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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.3 垂径定理
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图， 为的直径，， 交于点E， 若，， 则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（本题3分）如图，是的弦，半径于点D，若，则半径的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
4．（本题3分）下列说法不正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④
5．（本题3分）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦
7．（本题3分）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧 B．弦是直径 C．长度相等的两条弧是等弧 D．平分弦的直径垂直这条弦
8．（本题3分）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ）
A． B． C．cm D．
9．（本题3分）如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4.2
10．（本题3分）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，为的弦，，延长与相交于点，若，则的半径为 ．
12．（本题3分）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是 ．
13．（本题3分）如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为 ．
14．（本题3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是 ．
15．（本题3分）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接．
(1)若，求的长；
(2)若，求的度数．
17．（本题7分）如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长．
18．（本题8分）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．
(1)求证：直线；
(2)求证：．
19．（本题8分）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
20．（本题8分）如图，在中，弦垂直平分半径．
(1)求的度数；
(2)若的半径为，求弦的长．
21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为．
(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______．
(2)的半径为______．
(3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______．
22．（本题9分）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点．
(1)如图①，若，求的大小；
(2)如图②，若，，求弦的长．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.3 垂径定理
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图， 为的直径，， 交于点E， 若，， 则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
解：如图，连接，
∵是的直径，，
∴半径为2，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选： C．
2．（本题3分）如图，是的弦，半径于点D，若，则半径的长是（ ）
A． B． C． D．
解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴；
故选C．
3．（本题3分）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时，
过点作，垂足为，延长交于点，连接，，
则，．
在中，．
在中，．
故EF．
如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时，
过点作，垂足为，延长交于点，连接，，
则，．
在中，．
在中，．
故．
综上，，之间的距离为或，
故选：D．
4．（本题3分）下列说法不正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④
解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误；
∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误；
∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确；
∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确．
∴ 不正确的是①②，
故选C
5．（本题3分）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
解：A：，，
∴，正确，故该选项不合题意；
B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意；
C：由及可知，垂直平分，
∴，
D：，，
∴平分，
∴，正确，故该选项不合题意．
故选：B ．
6．（本题3分）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦
解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误；
C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误；
D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误．
故选：A．
7．（本题3分）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧 B．弦是直径 C．长度相等的两条弧是等弧 D．平分弦的直径垂直这条弦
解：A：∵半圆是圆上一条直径的两个端点分成的弧，∴半圆是弧，正确，符合题意；
B：∵弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦，∴弦不一定是直径，错误，不符合题意；
C：∵等弧需在同圆或等圆中长度相等，∴仅长度相等不一定等弧，错误，不符合题意；
D：∵垂径定理要求平分弦（非直径）的直径才垂直弦，∴若弦是直径，则不一定垂直，错误，不符合题意；
故选：A．
8．（本题3分）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ）
A． B． C．cm D．
解：如图，过点作于点，交于点，连接，
∴，，
∵半径为，瓶内液体最大深度为，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
9．（本题3分）如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4.2
解：如图所示：
，为的直径，
，，
则，
在中，，则由勾股定理可得，
四边形为菱形，
，
则，
故选：B．
10．（本题3分）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
解：设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，
是弦的垂直平分线，
∴圆心在直线上，．
是弦的垂直平分线，，
，，
设圆形工件的半径为，
则．
，
．
在中，由勾股定理得，
代入得，
解得：，
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，为的弦，，延长与相交于点，若，则的半径为 ．
解：连接，设，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，即的半径为5．
故答案为：5．
12．（本题3分）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是 ．
解：如图，作于点，连接、，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
13．（本题3分）如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为 ．
解：∵，，∴，
∵，，∴，
∵，
∴在中，，
故答案为：
14．（本题3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是 ．
解：如图，作交于点C，交弦于点D，
∴，
在中，，
即，解得，
∴，
∴上的点到弦的距离的最大值是．
故答案为：5．
15．（本题3分）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ．
解：如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接．
(1)若，求的长；
(2)若，求的度数．
（1）解：∵，
∴，，
∴，
∵点E为的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴．
17．（本题7分）如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长．
解：，且过的圆心；．
的直径是．，
，，
18．（本题8分）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．
(1)求证：直线；
(2)求证：．
（1）证明：如图，连接，
过点，为的中点，
．
（2）证明：延长交于．
，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
19．（本题8分）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
（1）证明：如图：作于E，
由垂径定理，得：
即；
（2）解：如图，连接，
，
，
在和中，由勾股定理，得：
，
，
即，
解得：
大圆的半径为．
20．（本题8分）如图，在中，弦垂直平分半径．
(1)求的度数；
(2)若的半径为，求弦的长．
（1）解：弦垂直平分半径．
，，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：的半径为，
垂直平分半径，
，，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
弦的长为．
21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C，其中点B坐标为．
(1)请写出该圆弧所在的圆的圆心D的坐标______．
(2)的半径为______．
(3)点在______（填“上”、“内”或“外”）；______．
（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示，
则圆心D的坐标为；
故答案为：；
（2）解：由平面直角坐标系得，
的半径为；
故答案为：；
（3）解：∵点到圆心的距离为，
点在圆D外；
连接，，，由平面直角坐标系得，，
，
圆D的半径为，
，
，
是直角三角形，
故答案为：外；
22．（本题9分）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点．
(1)如图①，若，求的大小；
(2)如图②，若，，求弦的长．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
过点O作于点F，则，
∵，，
∴，
∴，
∴．
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