第一章 1.1 1.1.1
一、选择题
1．下列语句中命题的个数为( )
①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；
④5的平方是20.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．
2．若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数( )
A．不是命题
B．是真命题
C．是假命题
D．是命题，但真假与x的取值有关
[答案] B
[解析] 当a>1时，指数函数f(x)＝ax是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝ax是增函数”是真命题．
3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β
B．α∥β，m?α，n?β?m∥n
C．m⊥α，m⊥n?n∥α
D．n∥m，n⊥α?m⊥α
[答案] D
[解析] 验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n?α.
4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] B
[解析] ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.
5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A. a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[答案] B
[解析] A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)
6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
[答案] C
[解析] 该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．
二、填空题
7．(1)三角形的三个内角的和等于180°.
(2)今年运动会我们班还能得第一吗？
(3)2012年奥运会的举办城市是英国伦敦．
(4)这是一棵大树呀！
(5)实数的平方是正数．
(6)能被4整除的数一定能被2整除．
上述语句中是命题的序号是________．
[答案] (1)(3)(5)(6)
[解析] (2)是疑问句不是命题；(4)是感叹句不是命题，(1)(3)(5)(6)是命题．
8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是________．
[答案] 0
[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；
∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；
∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；
∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c不一定共面，∴命题④不正确．
综上所述，真命题的个数为0.
三、解答题
9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假.
(1)末位是0的整数能被5整除；
(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；
(3)余弦函数是周期函数吗？
(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．
[解析] (1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假.
(1)对角线相等的四棱柱是长方体；
(2)整数的平方是非负整数；
(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．
[解析] (1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．
(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．
(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题.
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
[答案] A
[解析] “红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.
2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②如果α∥β，c?α，则c∥β；
③如果α∩β＝c，β∩γ＝m，γ∩α＝n，c∥γ，则m∥n.
其中真命题个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c?α，∴c与β无公共点，∴c∥β，故②正确；由c∥γ，c?β，β∩γ＝m得c∥m，同理可得c∥n，∴m∥n，故③正确．
3．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则△ABC为锐角三角形
[答案] B
[解析] y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；
当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；
当·>0时，向量与的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．
4．(2015·潍坊高二检测)“若x2－2x－8<0，则p”为真命题，那么p是( )
A．{x|－2C．{x|x>4或x<－2} D．{x|x>4或x<2}
[答案] A
[解析] x2－2x－8<0解得－2二、填空题
5．给出下列四个命题：
①若a>b>0，则>；
②若a>b>0，则a－>b－；
③若a>b>0，则>；
④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为9.
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
[答案] ②④
[解析] ①在a>b>0两端同乘以可得>，故①错；
②由于－＝(a－b)>0，
故②正确；
③由于－＝<0，即<，
故③错；
④由＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时取得等号，故④正确．
6．(2015·济宁高二检测)命题：若a>0，则二元一次不等
式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)，条件p：________，结论q：______________________________，是________命题．(填“真”或“假”)
[答案] a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界) 真
三、解答题
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式.
(1)ac>bc?a>b；
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(3)方程x2－2x－3＝0的解为x＝3或x＝－1.
[解析] (1)若ac>bc，则a>b.
(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1.
8．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0[解析] 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0.
解得x≤－1或x≥3.
故命题p：x≤－1或x≥3.
又命题q：0则，
所以x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
