人教版七年级数学下册 10.3 实际问题与二元一次方程组（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册 10.3 实际问题与二元一次方程组（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 449.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-09 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
10.3《实际问题与二元一次方程组》
一、单选题
1．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（ ）
A．50元、60元 B．44元、54元
C．40元、50元 D．45元、55元
2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚，问兽、鸟分别有多少？设兽有x个，鸟有y只，则根据条件所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（）
A． B． C． D．
4．医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克原料中蛋白质和铁质的含量如下表．
原料类别 每克原料中蛋白质和铁质的含量
蛋白质 铁质
甲原料 单位 1单位
乙原料 单位 单位
如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？设每餐用甲种原料x克、乙种原料y克，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁．
6．某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．设名工人生产螺栓，名工人生产螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，可列方程组为 ．
7．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）．
8．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ．
三、解答题
9．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数．
10．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？
11．今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）
题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？
12．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问：
(1)甲、乙两队每天费用各为多少？
(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
13．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．
(1)每个小长方形的长和宽分别是多少？
(2)图（）正方形的边长是多少？
14．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘．
(1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？
(2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）．
15．综合与实践
某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠
方案二 购买玩偶满50个时，立减10元
(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？
(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？
(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．
16．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况．
大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元）
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
(1)求大小两款无人机的单次运输价格；
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
(3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元．
①求和的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
参考答案
一、单选题
1．C
解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，
由题意得：
解得：
故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元．
故选：C．
2．A
解：设兽有个，鸟有只，
由题意得：，
故选：A．
3．A
解：设小长方形卡片的长为，宽为．
由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长，
即．
左边阴影部分：长为，宽为，其周长为．
右边阴影部分：长为，宽为，其周长为．
将两块阴影部分的周长相加并化简：
故选A
4．A
解：∵甲原料每克含蛋白质单位，乙原料每克含蛋白质单位，患者需要蛋白质35单位，
∴，
∵甲原料每克含铁质1单位，乙原料每克含铁质单位，患者需要铁质40单位，
∴ ，
∴方程组为，
故选A．
二、填空题
5．
解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁．
依题意得：
解得
故爷爷现在的年龄是65岁．
故答案为：．
6．
解：设名工人生产螺栓，名工人生产螺母，
由题意可得：．
故答案为：．
7．
解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，
∴，
∴两式相加，得，
∴，
故答案为：．
8．0
解：由题意得：，
．
故答案为：0．
三、解答题
9．解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为．
根据题意，得
解得
故这个两位数是．
10．解：设小华家到学校的上坡路长，平路长，
根据等量关系，得：，
解得，
于是，上坡路与平路的长度之和为，
答：小华家离学校．
11．解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤，
根据题意得：，解得，
即1只雀重斤，1只燕重斤．
12．（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得：
，
解得，
答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；
（2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得：
，
解得，
即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成．
甲单独做需要元，
乙单独做需要元．
答：乙队单独完成费用较少．
13．（1）解：设每个长方形的长为，宽为，
由题意得，，
解得，
答：每个小长方形的长为，宽为；
（2）解：∵，
∴图（）正方形的边长为．
14．（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，
由题意可得：，
解得：，
∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨；
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵、均为正整数，
∴或或，
故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车．
15．（1）解：（元）．
答：一共花费180元．
（2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
根据题意得，
解得；
答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
（3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个，
根据题意得，
．
，均为正整数，且，，
或或，
∴共有以下3种购买方案：
方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个．
方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个．
方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．
16．（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元．
根据题意，得：
得：，解得．
把代入①，得，解得．
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元．
（2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）．
大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）．
因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）．
小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元．
；
答：小无人机的优惠折扣为九折．
（3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元．
在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为．
∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元，
∴，则，
化简得：，即 ，
∴．
② 由①知，这两天总营收为．
打折前小无人机单次运输价格为120元，
∵总营收是120的整数倍，即为整数，，，
∴ 为整数，
又∵ 157 是质数，
∴a是40的倍数，a的最小值为40．
则总营收的最小值为元．
答：这两天总营收的最小值为18840元．
一、单选题
1．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（ ）
A．50元、60元 B．44元、54元
C．40元、50元 D．45元、55元
2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚，问兽、鸟分别有多少？设兽有x个，鸟有y只，则根据条件所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（）
A． B． C． D．
4．医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克原料中蛋白质和铁质的含量如下表．
原料类别 每克原料中蛋白质和铁质的含量
蛋白质 铁质
甲原料 单位 1单位
乙原料 单位 单位
如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？设每餐用甲种原料x克、乙种原料y克，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是 岁．
6．某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓和两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个．设名工人生产螺栓，名工人生产螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，可列方程组为 ．
7．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）．
8．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，在三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 ．
三、解答题
9．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数．
10．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？
11．今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）
题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？
12．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问：
(1)甲、乙两队每天费用各为多少？
(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
13．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．
(1)每个小长方形的长和宽分别是多少？
(2)图（）正方形的边长是多少？
14．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘．
(1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？
(2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）．
15．综合与实践
某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠
方案二 购买玩偶满50个时，立减10元
(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？
(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？
(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．
16．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况．
大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元）
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
(1)求大小两款无人机的单次运输价格；
(2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
(3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元．
①求和的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
参考答案
一、单选题
1．C
解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，
由题意得：
解得：
故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元．
故选：C．
2．A
解：设兽有个，鸟有只，
由题意得：，
故选：A．
3．A
解：设小长方形卡片的长为，宽为．
由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长，
即．
左边阴影部分：长为，宽为，其周长为．
右边阴影部分：长为，宽为，其周长为．
将两块阴影部分的周长相加并化简：
故选A
4．A
解：∵甲原料每克含蛋白质单位，乙原料每克含蛋白质单位，患者需要蛋白质35单位，
∴，
∵甲原料每克含铁质1单位，乙原料每克含铁质单位，患者需要铁质40单位，
∴ ，
∴方程组为，
故选A．
二、填空题
5．
解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁．
依题意得：
解得
故爷爷现在的年龄是65岁．
故答案为：．
6．
解：设名工人生产螺栓，名工人生产螺母，
由题意可得：．
故答案为：．
7．
解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，
∴，
∴两式相加，得，
∴，
故答案为：．
8．0
解：由题意得：，
．
故答案为：0．
三、解答题
9．解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为．
根据题意，得
解得
故这个两位数是．
10．解：设小华家到学校的上坡路长，平路长，
根据等量关系，得：，
解得，
于是，上坡路与平路的长度之和为，
答：小华家离学校．
11．解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤，
根据题意得：，解得，
即1只雀重斤，1只燕重斤．
12．（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得：
，
解得，
答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元；
（2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得：
，
解得，
即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成．
甲单独做需要元，
乙单独做需要元．
答：乙队单独完成费用较少．
13．（1）解：设每个长方形的长为，宽为，
由题意得，，
解得，
答：每个小长方形的长为，宽为；
（2）解：∵，
∴图（）正方形的边长为．
14．（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，
由题意可得：，
解得：，
∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨；
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵、均为正整数，
∴或或，
故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车．
15．（1）解：（元）．
答：一共花费180元．
（2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
根据题意得，
解得；
答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个．
（3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个，
根据题意得，
．
，均为正整数，且，，
或或，
∴共有以下3种购买方案：
方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个．
方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个．
方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．
16．（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元．
根据题意，得：
得：，解得．
把代入①，得，解得．
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元．
（2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）．
大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）．
因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）．
小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元．
；
答：小无人机的优惠折扣为九折．
（3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元．
在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为．
∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元，
∴，则，
化简得：，即 ，
∴．
② 由①知，这两天总营收为．
打折前小无人机单次运输价格为120元，
∵总营收是120的整数倍，即为整数，，，
∴ 为整数，
又∵ 157 是质数，
∴a是40的倍数，a的最小值为40．
则总营收的最小值为元．
答：这两天总营收的最小值为18840元．
同课章节目录