专题02 相交线与平行线（二）（含答案） 2025-2026学年人教版数学七年级下册

专题02 相交线与平行线（二）
【题型1】平行线的判定
【题型2】平行线的性质
【题型3】平行线的性质与判定综合
【题型4】命题与定理
【题型5】利用平移的性质作图
【题型6】利用平移的性质计算
【知识点1】平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.
【知识点2】平行线的画法
一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线.
【知识点3】平行公理
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【知识点4】平行线的判定
判定方法1 判定方法2 判定方法3
两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行
符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD
【知识点5】平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.
【知识点6】命题、定理、证明
1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
2．定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
3．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
要点提醒：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．
【知识点7】平移
1．定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点提醒：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2．性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
要点提醒：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.
3．作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
【题型1】平行线的判定
1．如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是(　　)
A．60°　　B．80°　　C．100°　　D．120°
2．如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则一定有(　　)
A．l1∥l2　　B．l3∥l4 C．l1∥l4　　D．l2∥l4
3．如图，下列能判定AB∥CD的条件有(　　)
①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠2＋∠4＋∠5＝180°；⑥∠D＝∠5.
A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个
4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(　　)
A．15°　　　B．25°　　　C．35°　　　D．50°
5．在一副直角三角尺中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝45°，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线AC的上方，且0°＜∠ACE＜180°，要使三角形ADC有一条边与EB平行，则∠ACE的度数不可能为(　C　)
A．45°　　B．135°　　C．75°　　D．165°
6．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图中所有平行的直线有(　B　)
A．AB∥CD∥EF B．AB∥CD∥EF，BC∥DE
C．AB∥EF D．CD∥EF
7．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是(　C　)
A．如图①，展开后测得∠1＝∠2 B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图③，测得∠1＝∠2 D．如图④，测得∠1＝∠2
8．如图，直线AB，CD被直线DE所截，∠1＝100°，当∠2＝_______°时，AB∥CD.
9．将一块三角尺ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图所示放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠2＝2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ACB＝∠1＋∠2；⑤∠ABC＝∠2－∠1.能判定直线m∥n的有_______．(填序号)
10．如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB＋∠B等于多少度？
(2)若∠B＝∠D，AB与CD平行吗？说明理由．
11．如图，三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
12．数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角尺画平行线．
(1)嘉嘉是这样做的：如图①，先画一条直线MN，之后摆放三角尺，得到AB∥CD.依据是__________________________________________；
(2)淇淇按如图②所示的方式摆放三角尺，也得到AB∥CD.依据是______________________；
(3)李老师将一副直角三角尺(∠E＝45°，∠C＝30°)按如图③所示的方式放置，若∠DAC＝15°，则可得到AE∥BC.请说明理由．
【题型2】平行线的性质
13．如图，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数是(　　)
A．105°　　B．115°　C．125°　　D．135°
14．如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是(　　)
A．120°　　B．30°　　C．60°　　D．150°
15．在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75°
16．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　　)
A．10°　　B．20°　　C．30°　　D．40°
17．如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M.若∠1＝55°，则∠2＝_________°.
18．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝34°，∠2＝85°，则∠3＝_________．
19．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3＝_________．
20．如图，a∥c，b∥d，∠1＝30°，求∠3的度数．
21．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，∠BED＝25°，求∠D的度数．
22．我们已经学过了对顶角、邻补角、同位角等，知道了它们的特征．现在若有两个角，它们的顶点不同，但这两个角的两边相互平行，我们就把满足这个条件的两个角称作“平行角”．如图①、图②、图③，已知AB∥CD，AD∥BC，因此∠ABC和∠ADC是“平行角”．
(1)如图①，试说明∠B＝∠D；
(2)如图②，延长DC到E，可知∠A和∠BCE也是“平行角”，判断它们的数量关系；
(3)如图③，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，请说明图中的∠1和∠2是“平行角”．
【题型3】平行线的性质与判定综合
23．如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为(　　)
A．75°　　B．105° C．115°　　D．130°
24．如图，在四边形ABCD中，若∠ABC＋∠C＝180°，则下列结论正确的是(　　)
A．∠1＝∠2　　B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3　　D．∠2＝∠4
25．如图所示，下列判断中错误的是(　　)
A．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD
B．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°
C．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC
D．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4
26．如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝(　　)
A．36°　　B．52°　　C．72°　　D．80°
27．如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需添加条件(　　)
A．∠1＝∠2　　B．∠2＝∠AFD C．∠1＝∠AFD　　D．∠1＝∠DFE
28．如图，∠1＋∠2＝180°，∠4＝70°，则∠3＝_________．
29．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB，E为BC上一点，且EF⊥AB，连接DE，若EF平分∠BED，∠BEF＝∠ACD，∠CDE＝42°，则∠A的度数为_________．
30．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
(1)试说明∠BDF＝∠A；
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出三角形ABC的形状．
31．如图，点D，F在线段BC上，点E在线段AB上，点G在线段AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°.
(1)试说明EH∥AD；
(2)若∠DGC＝60°，且∠H－∠4＝4°，求∠H的度数.
【题型4】命题与定理
32．下列选项正确的是(　　)
A．命题“同旁内角互补”是真命题
B．“作线段AC”这句话是命题
C．“对顶角相等”是定义
D．说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例a＝0
33．下列命题中，真命题的个数有(　　)
①同位角相等；
②垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个
34．探究：如图①②，∠ABC与∠EDF，BC与ED交于点H，这两个角的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥DF.
(1)分别猜想图①、图②中∠ABC与∠EDF的大小关系，并给予证明；
(2)如果本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……那么……”的形式．
【题型5】利用平移的性质作图
35．如图，平移线段AB，使端点A到点C的位置，作出线段AB平移后的图形．
作法1：连接AC，过点B作线段BD，使BD满足___________和____________，连接CD，则CD即为所求的图形；
作法2：连接AC，过点C作直线CE____AB，在射线CE上截取CD____AB，则CD即为所求的图形．
请选择上述方法中的一种，在图中画出线段CD.
36．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹)．
(1)画出三角形A′B′C′；
(2)连接AA′，CC′，那么AA′与CC′的关系是_________；
(3)三角形ABC的面积是_________．
37．如图，网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到三角形A1B1C1.
(1)画出三角形A1B1C1；
(2)连接AA1，BB1，AB1，∠A1AB1＝α，则∠AB1B的度数为____(用含α的式子表示)；
(3)试求三角形AB1C的面积．
【题型6】利用平移的性质计算
38．如图，将三角形ABC沿AB方向平移后，到达三角形BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
39．如图，通过平移就能到达阴影部分位置的图形共有_____块(注意：阴影部分本身除外)(　　)
A．6　　　B．5　　　C．4　　　D．3
40．如图，已知∠3＝35°，∠2＝140°，直线b平移后得到直线a，则∠1的度数为(　　)
A．75°　　B．70°　　C．65°　　D．60°
41．如图，将三角形DEF沿FE方向平移3 cm得到三角形ABC，若三角形DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为________cm.
42．(1)如图①是将线段AB向右平移1个单位长度，如图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形；
(2)若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中去掉阴影部分后剩余部分的面积；
(3)如图④，在宽为10 m，长为40 m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，
小路宽为1 m，求这块菜地的面积．
43．如图①，将三角形ABD平移，使点D沿BD的延长线移至点C，得到三角形A′B′D′，A′B′交AC于点E，AD平分∠BAC.
(1)猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并写出理由；
(2)将三角形ABD平移至如图②所示，得到三角形A′B′D′，请问：A′D′平分∠B′A′C吗？为什么？
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参考答案
【题型1】平行线的判定
1．如图，∠1＝120°，要使a∥b，则∠2的大小是(　　)
A．60°　　B．80°　　C．100°　　D．120°
【答案】D
2．如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则一定有(　　)
A．l1∥l2　　B．l3∥l4 C．l1∥l4　　D．l2∥l4
【答案】B
3．如图，下列能判定AB∥CD的条件有(　　)
①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠2＋∠4＋∠5＝180°；⑥∠D＝∠5.
A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个
【答案】C
4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(　　)
A．15°　　　B．25°　　　C．35°　　　D．50°
【答案】C
5．在一副直角三角尺中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝45°，现将直角顶点按如图所示的方式叠放，点E在直线AC的上方，且0°＜∠ACE＜180°，要使三角形ADC有一条边与EB平行，则∠ACE的度数不可能为(　C　)
A．45°　　B．135°　　C．75°　　D．165°
【答案】C
6．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图中所有平行的直线有(　B　)
A．AB∥CD∥EF B．AB∥CD∥EF，BC∥DE
C．AB∥EF D．CD∥EF
【答案】B
7．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是(　C　)
A．如图①，展开后测得∠1＝∠2 B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图③，测得∠1＝∠2 D．如图④，测得∠1＝∠2
【答案】C
8．如图，直线AB，CD被直线DE所截，∠1＝100°，当∠2＝_______°时，AB∥CD.
【答案】80
9．将一块三角尺ABC(∠BAC＝90°，∠ABC＝30°)按如图所示放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠2＝2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ACB＝∠1＋∠2；⑤∠ABC＝∠2－∠1.能判定直线m∥n的有_______．(填序号)
【答案】①⑤
10．如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，点B，C，E在同一直线上．
(1)∠DAB＋∠B等于多少度？
(2)若∠B＝∠D，AB与CD平行吗？说明理由．
解：(1)∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.
∴∠DAB＋∠B＝∠1＋∠BAC＋
∠B＝30°＋90°＋60°＝180°.
(2)AB∥CD.理由如下：
由(1)，得∠DAB＋∠B＝180°.
又∵∠B＝∠D，∴∠DAB＋∠D＝180°.
∴AB∥CD.
11．如图，三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD，CE交于点O，F，G分别是AC，BC延长线上一点，且∠EOD＋∠OBF＝180°，∠DBC＝∠G，指出图中所有平行线，并说明理由．
解：EC∥BF，DG∥BF，DG∥EC.
理由：∵∠EOD＋∠OBF＝180°，
又∠EOD＋∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝∠OBF.∴EC∥BF.
∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB.
又∵∠DBC＝∠G，∴∠G＝∠ECB.∴DG∥EC.
又∵EC∥BF，DG∥EC，∴DG∥BF.
12．数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角尺画平行线．
(1)嘉嘉是这样做的：如图①，先画一条直线MN，之后摆放三角尺，得到AB∥CD.依据是__________________________________________；
【答案】同位角相等，两直线平行(或同旁内角互补，两直线平行)
(2)淇淇按如图②所示的方式摆放三角尺，也得到AB∥CD.依据是______________________；
【答案】内错角相等，两直线平行
(3)李老师将一副直角三角尺(∠E＝45°，∠C＝30°)按如图③所示的方式放置，若∠DAC＝15°，则可得到AE∥BC.请说明理由．
解：(3)∵∠DAC＝15°，∠EAD＝45°，
∴∠EAC＝45°－15°＝30°.
又∵∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C.
∴AE∥BC.
【题型2】平行线的性质
13．如图，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2的度数是(　　)
A．105°　　B．115°　C．125°　　D．135°
【答案】B
14．如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是(　　)
A．120°　　B．30°　　C．60°　　D．150°
【答案】C
15．在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．75°
【答案】A
16．如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于(　　)
A．10°　　B．20°　　C．30°　　D．40°
【答案】B
17．如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M.若∠1＝55°，则∠2＝_________°.
【答案】35
18．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝34°，∠2＝85°，则∠3＝_________．
【答案】119°
19．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3＝_________．
【答案】90°
20．如图，a∥c，b∥d，∠1＝30°，求∠3的度数．
解：∵a∥c，∠1＝30°，
∴∠2＝∠1＝30°.
又∵b∥d，∴∠3＝∠2＝30°.
∴∠3的度数为30°.
21．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，∠BED＝25°，求∠D的度数．
解：∵AB∥CD，∠BED＝25°，
∴∠ABE＝∠BED＝25°，∠ABD＋∠D＝180°.
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝50°.
∴∠D＝180°－∠ABD＝180°－50°＝130°.
22．我们已经学过了对顶角、邻补角、同位角等，知道了它们的特征．现在若有两个角，它们的顶点不同，但这两个角的两边相互平行，我们就把满足这个条件的两个角称作“平行角”．如图①、图②、图③，已知AB∥CD，AD∥BC，因此∠ABC和∠ADC是“平行角”．
(1)如图①，试说明∠B＝∠D；
(2)如图②，延长DC到E，可知∠A和∠BCE也是“平行角”，判断它们的数量关系；
(3)如图③，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，请说明图中的∠1和∠2是“平行角”．
解：(1)∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠D＋∠A＝180°，∠B＋∠A＝180°.
∴∠B＝∠D.
(2)由(1)知，∠B＝∠D，同理可得，∠A＝∠BCD.
∵∠BCD＋∠BCE＝180°，∴∠A＋∠BCE＝180°.
(3)由(1)知，∠ABC＝∠ADC.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC.
∴∠1＝∠2.又∵AB∥DC，∴∠2＝∠BFC.
∴∠1＝∠BFC.∴DE∥BF.
∴∠1和∠2是“平行角”．
【题型3】平行线的性质与判定综合
23．如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为(　　)
A．75°　　B．105° C．115°　　D．130°
【答案】B
24．如图，在四边形ABCD中，若∠ABC＋∠C＝180°，则下列结论正确的是(　　)
A．∠1＝∠2　　B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3　　D．∠2＝∠4
【答案】D
25．如图所示，下列判断中错误的是(　　)
A．因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD
B．因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180°
C．因为∠1＝∠2，所以AD∥BC
D．因为AD∥BC，所以∠3＝∠4
【答案】D
26．如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，则∠3＝(　　)
A．36°　　B．52°　　C．72°　　D．80°
【答案】C
27．如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需添加条件(　　)
A．∠1＝∠2　　B．∠2＝∠AFD C．∠1＝∠AFD　　D．∠1＝∠DFE
【答案】D
28．如图，∠1＋∠2＝180°，∠4＝70°，则∠3＝_________．
【答案】110°
29．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB，E为BC上一点，且EF⊥AB，连接DE，若EF平分∠BED，∠BEF＝∠ACD，∠CDE＝42°，则∠A的度数为_________．
【答案】48°
30．如图，在三角形ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C.
(1)试说明∠BDF＝∠A；
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出三角形ABC的形状．
解：(1)∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED.
∵∠EDF＝∠C，
∴∠AED＝∠EDF.
∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A.
(2)三角形ABC是等腰直角三角形．理由如下：
∵∠A＝45°，∴∠BDF＝45°.
∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°.
∵DE∥BC，∴∠B＝90°.
易知∠A＝∠C＝45°，
∴三角形ABC是等腰直角三角形．
31．如图，点D，F在线段BC上，点E在线段AB上，点G在线段AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°.
(1)试说明EH∥AD；
(2)若∠DGC＝60°，且∠H－∠4＝4°，求∠H的度数.
解：(1)∵∠1＝∠B，∴AB∥GD.
∴∠2＝∠BAD.
又∵∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAD＋∠3＝180°.
∴EH∥AD.
(2)由(1)，得AB∥GD，
∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC.
∵∠DGC＝60°，∴∠BAC＝60°.
∵EH∥AD，∴∠2＝∠H.
∴∠H＝∠BAD.
∴∠BAC＝∠BAD＋∠4＝∠H＋∠4＝60°.
∵∠H－∠4＝4°，∴∠H＝32°.
【题型4】命题与定理
32．下列选项正确的是(　　)
A．命题“同旁内角互补”是真命题
B．“作线段AC”这句话是命题
C．“对顶角相等”是定义
D．说明命题“若x＞y，则a2x＞a2y”是假命题，只能举反例a＝0
【答案】D
33．下列命题中，真命题的个数有(　　)
①同位角相等；
②垂线段最短；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个
【答案】B
34．探究：如图①②，∠ABC与∠EDF，BC与ED交于点H，这两个角的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥DF.
(1)分别猜想图①、图②中∠ABC与∠EDF的大小关系，并给予证明；
解：(1)关系是：图①：∠B＝∠D，图②：∠B＋∠D＝180°.
证明：如图①，∵AB∥DE，∴∠B＝∠EHC.
∵BC∥DF，∴∠D＝∠EHC.∴∠B＝∠D.
如图②，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DHC.
∵BC∥DF，∴∠D＋∠DHC＝180°.
∴∠B＋∠D＝180°.
(2)如果本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……那么……”的形式．
解：(2)命题：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．
【题型5】利用平移的性质作图
35．如图，平移线段AB，使端点A到点C的位置，作出线段AB平移后的图形．
作法1：连接AC，过点B作线段BD，使BD满足___________和____________，连接CD，则CD即为所求的图形；
【答案】BD∥AC BD＝AC
作法2：连接AC，过点C作直线CE____AB，在射线CE上截取CD____AB，则CD即为所求的图形．
【答案】∥ =
请选择上述方法中的一种，在图中画出线段CD.
解：选择作法1，如图所示
36．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹)．
(1)画出三角形A′B′C′；
解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求．
(2)连接AA′，CC′，那么AA′与CC′的关系是_________；
(3)三角形ABC的面积是_________．
解：(2)平行且相等
(3)提示：三角形ABC的面积为5×5－×4×1－×4×1－1－×5×5＝7.5.
故答案为7.5.
37．如图，网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度得到三角形A1B1C1.
(1)画出三角形A1B1C1；
(2)连接AA1，BB1，AB1，∠A1AB1＝α，则∠AB1B的度数为____(用含α的式子表示)；
(3)试求三角形AB1C的面积．
解：(1)如图所示
(2)α
(3)如图，连接CB1，三角形AB1C的面积＝3×4－×2×3－×2×2－×4×1＝5
【题型6】利用平移的性质计算
38．如图，将三角形ABC沿AB方向平移后，到达三角形BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
39．如图，通过平移就能到达阴影部分位置的图形共有_____块(注意：阴影部分本身除外)(　　)
A．6　　　B．5　　　C．4　　　D．3
【答案】D
40．如图，已知∠3＝35°，∠2＝140°，直线b平移后得到直线a，则∠1的度数为(　　)
A．75°　　B．70°　　C．65°　　D．60°
【答案】A
41．如图，将三角形DEF沿FE方向平移3 cm得到三角形ABC，若三角形DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为________cm.
【答案】30
42．(1)如图①是将线段AB向右平移1个单位长度，如图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形；
(2)若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中去掉阴影部分后剩余部分的面积；
(3)如图④，在宽为10 m，长为40 m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，
小路宽为1 m，求这块菜地的面积．
解：(1)画图略　(2)三个图形中剩余部分的面积均为ab－b　(3)390 m2
43．如图①，将三角形ABD平移，使点D沿BD的延长线移至点C，得到三角形A′B′D′，A′B′交AC于点E，AD平分∠BAC.
(1)猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并写出理由；
(2)将三角形ABD平移至如图②所示，得到三角形A′B′D′，请问：A′D′平分∠B′A′C吗？为什么？
解：(1)∠B′EC＝2∠A′.理由如下：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD.
由平移的性质，得∠BAD＝∠A′，AB∥A′B′，
∴∠B′EC＝∠BAC＝2∠BAD＝2∠A′.
(2)A′D′平分∠B′A′C.理由如下：
由平移的性质，得∠B′A′D′＝∠BAD，AB∥A′B′，
∴∠BAC＝∠B′A′C.
∵∠BAC＝2∠BAD，∴∠BAD＝∠BAC.
∴∠B′A′D′＝∠B′A′C.∴A′D′平分∠B′A′C.
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