高一数学必修二7.2《复数的四则运算》课时同步练习（含答案）

高一数学必修二7.2《复数的四则运算》课时同步练习
一、单选题：
1．若复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（ ）
A． B．6 C．－6 D．
3．若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，复数对应向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数z满足为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：
①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；
②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；
则下列说法正确的是（ ）
A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题
C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题
二、多选题：
9．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点可能是
B．
C．的实部与虚部之积小于等于3
D．复数，则的最大值为
11．设复数，，满足，若，则（ ）
A．的最小值为4
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的最大值为
12．1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（ ）
A．集合的元素按乘法得到一个八元集合
B．若非零元，则有：
C．若，则有：
D．若非零元，则有：
三、填空题：
13．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 .
14．设是虚数单位，则复数的共轭复数 .
15．计算 .
16．已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为 .
四、解答题：
17．设关于的方程是．
(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；
(2)证明：对任意，方程无纯虚数根．
18．已知是虚数单位，设，．
(1)已知，且，求的值；
(2)求证：．
19．O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角（若，按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积.
(1)若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数；
(2)若复数对应的点为C，是等边三角形；
（ⅰ）求；
（ⅱ）若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值.
20．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”.
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：；
(3)已知，求.
参考答案
1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．A
9．CD 10．ACD 11．AC 12．ACD
13．3
14．
15．
16．
17．(1)； (2)证明略
【详解】（1）原方程可化为，方程有实数根，设为，
∴. 又θ是锐角，故．
（2）假设方程有纯虚数根，可设根为，，，则化为， 即，可得，
因为，所以方程无实根.
故假设不成立，所以方程无纯虚数根．
18．(1)或 (2)证明略
【详解】（1）设，若，则，
故，即，，即；
若，则，故，
即，，即；综上所述，或；
（2）设，若，则，，
则，，故；
若，则，，，
，故；故恒成立，即得证.
19．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）
【详解】（1）由题意得，
所以对应的复数为；
（2）（i）因为是等边三角形，所以不妨设①，
所以；
①，所以；
所以；
（ii）如图所示，的顶点不可能是正方形的顶点，否则与是等边三角形矛盾， 不妨设， 所以，
由图可知，
等号成立当且仅当，即当且仅，
所以面积为，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为.
20．(1) (2)证明略 (3)
【详解】（1）因为，由于为纯虚数，得，所以；
（2）由于，得：
所以；
（3）由得：，
所以.