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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.7 切线长定理
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，，分别切于点，，连接．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．（本题3分）如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（本题3分）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，均是的切线，切点分别是P，C，D．若，则的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
5．（本题3分）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．20 D．36
6．（本题3分）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（本题3分）下列说法中错误的是（ ）
A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
9．（本题3分）如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2 C．2，6 D．1，6
10．（本题3分）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，则的长度为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ．
12．（本题3分）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为 ．
13．（本题3分）如图，与它的内切圆分别相切于点D，E，F．若周长为20，，则的长为 ．
14．（本题3分）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为 ．
15．（本题3分）如图，在中，，，，作平分，交于点．以点为圆心，作切于点，交于点、．则 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
17．（本题7分）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点．
(1)求证：；
(2)过点作交于点．若，．求的长．
18．（本题8分）如图，是的外接圆，，是的切线，切点分别为A，C．
(1)求证：
(2)连接，与交于点P，连接，若，求圆的半径．
19．（本题8分）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求⊙O的半径．
20．（本题8分）如图，已知为的直径，为的弦（不是直径）且交于点F，F为的中点，四边形为矩形，为矩形的对角线，延长交于点H．
(1)求证：；
(2)若点F是的中点，，求的半径．
21．（本题9分）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F．
(1)点O是的_______心；
(2)如图1，若，，．设，求的值；
(3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）．
22．（本题9分）如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径．
(1)求证：
①．
②．
(2)若，求的长．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§3.7 切线长定理
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，，分别切于点，，连接．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
解：切于点A，
在中，
又切于点B
故选：C．
2．（本题3分）如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
解：∵，与分别相切于点A，B，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：A．
3．（本题3分）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵是的切线，，
∴，
∵，是的切线，，为切点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（本题3分）如图，均是的切线，切点分别是P，C，D．若，则的长是（）
A．8 B．10 C．12 D．15
解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
5．（本题3分）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．20 D．36
解：∵是的内切圆，切点分别为，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：D．
6．（本题3分）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（ ）
A． B． C． D．
解：连接，
，分别切圆于、，
，
，
，
，
是圆的直径，
，
．
故选：D．
7．（本题3分）如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
解：∵分别与相切于两点，
∴，即，，
∵分别与相切于两点，
∴，
∵分别与相切于两点，
∴，
∴，，
∴的周长为，
如图所示，连接，
∵分别与相切于两点，，
∴，，
在中，，
同理，，
∴所对的圆心角，
∴所对圆心角，
∴，
故选：．
8．（本题3分）下列说法中错误的是（ ）
A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
解:A、B、D说法均正确；
C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；故选：C．
9．（本题3分）如图，已知、是的两条切线，、为切点，连接交于，交于，连接、，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2 C．2，6 D．1，6
解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．故选C．
10．（本题3分）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，则的长度为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
解：连接，
、是的两条切线，
，
，
是等边三角形，
，
是的直径，
，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ．
解：∵是的切线，A，C为切点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：10．
12．（本题3分）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为 ．
解：由题意可得：．．
同理，，是的切线，切点分别为，，
．
．
．
又，
．
△的周长为12，即，
，可得，
解得．
故答案为：6
13．（本题3分）如图，与它的内切圆分别相切于点D，E，F．若周长为20，，则的长为 ．
解：设，
与它的内切圆分别相切于点、、
，
则．
周长为
，
即，
解得，
即．
故答案为：3．
14．（本题3分）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为 ．
解：∵，，是的切线，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：9．
15．（本题3分）如图，在中，，，，作平分，交于点．以点为圆心，作切于点，交于点、．则 ．
解：连接，
∵在中，，，，
∴，
∵，是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，切点为，
∴，即，，
∵平分，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，
则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2）解：，，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
17．（本题7分）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点．
(1)求证：；
(2)过点作交于点．若，．求的长．
（1）解：∵，是的切线，，为切点，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．（本题8分）如图，是的外接圆，，是的切线，切点分别为A，C．
(1)求证：
(2)连接，与交于点P，连接，若，求圆的半径．
（1）证明：连接并延长，交于点E．
∵是的外接圆，，
所以．
又∵是的切线，
∴，．
所以．
所以，
∴
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
所以．
因为，
所以，
在中，由勾股定理，得，
连接，
设的半径为r，则
所以
在中，由勾股定理，
得 ，
所以
解得
∴半径为．
19．（本题8分）如图，P为⊙O的直径延长线上的一点，为⊙O的切线，切点为C，于D，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求⊙O的半径．
（1）解：连接．
∵为⊙O切线，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
．
∴平分．
（2）设．
在中，．
在中， ．
结合（1）中，
，
∴．
∴，
即．
∴．
∴．
解得 (舍去），，
即⊙O的半径为
20．（本题8分）如图，已知为的直径，为的弦（不是直径）且交于点F，F为的中点，四边形为矩形，为矩形的对角线，延长交于点H．
(1)求证：；
(2)若点F是的中点，，求的半径．
（1）证明：如图，连接交于点M．
∵四边形为矩形，
∴，．
∵，，
∴．
∵AB为的直径，F为弦CD的中点，
∴，，
即，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接．
∵，F为中点，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
∵F为的中点，
∴，
∴；
∴的半径为．
21．（本题9分）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F．
(1)点O是的_______心；
(2)如图1，若，，．设，求的值；
(3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）．
（1）解：∵是的内切圆，
∴点O是的内心．
故答案为：内；
（2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，
∴，
∵，，，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）解：如下图，连接，
∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，
∴，，
设半径为，
∴，
∵∠B=∠OFB=∠ODB=90 ，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
22．（本题9分）如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径．
(1)求证：
①．
②．
(2)若，求的长．
（1）①证明：为外一点，和为的两条切线，
，
，
；
②证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图，
由（1）知，
和为的两条切线，为直径，
，
∽△APO，
，
，
，
，
，
解得．
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