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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.6 直线与圆的位置关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知的半径为4，，为直线上一点，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
解：∵P为直线l上一点，，
∴圆心O到直线l的距离（垂线段最短），
∵的半径，
∴，
∴直线l与相交．
故选：A．
2．（本题3分）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：∵直线l与相离，
∴圆心到直线的距离半径，
已知，
∴．
观察选项中只有A．，满足条件．
故选：A．
3．（本题3分）已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
解：∵ 直线与没有公共点，
∴ 直线l与相离，
∴ 圆心O到直线l的距离半径r，
∵，
∴，
故选：D
4．（本题3分）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（ ）
A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
解:设圆与直线b交于A、B两点，
当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，OP=2t，PB=2t+1，PA=2t-1，
当PB=PH时即2t+1=4，t=1.5与直线a相切，
当PA=PH时即2t-1=4，t=2.5与直线a相切．
故选：D．
5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
解：连接，作于点，由垂径定理得：
，
在直角中，由勾股定理得：，
即，
，
的半径是2．
将向上平移，当与轴相切时，平移的距离；
将向下平移，当与轴相切时，平移的距离．
故选：D
6．（本题3分）在△ABC中，，，则度数不可能为（ ）
A． B． C． D．
解：因为，，
则如图所示，
点在以为圆心，为半径的圆上，，共线除外），
所以当点在过点且与相切的切点处时，取得最大值．
在中，
，
所以．
即，
所以的度数不可能是．
故选：D．
7．（本题3分）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．三点确定一个圆
B．同弦所对的圆周角相等
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直于半径的直线是圆的切线
解：A选项：三点确定一个圆，但三点必须不共线，否则不能确定圆，故A是假命题，不符合题意；
B选项：同弦所对的圆周角相等或互补，故B是假命题，不符合题意；
C选项：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C是真命题，符合题意；
D选项：垂直于半径的直线不一定经过切点，因此不一定是切线，故D是假命题，不符合题意．
故选：C．
8．（本题3分）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴，则，
∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，
∴是等腰三角形，无法确定，
∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意．
故选：D．
9．（本题3分）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
解：，
．
，
，
．
是的半径，
是的切线，即直线与的位置关系为相切．
故选：B．
10．（本题3分）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
解：是的切线，
，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
．
故选：B．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）有下面三个语句：
①是的半径；②；③直线切于点．
以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题： ．
解：∵是的半径，直线切于点，
∴；
即由①③得②
∵，直线切于点，
∴是的半径；
即由②③得①．
故答案为：由①③得②，或由②③得①．
12．（本题3分）已知，，的长分别是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 ．
解：∵和的长分别是一元二次方程的两根，
可得：，
解得或8，
不妨设，
∴，，
∵，
∴，
设圆O切于D，切于F，切于E，内切圆的半径为，连接、，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
由切线长定理得，，
∴，即，
∴，
∴的外接圆的半径为5，内切圆的半径为2，
故答案为：5；2．
13．（本题3分）如图，点为△ABC的内心，，则的度数是 ．
解：∵，
∴，
∵O是△ABC的内心，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（本题3分）△ABC的周长为，面积为，则△ABC内切圆半径为 ．
解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，
∴，
∵，
∴
∴，
∵△ABC的周长为，面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（本题3分）如图，在等边△ABC中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是 ，最小值是 ．
解：作的外接圆，连接，延长交于G，如图：
是等边三角形，且，
，，
由旋转的性质得：，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点F在的外接圆上，
①当取最大值时，为直径，此时F与G重合，
为等边三角形，，
，
，
的最大值为；
②D在左侧，连接，如图：
，
当时，最小，此时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即最小值为；
故答案为：，
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，中，为弦，半径，弦交于E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
（1）证明：∵半径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴．
17．（本题7分）如图，△ABC内接于，为直径，点为的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若的长为，求的长．
（1）证明：如图，连接，
点为的中点，
，
，
又为的半径，
为的切线；
（2）解：如图，过点作于，
则，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
18．（本题8分）如图，在等腰△ABC中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
19．（本题8分）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，根据勾股定理，得
，
解得，
所以的半径是7.5．
20．（本题8分）如图，已知点在△ABC的边上，，．
(1)尺规作图：求作，使得A，C，D三点在上（保留痕迹，不写作法）；
(2)判断直线和的位置关系并证明．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：与相切，证明如下：
连接，如图：
与相切．
21．（本题9分）如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，．
(1)若，求（用含的式子表示）；
(2)求证：是的切线；
(3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（3）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即．
22．（本题9分）已知反比例函数经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标；
(3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积．
（1）解：将点代入反比例函数中，得，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点为圆心，，，
，
的方程为，
联立，
将代入得
，即，
设，则，
解得或．
当时，，，
时
时．
当时，，，
时，
时．
除点外的其余交点的坐标为，，；
（3）由（2）可知，点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，代入中，得
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
直线与轴的交点坐标为，
．
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§3.6 直线与圆的位置关系
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知的半径为4，，为直线上一点，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．（本题3分）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（本题3分）已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（本题3分）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，以O为圆心1cm为半径作圆，当O从点P出发以2 cm/s速度向右作匀速运动，经过t s与直线相切，则t为（ ）
A．2s B．s或2s C．2s或s D．s或s
5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
6．（本题3分）在△ABC中，，，则度数不可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．三点确定一个圆
B．同弦所对的圆周角相等
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直于半径的直线是圆的切线
8．（本题3分）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，点A，B，D在上，，的延长线交直线于点，且，连接，则直线与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
10．（本题3分）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）有下面三个语句：
①是的半径；②；③直线切于点．
以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题： ．
12．（本题3分）已知，，的长分别是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径为 ，内切圆的半径为 ．
13．（本题3分）如图，点为△ABC的内心，，则的度数是 ．
14．（本题3分）△ABC的周长为，面积为，则△ABC内切圆半径为 ．
15．（本题3分）如图，在等边△ABC中，，D是平面内一点，线段绕点A逆时针旋转至AE，直线与交于点F，若，则的最大值是 ，最小值是 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，中，为弦，半径，弦交于E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．（本题7分）如图，△ABC内接于，为直径，点为的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若的长为，求的长．
18．（本题8分）如图，在等腰△ABC中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
19．（本题8分）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
20．（本题8分）如图，已知点在△ABC的边上，，．
(1)尺规作图：求作，使得A，C，D三点在上（保留痕迹，不写作法）；
(2)判断直线和的位置关系并证明．
21．（本题9分）如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，．
(1)若，求（用含的式子表示）；
(2)求证：是的切线；
(3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长．
22．（本题9分）已知反比例函数经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标；
(3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积．
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