题考查了正十边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正十边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．
连接，由正十边形的性质得出，则，由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图：连接，
∵多边形是正十边形，
，
，
，
故选：C．
12．C
【分析】连接，交于，设正六边形边长为，在正六边形中求得则，易得，，，设，则，分别求得计算即可．
【详解】解：连接，交于，
设正六边形边长为，
在正六边形中求得，
则，，
，易得四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形面积的有关计算，角所对的直角边等于斜边的一般以及勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握正多边形的性质．
13．π
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角和的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
先根据正八边形的性质求出圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆，圆周角定理，中心角，掌握正多边形与圆的关系是解题的关键；
先标字母，为正边形的外接圆，再根据圆周角定理求出，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数．
【详解】解：如图所示，标记点，点，点，正边形的中心，为中心角，为正边形的外接圆，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．2π-．
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据正六边形的特点，阴影部分的面积等于扇形AOB的面积与三角形AOB的面积之差，认真计算即可．
【详解】过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵是正六边形的外接圆，正六边形的边长为，
∴∠OAB=∠AOB==60°，OA=OB=AB=，
∵sin60°=，
∴OG=OAsin60°==3，
∴阴影部分的面积为：
=2π-，
故答案为：2π-．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，扇形的面积，阴影部分的面积，熟练掌握正多边形的中心角的计算，灵活运用扇形的面积，准确进行图形面积的分割计算是解题的关键．
16．/
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可．
【详解】∵，，是边上的高，
∴，，
∴，，
设与的半径分别为x，y，则
∴，，
解得，
∴与的面积比为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查圆的内接多边形问题，涉及圆的内接正多边形、特殊角的三角函数值等知识，根据题意，得到，在中解直角三角形得到的高，根据这个圆的内接正十二边形的面积是，利用三角形面积公式求解即可得到答案，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：连接，过作于，如图所示：
图中多边形是圆的内接正十二边形，
，
在中，，则，即，解得，
，则这个圆的内接正十二边形的面积是，
故答案为：．
18．(1),理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论．
（2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得．
【详解】（1）解：．
理由：如图，连接，
∵正方形内接于，
∴．
∵与相切于点D，
∴，即．
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质．
19．（1）长为，宽为；（2）见解析
【分析】（1）设图1中长方形的长为，宽为，根据图2和图3列方程组解答；
（2）由正方形的面积是得到边长是50cm，依此拼图即可.
【详解】解：（1）设图1中长方形的长为，宽为，
根据题意，有
解这个方程组，得
答：图1中长方形的长为，宽为．
（2）答案不唯一，例如答图1，答图2．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中长和宽的关系是解题的关键.
20．（1）见解析；（2）48°；（3）∠A=90°﹣．
【详解】试题分析：（1）在△CDE与△CBF中，根据三角形内角和定理以及∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，可得∠CDE=∠CBF，从而得∠ADC=∠ABC，由圆内接四边形定理可得∠ADC+∠ABC=180°，从而可得∠ADC=∠ABC=90°；
由（1）可知∠ABC=90°，从而∠A=90°-∠E=48°；
由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠ADC+∠ABC=180°，从而得∠EDC+∠FBC=180°，在利用三角形内角和定理可得∠E+∠F+∠ECD+∠FCB=180°，从而得∠ECD+∠FCB=180°-（α+β），由周角可得∠BCD+∠FCE=180°+（α+β），从而可得∠BCD=90°+，从而得∠A=90°-；
试题解析：（1）在△CDE与△CBF中，∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，∴∠CDE=∠CBF，∴180°-∠CDE=180°-∠CBF，即∠ADC=∠ABC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°；
∵∠E=∠F=42°，由（1）可知∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠E=48°；
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠EDC+∠FBC=180°，∵∠E+∠EDC+∠ECD=180°，∠F+∠FCB+∠FBC=180°，∴∠E+∠F+∠ECD+∠FCB=180°，∴∠ECD+∠FCB=180°-（α+β），∴∠BCD+∠FCE=360°-（∠ECD+∠FCB）=180°+（α+β），∵∠BCD=∠FCE，∴∠BCD=90°+，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠A=90°-；
考点：1．三角形内角和定理；2．圆内接四边形定理．
21．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）由∠ABC为直角，得到∠CBD也为直角，得到一对角相等，再由AB=CB，BE=BD，利用SAS即可得到结论；
（2）猜想：．延长 交于点，由（1）的全等可得∠ADB=∠CEB，继而根据直角三角形两锐角互余以及等量代换可推导得出，从而得到；
（3）由内心的意义可得AI平分，平分，继而根据三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】（1）∵∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，
∴∠ABD=∠CBE=90°，
在与中，
，
（2）．
理由：如图，延长 交于点
，
∴∠ADB=∠CEB，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）如图
为的内心，
平分，平分，
∴∠IAD=， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理等，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键．
22．(1)①见解析②见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径作出图形；
（2）连接交弧于点，连接，，即为所求；
（3）作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求．
【详解】（1）解：①如图1中，
∵的圆周角所对的弦是直径，
∴线段即为所求；
②如图2中，连接交弧于点，连接，，即为所求；
∵由题意为正方形的内切圆，
∴过圆心，
由正方形性质知，
∴；
（2）解：如图3中，作射线交于点，作线段的垂直平分线交于点，，连接，，，，四边形即为所求．
由作法知，互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵相等，
∴为矩形；
∵，
∴矩形为正方形．
【点睛】本题考查作图，正方形的判定和性质，正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）证明△DAE∽△CDA，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）作FH⊥AC于点H，利用AAS证明△FCH≌△FCD，先后求得CH、AH、FH，即可求解；
（3）作出解图的辅助线，求得GD、GC、GA的长，再分别求得Rt△CDG和Rt△ADG的内切圆半径，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠DAE=∠ADC=90°，
∴△DAE∽△CDA，
∴，即，
∴；
（2）作FH⊥AC于点H，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠FCD，
∵∠CHF=∠CDF=90°，CF=CF，
∴△FCH≌△FCD(AAS)，
∴CD=CH=8，
∵AC=，
∴AH=AC-CH=10 8=2，
∵，
∴，
∴；
（3）如图，
∵∠CAD+∠3=∠2+∠3=∠CAD+∠1=90°，
∴∠CAD=∠2，∠3=∠1，
∴，
，
过O2作O2N⊥AC于N，过O1作O1I⊥AC于I，过O2作O2M⊥IO1交IO1的延长线于M，
设Rt△CDG和Rt△ADG的内切圆半径分别为R和r，
则，
，
，
，，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形内切圆的半径，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（1）；（2）图见解析，米，最大的圆形花园的面积为
【分析】（1）此题考查三角形的内切圆的半径，通过面积与周长的公式推论即可；
（2）需要圆形画圆面积最大，由（1）中公式可知，圆半径与三角形的面积和周长关系为： ，当在上时，不变，因此越小半径越大，则圆面积越大，因此将周长最小转化为最短路径题型，对称后连线即为周长最小，同时根据题意有等边三角形，作出辅助线后可得到每条边的长度，最后直接求解即可.
【详解】（1）如图所示，作的内切圆，则

解得：，
裁剪出的最大圆形面积为
（2）连接，将关于对称得点，连接交于点，连接交于点，
连接，延长和交于，
是等边三角形，
米，是中点，
米，
是等边三角形，
，
，
，
，
需要圆形画圆面积最大，由（）可知，
圆半径与三角形的面积和周长关系为： ，
当在上时，不变，因此越小半径越大，则圆面积越大，
如图所示时周长最大，

此时周长即
在中，，
在中，，
是的中点，
是的中点，
，
直线是等边的对称轴，
，
平方米
【点睛】本题考查了三角形内心的应用，勾股定理，熟练掌握内心的性质是解题的关键．
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