数学：14.3《空间直线和平面的位置关系》教案（2）（沪教版高三上）
文档属性
| 名称 | 数学：14.3《空间直线和平面的位置关系》教案（2）（沪教版高三上） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 115.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-05-17 12:57:00 | ||
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文档简介
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14.3（2）空间直线和平面的位置关系
上海市南洋中学 刘小萍
一、教学内容分析
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，前面我们已研究了两异面直线所成的角，本节研究直线与平面所成的角
课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实际背景.接着借助图14—22引出了一系列概念.
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
求直线和平面所成的角的方法是：
射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算.
注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有.
二、教学目标设计
理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角，培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等.
培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣.
三、教学重点及难点
斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，求直线与平面
所成角的基本方法，难点是确定直线在平面上的射影
四、教学用具准备
投影仪，ppt演示
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
运动员起跑时，腿部与地面给你怎样一种形象？运动员投出的标枪落地以后，标枪一定会垂直地面吗？大都是怎样的状态？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "http://t1./it/u=1880916170,4289235722&fm=0&gp=-26.jpg" \* MERGEFORMATINET HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "http://t3./it/u=3064042278,465759281&fm=0&gp=40.jpg" \* MERGEFORMATINET
[说明] 运动员投出的标枪落地以后，大多是插在地面上的，它们的状态有时“偏陡”些，有时“偏平”些，如何描述标枪落地时“偏陡”或“偏平”的程度呢？这就涉及到标枪所在的直线与地面所成角的大小了，这节课我们要研究直线与平面所成的角
二、学习新课
问题1：（1）前面我们学习了直线与平面垂直，这其实是直线和平面相交的一种特殊情况，我们对它的研究，是将其转化为考察直线和平面内直线的位置关系来进行的，它体现了什么数学思想方法？
（2）类比上述数学思想方法，我们该如何刻画一条直线与一个平面所成的角呢？
[说明] 引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的“平面化、降维”的数学思想方法，通过对已学知识与思想方法的回忆，寻找新知识的“生长点”，同时渗透类比的数学思想方法.
定义：
1．平面的斜线
当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交，叫做平面的斜线.
斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段．如图14—22
2．射影
如图14—22，设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影，
3．直线和平面所成角
规定直线与其平面上的射影所成的锐角叫做直线与平面所成的角．
我们规定，当直线与平面垂直时，它们所成的角等于；
若直线与平面平行或直线在平面上时，它们所成的角为；
[说明]教师边画出课本图形14-22，边讲解．
点O—点A在平面上的射影
AO—点A到平面的垂线段
直线AM—平面的一条斜线
M—斜足
线段AM—斜线段
直线OM—斜线AM在平面上的射影
线段OM—斜线段AM在平面上的射影
问题2：
1．直线与平面所成的角的大小与点在上的取法有关吗？
2．直线和平面所成角的范围是多少？
3．证明：与平面内经过点的直线所成的所有角中，最小．
[说明] 直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关；直线和平面所成角的范围是；斜线和平面所成角的范围是
2．例题分析
例1．已知正方体中的棱长为，
（1） 求直线和平面所成的角；
（2）求直线和平面所成的角；
（3）求直线和平面所成的角
解：（1）；（2）；（3）.
[说明] 通过本例熟练掌握正方体的棱与面、对角线与面的关系，掌握求平面的斜线与平面所成角的其本步骤：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.
例2．如图, ∠BOC在α内,OA是α的斜线,
∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,求:OA和平面α所成角的大小
分析：此题关键是确定在内的射影.
在本例中，可直接作于，进而证明，从而确认是在内的射影.
也可过作于，进而证明在上.
可求得OA和平面α所成角的大小为.
[说明]正确确定点在平面上的射影的位置，是求直线与平面所成角的关键，只有确定了射影的位置，才能将空间问题顺利地转化为平面的问题.
确定点在平面上的射影位置有以下几种方法：
（1） 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
（2） 利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影.
例3．在例1的正方体中，若分别是的中点，求和平面所成的角.
分析：在本例中仍可“一找二证三求”来求和平面所成的角.但是正方体的体对角线，而平面是正方体的面对角线所在的面，因此可以通过证明来说明和平面所成的角为.
[说明] 直线和平面所成的角，包括直线和平面垂直，直线和平面平行或在平面内，即角和角情况，所以求直线和平面所成角时，可先看是否是以上两种特例.
3．问题拓展
例4．如图，已知在平面内，，，
求证：点在平面上的射影在的平分线上．
证明：作，，垂足分别为，连结，
∵ ，
，
又∵，∴平面，∴．同理．
在和，，
∴，∴，
即点在平面上的射影在的平分线上．
[说明] 本题给出了一个很重要的结论：平面的一条斜线，如果和这个平面内斜线为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，这个结论在解答一些问题时常常用到，如前面的例2.
三、巩固练习
练习：1.如图,已知六边形ABCDEF是边长为a的正六边形,PA垂直于六边形ABCDEF所在的平面M,并且PA=a,求点P与正六边形各顶点连线和平面M所成的角
2．课本页练习.
[说明]通过练习进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握直线与平面所成角的有关概念.
四、课堂小结
求直线与平面所成角解题的一般步骤是：
（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案.
五、作业布置
1．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
2．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
[说明] 通过作业进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握确定点在平面上的射影的方法.
六、教学设计说明
直线与平面所成的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念.
研究时要分清：斜线、垂线、直线，因此涉及的概念较多，为了便于学生理解记忆，要注意边讲边画图，并在图上注出有关概念的名称.
为了更好的理解直线与平面所成的角的概念，引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的“平面化、降维”的数学思想方法，通过对已学知识与思想方法的回忆，寻找新知识的“生长点”，同时渗透类比的数学思想方法.
接着通过例1，掌握求直线和平面所成的角的常用方法：
射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算.
通过例2，了解正确确定点在平面上的射影的位置，是求直线与平面所成角的关键，只有确定了射影的位置，才能将空间问题顺利地转化为平面的问题.而确定点在平面上的射影位置有以下几种方法：
（1） 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
（2） 利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影.
通过例3，对直线与平面所成的角的范围更准确、全面的理解.
通过例4，了解一个很重要的结论：平面的一条斜线，如果和这个平面内斜线为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，这个结论在解答一些问题时常常用到.
总之，对于直线与平面所成的角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
巩固
探究
引入
作业
总结
应用
图 14—22
O
A
C
B
P
F
E
D
C
B
A
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14.3（2）空间直线和平面的位置关系
上海市南洋中学 刘小萍
一、教学内容分析
空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，前面我们已研究了两异面直线所成的角，本节研究直线与平面所成的角
课本通过一个标枪的实例说明了直线与平面所成的角有它的实际背景.接着借助图14—22引出了一系列概念.
对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
求直线和平面所成的角的方法是：
射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；
③把该角置于三角形中计算.
注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有.
二、教学目标设计
理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角，培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等.
培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣.
三、教学重点及难点
斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念，求直线与平面
所成角的基本方法，难点是确定直线在平面上的射影
四、教学用具准备
投影仪，ppt演示
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
运动员起跑时，腿部与地面给你怎样一种形象？运动员投出的标枪落地以后，标枪一定会垂直地面吗？大都是怎样的状态？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "http://t1./it/u=1880916170,4289235722&fm=0&gp=-26.jpg" \* MERGEFORMATINET HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" \t "_blank" INCLUDEPICTURE "http://t3./it/u=3064042278,465759281&fm=0&gp=40.jpg" \* MERGEFORMATINET
[说明] 运动员投出的标枪落地以后，大多是插在地面上的，它们的状态有时“偏陡”些，有时“偏平”些，如何描述标枪落地时“偏陡”或“偏平”的程度呢？这就涉及到标枪所在的直线与地面所成角的大小了，这节课我们要研究直线与平面所成的角
二、学习新课
问题1：（1）前面我们学习了直线与平面垂直，这其实是直线和平面相交的一种特殊情况，我们对它的研究，是将其转化为考察直线和平面内直线的位置关系来进行的，它体现了什么数学思想方法？
（2）类比上述数学思想方法，我们该如何刻画一条直线与一个平面所成的角呢？
[说明] 引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的“平面化、降维”的数学思想方法，通过对已学知识与思想方法的回忆，寻找新知识的“生长点”，同时渗透类比的数学思想方法.
定义：
1．平面的斜线
当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交，叫做平面的斜线.
斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段．如图14—22
2．射影
如图14—22，设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影，
3．直线和平面所成角
规定直线与其平面上的射影所成的锐角叫做直线与平面所成的角．
我们规定，当直线与平面垂直时，它们所成的角等于；
若直线与平面平行或直线在平面上时，它们所成的角为；
[说明]教师边画出课本图形14-22，边讲解．
点O—点A在平面上的射影
AO—点A到平面的垂线段
直线AM—平面的一条斜线
M—斜足
线段AM—斜线段
直线OM—斜线AM在平面上的射影
线段OM—斜线段AM在平面上的射影
问题2：
1．直线与平面所成的角的大小与点在上的取法有关吗？
2．直线和平面所成角的范围是多少？
3．证明：与平面内经过点的直线所成的所有角中，最小．
[说明] 直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关；直线和平面所成角的范围是；斜线和平面所成角的范围是
2．例题分析
例1．已知正方体中的棱长为，
（1） 求直线和平面所成的角；
（2）求直线和平面所成的角；
（3）求直线和平面所成的角
解：（1）；（2）；（3）.
[说明] 通过本例熟练掌握正方体的棱与面、对角线与面的关系，掌握求平面的斜线与平面所成角的其本步骤：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.
例2．如图, ∠BOC在α内,OA是α的斜线,
∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,求:OA和平面α所成角的大小
分析：此题关键是确定在内的射影.
在本例中，可直接作于，进而证明，从而确认是在内的射影.
也可过作于，进而证明在上.
可求得OA和平面α所成角的大小为.
[说明]正确确定点在平面上的射影的位置，是求直线与平面所成角的关键，只有确定了射影的位置，才能将空间问题顺利地转化为平面的问题.
确定点在平面上的射影位置有以下几种方法：
（1） 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
（2） 利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影.
例3．在例1的正方体中，若分别是的中点，求和平面所成的角.
分析：在本例中仍可“一找二证三求”来求和平面所成的角.但是正方体的体对角线，而平面是正方体的面对角线所在的面，因此可以通过证明来说明和平面所成的角为.
[说明] 直线和平面所成的角，包括直线和平面垂直，直线和平面平行或在平面内，即角和角情况，所以求直线和平面所成角时，可先看是否是以上两种特例.
3．问题拓展
例4．如图，已知在平面内，，，
求证：点在平面上的射影在的平分线上．
证明：作，，垂足分别为，连结，
∵ ，
，
又∵，∴平面，∴．同理．
在和，，
∴，∴，
即点在平面上的射影在的平分线上．
[说明] 本题给出了一个很重要的结论：平面的一条斜线，如果和这个平面内斜线为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，这个结论在解答一些问题时常常用到，如前面的例2.
三、巩固练习
练习：1.如图,已知六边形ABCDEF是边长为a的正六边形,PA垂直于六边形ABCDEF所在的平面M,并且PA=a,求点P与正六边形各顶点连线和平面M所成的角
2．课本页练习.
[说明]通过练习进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握直线与平面所成角的有关概念.
四、课堂小结
求直线与平面所成角解题的一般步骤是：
（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案.
五、作业布置
1．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
2．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
[说明] 通过作业进一步掌握求直线和平面所成角的基本步骤.掌握确定点在平面上的射影的方法.
六、教学设计说明
直线与平面所成的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念.
研究时要分清：斜线、垂线、直线，因此涉及的概念较多，为了便于学生理解记忆，要注意边讲边画图，并在图上注出有关概念的名称.
为了更好的理解直线与平面所成的角的概念，引导学生回顾直线与平面垂直的位置关系研究中体现的“平面化、降维”的数学思想方法，通过对已学知识与思想方法的回忆，寻找新知识的“生长点”，同时渗透类比的数学思想方法.
接着通过例1，掌握求直线和平面所成的角的常用方法：
射影转化法.具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算.
通过例2，了解正确确定点在平面上的射影的位置，是求直线与平面所成角的关键，只有确定了射影的位置，才能将空间问题顺利地转化为平面的问题.而确定点在平面上的射影位置有以下几种方法：
（1） 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
（2） 利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影.
通过例3，对直线与平面所成的角的范围更准确、全面的理解.
通过例4，了解一个很重要的结论：平面的一条斜线，如果和这个平面内斜线为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，这个结论在解答一些问题时常常用到.
总之，对于直线与平面所成的角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．
巩固
探究
引入
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