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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.4 圆周角和圆心角的关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（ ）
A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等
B．顶点在圆周上的角叫做圆周角
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等
D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
3．（本题3分）如图，点，，在上，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，△ABC内接于，点是弧的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，为的直径，点、在上，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．六边形的内角和是540°
7．（本题3分）如图，是的直径，点C、D、E在上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，将的内接△ABC绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，已知四边形内接于，，点在边的延长线上，则的度数为 ．
12．（本题3分）如图，是的直径，点、在上．若，则 ．
13．（本题3分）如图，四边形内接于，若，则为 ．
14．（本题3分）如图在中，弦，相交于点P．若，，则的度数为 ．
15．（本题3分）经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在中，，．求证：
(1)；
(2)．
17．（本题7分）如图，△ABC分别交于点A，B，D，E，且求证：
18．（本题8分）如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，．
(1)证明：；
(2)当，时，求的半径．
19．（本题8分）如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且．
(1)证明：；
(2)若的半径为2，，求的长．
20．（本题8分）如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
21．（本题9分）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，．
(1)计算：__________；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
22．（本题9分）如图，是△ABC的外角的平分线，与的外接圆交于点D，．
(1)求的度数；
(2)连接，，求证：；
(3)探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.4 圆周角和圆心角的关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：，
，
，
，，
弧的度数为，故选：．
2．（本题3分）下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（ ）
A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等
B．顶点在圆周上的角叫做圆周角
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等
D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意；
、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意；
、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意；
、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意；
故选：．
3．（本题3分）如图，点，，在上，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意得：．
故选：D．
4．（本题3分）如图，△ABC内接于，点是弧的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
5．（本题3分）如图，为的直径，点、在上，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．六边形的内角和是540°
解: 选项A：对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形，还需要对角线平分的条件，故选项A是假命题；
选项B：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形（旋转180°不重合），故选项B是假命题；
选项C：根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，故选项C为真命题；
选项D：六边形内角和为，故选项D为假命题，
故选：C．
7．（本题3分）如图，是的直径，点C、D、E在上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示，连接，
∵点都在上，
∴，
∵，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
8．（本题3分）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
解：连接，设的半径为，
则，，
，，
，
是的中点，
，
，
在中，，
解得，
即的半径为，
故选：C．
9．（本题3分）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：连接，设与交于点，
∵直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．（本题3分）如图，将的内接△ABC绕点顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则为（ ）
A． B． C． D．
解：连接，
∵△ABC绕点顺时针旋转得到，
∴，
，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
，
∴，
∵四边形是的内接四边形
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，已知四边形内接于，，点在边的延长线上，则的度数为 ．
解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵点在边的延长线上，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（本题3分）如图，是的直径，点、在上．若，则 ．
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．（本题3分）如图，四边形内接于，若，则为 ．
解：四边形内接于，，
，
，
故选：A．
14．（本题3分）如图在中，弦，相交于点P．若，，则的度数为 ．
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．（本题3分）经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为 ．
解：如图，连接，
∵，
∴是的直径，
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，在中，，．求证：
(1)；
(2)．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
17．（本题7分）如图，△ABC分别交于点A，B，D，E，且求证：
证明：∵，
，
18．（本题8分）如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，．
(1)证明：；
(2)当，时，求的半径．
（1）解：在中，是直径，是弦，
（2）解：由(1)可知
连接，
设半径r，则
在中，
，
解得
19．（本题8分）如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且．
(1)证明：；
(2)若的半径为2，，求的长．
（1）证明：，，
．
又，
．
．
．
（2）解：的半径为2，
．
由（1）可得，
又，
．
或．
，
．
20．（本题8分）如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
（1）证明：∵，是直径，
，
∴；
（2）解：设半径为r， 则，
∵，是直径，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即半径为5．
21．（本题9分）如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，．
(1)计算：__________；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
（1）解：
故答案为：30
（2）证明：连接
所对的圆心角是，
又
而
（3）解：过点作于点，连接
在中，，
是直径
在中，，
在中，，
在中，，
22．（本题9分）如图，是△ABC的外角的平分线，与的外接圆交于点D，．
(1)求的度数；
(2)连接，，求证：；
(3)探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
（1）解：如图，连接，．
，
，
，
即的度数为．
（2）证明：是△ABC的外角的平分线，
，
，
结合（1）知，
是等边三角形，
．
（3）解：，证明如下：
如图，延长至点F，使，连接，
∵四边形是的内接四边形，
．
，
．
由（2）知是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形，
．
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