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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.5 确定圆的条件
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角
2．（本题3分）已知，则过点，，且半径为的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．（本题3分）如图，在直角三角形中，，点D在△ABC外接圆上，且平分，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．随点C的位置变化而变化
4．（本题3分）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（本题3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
6．（本题3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（本题3分）在中，，，，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．10 B．5 C．6 D．4
8．（本题3分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆
10．（本题3分）已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（ ）
A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）下列命题是真命题的有 （填序号）．
①经过平面内任意三个点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆内接四边形的对角互补．
12．（本题3分）如图外接圆的圆心坐标是 ．
13．（本题3分）若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ．
14．（本题3分）点为△ABC的外心，且，则的度数为 ．
15．（本题3分）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若．
（1）圆心P的坐标为 ；
（2）点C的纵坐标为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）设，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形．
(2)到点A和点B的距离都小于的所有点组成的图形．
17．（本题7分）在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中，点，，均在格点上．
(1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心；
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长．
18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为，，．
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标；
(2)结合图形，请写出外接圆坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留）．
19．（本题8分）是△ABC的外接圆，P是上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线；
(2)结合图②，说明你这样画的理由．
20．（本题8分）如图，在的方格纸中，已知△ABC是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图．
(1)在图1中标出△ABC外接圆的圆心O．
(2)在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段．
21．（本题9分）如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点，，，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标；
(3)试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由．
22．（本题9分）已知和，．
(1)求证：A，B，D，C四点在同一个圆上．
(2)请用无刻度的直尺和圆规画出上述圆，并标出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如果，E是上述圆上任意一点，请直接写出的度数．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.5 确定圆的条件
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径所对的圆周角是直角
解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
D、直径所对的圆周角是直角，原说法正确，符合题意；
故选：D．
2．（本题3分）已知，则过点，，且半径为的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
解：∵半径为的圆的直径为，
∴过点，，且半径为的圆没有
故选：A．
3．（本题3分）如图，在直角三角形中，，点D在△ABC外接圆上，且平分，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．随点C的位置变化而变化
解：∵，平分，∴，
∵点D在△ABC外接圆上，∴；故选B．
4．（本题3分）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
③等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
④三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，不符合题意；
⑤优弧不一定大于劣弧，故原命题错误，不符合题意．
正确的有1个，
故选：A．
5．（本题3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示：
则△ABC的外心是点．
故选：A．
6．（本题3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
解：如图，圆心M的坐标，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：C．
7．（本题3分）在中，，，，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．10 B．5 C．6 D．4
解：∵，，，
∴，
又∵是外接圆的直径，
∴外接圆的半径．
故选：B．
8．（本题3分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可．
故选：A．
9．（本题3分）下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆
解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，A错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误；
等弧是指在同圆或等圆中长度相等的弧，则等弧所对的弦相等，C正确；
不在同一直线上的三点确定一个圆，D错误；
故选：C．
10．（本题3分）已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（ ）
A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个
解：设中点为M，则．
∵圆心O在的垂直平分线上，且，
∴在中，，
∴，
∵，
∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆．
故选：B．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）下列命题是真命题的有 （填序号）．
①经过平面内任意三个点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆内接四边形的对角互补．
解：经过平面内任意三个点不一定能确定一个圆，当三点共线时无法确定圆，故错误；
平分弦的直径垂直于弦的前提是弦不是直径，否则不一定成立，故错误；
相等的圆心角所对的弧相等必须在同圆或等圆中，否则不成立，故错误；
圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的性质，故正确．
故答案为：．
12．（本题3分）如图外接圆的圆心坐标是 ．
解：如图，点即为△ABC外接圆的圆心坐标
故答案为：．
13．（本题3分）若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ．
解：直角三角形的两直角边长分别为和，
斜边长，
外接圆半径．
故答案为：
14．（本题3分）点为△ABC的外心，且，则的度数为 ．
解：如图所示：
∵点为△ABC的外心，，
∴，，
故的度数为：或．
故答案为：或．
15．（本题3分）如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若．
（1）圆心P的坐标为 ；
（2）点C的纵坐标为 ．
解：（1）连接，，，过点作于，于，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
∴圆心P的坐标为．
故答案为：；
（2）∵，
，
，
点的纵坐标为，
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）设，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于的所有点组成的图形．
(2)到点A和点B的距离都小于的所有点组成的图形．
（1）解：作图如下：
∵到点B的距离等于的点组成的图形是以B为圆心、以长为半径的圆，
到点A的距离等于的点组成的图形是以A为圆心、以长为半径的圆，
∴到点B和点A的距离都等于的所有点组成的图形为和的交点，即点D和点C；
（2）解：作图如下：
到点B和点A的距离都小于的所有点组成的图形为和的公共部分（不包括公共部分的两条弧），即图中的阴影部分．
17．（本题7分）在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中，点，，均在格点上．
(1)用直尺作出△ABC的外接圆圆心；
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长．
（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
18．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为，，．
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标；
(2)结合图形，请写出外接圆坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留）．
解:（1）
如图，即为所求，，，；
（2）由图形可得，外接圆坐标为，
半径为：
则能够完全覆盖的最小圆面积
．
19．（本题8分）是△ABC的外接圆，P是上一点．
(1)请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中的平分线；
(2)结合图②，说明你这样画的理由．
（1）解：如图①，连接，即为所求角平分线；
∵，
∴，
∴平分；
如图②，连接并延长，与交于点D，连接，即为所求角平分线，
∵，点O为△ABC外接圆圆心，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）∵，点O为外接圆圆心，
∴，∴，
∴，
∴平分；
20．（本题8分）如图，在的方格纸中，已知△ABC是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图．
(1)在图1中标出△ABC外接圆的圆心O．
(2)在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段．
（1）解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作；
（2）解：如图，线段即为所求作：
21．（本题9分）如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点，，，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标；
(3)试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由．
（1）解：令，则，
解得：或，
∴点的坐标为，点的坐标为，
令，则，
∴点的坐标为.
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴其对称轴为直线，
连接，过作轴交于点，连接，如图所示，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
由抛物线的对称性质可知，
∴的最小值，
∴点即为所求作的点，
当时，，
∴；
（3）解：点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是，理由如下，
∵点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为，
∴，，，
∵，∴，∴是直角三角形，并且是直角三角形的斜边，∴点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是．
22．（本题9分）已知和，．
(1)求证：A，B，D，C四点在同一个圆上．
(2)请用无刻度的直尺和圆规画出上述圆，并标出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如果，E是上述圆上任意一点，请直接写出的度数．
（1）解：如图1，取的中点O，连接，
在和，
∵，O是的中点，∴，，
∴，∴A，B，D，C四点在同一个圆上；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）解：如图3，当点E在优弧上时，
∴；
当点在劣弧上时，
∴；
综上所述，的度数为或．
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