广东省佛山市南海区2025-2026学年高二上学期学业水平测试（12月）数学试题
1．（2025高二上·南海月考）已知为坐标原点，点，点，则（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知点为坐标原点，点，点，
则，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示，从而得出的值.
2．（2025高二上·南海月考）已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为倾斜角为，所以斜率为，
由直线的点斜式方程，得，即.
故答案为：D.
【分析】由题意，先利用直线的斜率与直线倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得出直线l的方程.
3．（2025高二上·南海月考）已知直线与平行，则a=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由两直线平行，得，解得，
当时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意．
故答案为：C．
【分析】由两直线平行斜率相等求得k，再检验得出实数a的值．
4．（2025高二上·南海月考）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆，可得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
可得，所以直线与圆相切.
故答案为：B.
【分析】根据圆的方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，从而得到，由直线与圆相切位置关系判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2025高二上·南海月考）M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，用向量，，表示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如图，
.
故答案为：D.
【分析】由图结合空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
6．（2025高二上·南海月考）在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线
【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：设动点，则，，
因为，所以，
则，即，
所以，点的轨迹就是以圆心为，半径为2的圆.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和数量积的坐标运算建立等式，再利用圆的定义，从而得出点P的轨迹.
7．（2025高二上·南海月考）如图，已知平行四边形，，，，沿对角线将折起，使二面角为直二面角，则A与C之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为二面角为直二面角，
所以平面平面，
又因为，且平面平面，
所以平面.
又因为平行四边形，且，
所以.
则以D点为坐标原点，以分别为轴，以过D点平行于的直线为轴，如图：
所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据二面角为直二面角得出平面平面，利用面面垂直的性质定理和线线垂直得出线面垂直，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，从而得出点A与点C之间的距离.
8．（2025高二上·南海月考）已知椭圆C：的左焦点为，O为坐标原点，右顶点为A，以A为圆心，为半径的圆与椭圆C交于M，N两点，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：椭圆C：，
设椭圆的半焦距为，左焦点，右顶点，
以A为圆心，为半径的圆的半径，
在中，，
由余弦定理，得：
，
解得，
，，
设点，由两点间距离公式，得：
①，
② ，
③，
式①减去②，得，解得，
式③减去①，得，
则，
所以，
化简整理，得，，
化简整理，得，
解得（舍去）或，
．
故答案为：A．
【分析】根据椭圆的性质和椭圆的定义，结合余弦定理和两点间距离公式，从而列方程组求出的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值．
9．（2025高二上·南海月考）棱长为2的正方体，点E，F分别是棱和的中点，则（ ）
A． B．
C． D．点F到直线的距离为
【答案】A,D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
对于选项A，因为，，故A正确；
对于选项B，因为，故B错误；
对于选项C，因为，，故C错误；
对于选项D，因为，
所以，
则，
所以，点F到直线的距离为，故D正确.
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量坐标，再利用向量共线的坐标表示、向量相等的判断方法、两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示、数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式以及三角函数的定义，从而逐项判断找出正确的选项．
10．（2025高二上·南海月考）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷两次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，A表示事件“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数”，B表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7” ，C表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为8”，则（ ）
A． B． C．A与B独立 D．B与C互斥
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为抛掷一次所有可能结果有种，其中数字为奇数的有种，
则，故A正确；
用有序数对表示抛掷两次与地面接触的面上的数字，
则抛掷两次的所有可能结果有，，，，
共种，
因为事件表示“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数且两次数字之和为7”，
包含的可能结果有，共种，
所以，事件包含的可能结果有，共种，
则，
所以，故B错误；
因为，故C正确；
因为事件表示“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7且之和为”，
显然是不可能发生事件，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概率公式得出事件A的概率，则判断出选项A；根据互斥事件的定义和互斥事件求概率公式，则判断出选项B和选项D；根据独立事件定义，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·南海月考）已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（ ）
A．若圆与圆相切，则
B．若圆与圆相交，则
C．若圆与圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1
D．过圆的圆心作圆的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
【答案】B,C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆，可得圆心，半径为，
因为圆的圆心为，半径为，且.
对于A，当圆与圆相内切时，此时圆心距，则两圆重合，舍去；
当圆与圆相外切时，可得圆心距，则，
将代入，可得，解得或，故A不正确；
对于B，若圆与圆相交，则圆心距满足，
所以，又因为，
可得，解得，故B正确；
对于C，如图（1）所示，
因为圆与圆的半径都是，所以是的垂直平分线，
则圆心到的距离，
又因为圆心，圆心在直线，
可得圆心的距离为，则，
由圆的弦长公式，可得，
则的最大值为，故C正确；
对于D，如图（2）所示，过点作圆的切线方程，
设切点分别为，
可得直线和的方程为和，
因为和相交点，可得，
所以割线的方程为，
又因为，可得，
联立方程组，解得，
则直线恒过定点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用两圆相切位置关系判断方法，从而得出m的值，则判断出选项A；根据圆与圆相交位置关系判断方法，从而列出不等式得出的取值范围，则可判断选项B；结合圆的弦长公式和圆的性质，则可判断选项C；由圆的切线的性质得出割线方程，再结合得出直线过定点，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高二上·南海月考）点到直线的距离为 ．
【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意可知点到直线的距离为.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件和点到直线的距离公式计算求解.
13．（2025高二上·南海月考）某校组织学生参加农村综合社会实践活动，期间有4个实践活动分别为：割稻谷、挖番薯、掰玉米、除杂草，规定每人参加其中2个活动，假设每人参加每个活动的可能性相同，则张同学参加“割稻谷”活动的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为4个实践活动：割稻谷、挖番薯、掰玉米、除杂草分别用来代表，
由题意知，每人参加其中2个活动，
则从4个活动中任选2个，共有共6种选择，
又因为张同学参加“割稻谷”活动的选择有共3种，
所以，张同学参加“割稻谷”活动的概率为.
故答案为：.
【分析】先求出每人参加2个活动的总的选择数，求出符合要求的选择数，再根据古典概率公式，从而得出张同学参加“割稻谷”活动的概率.
14．（2025高二上·南海月考）已知正方体中，点是上的动点，点是的中点，若，，，四点共面，则 ．
【答案】2
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，则，
所以，
则.
故答案为：2.
【分析】利用点到平面的距离公式得出，则建立空间直角坐标系，再设出棱长，从而得出点的坐标和向量的坐标，求出点到平面的距离和点到平面的距离，再利用，从而求出的值.
15．（2025高二上·南海月考）已知点、、．
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求的外接圆的方程．
【答案】（1）解：由题意，
可知直线的斜率为，线段的中点为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
所以，线段的垂直平分线方程为，即.
（2）解：设的外接圆方程为，
将这个三角形三个顶点的坐标代入圆的方程，
得，
解得，
则的外接圆方程为.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用中点坐标公式得出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得线段的垂直平分线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得所求直线的方程.
（2）设的外接圆方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，从而可得关于、、的方程组，解方程组可得所求圆的方程.
（1）由题意可知，直线的斜率为，线段的中点为，
故线段的垂直平分线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，即.
（2）设的外接圆方程为，
将这个三角形三个顶点的坐标代入圆的方程得，解得，
故的外接圆方程为.
16．（2025高二上·南海月考）甲、乙两人进行投篮比赛，比赛的规则是，每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，若干轮比赛后，最后总得分多的获胜，最后总得分相同则为平局．为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后投篮情况如下表：
甲 乙
投篮次数
命中的次数
若比赛中每个人投篮命中与否相互之间没有影响，且以频率代替概率．
（1）估计甲、乙每次投篮命中的概率；
（2）事件 “某轮比赛中甲、乙得分相同”，求；
（3）求两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率．
【答案】（1）解：设事件B为“甲投篮命中”，事件C为“乙投篮命中”，
由训练后投篮情况数据，可知：
甲命中概率为：，
乙命中概率为：．
（2）解：每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，
得分相同有两种情况：①两人都投中；②两人都未投中，
由（1）知甲命中概率，甲未命中概率，
乙命中概率，乙未命中概率，
甲、乙投篮命中互相独立，甲、乙投篮均命中与均未命中互斥，
．
（3）解：设甲两轮得分为，乙两轮得分为，
则取值均为，
因为乙得分大于甲的情况为：①；②；③
又甲命中概率，甲未命中概率，
乙命中概率，乙未命中概率，
，
，
．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知训练数据结合频率估计概率的方法，从而估计出甲、乙每次投篮命中的概率.
（2）利用对立事件求概率公式、相互独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出事件A的概率.
（3）分析甲、乙可能得分的情况和独立事件乘法求概率公式，从而计算出相关概率，再分类讨论乙得分大于甲的所有情况，根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算得出两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率．
（1）设事件B为“甲投篮命中”，事件C为“乙投篮命中”，
由训练后投篮情况数据可知，
甲命中概率为：，
乙命中概率为：．
（2）每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，
得分相同有两种情况：①两人都投中；②两人都未投中，
由（1）知甲命中概率，甲未命中概率；
乙命中概率，乙未命中概率；
甲、乙投篮命中互相独立，甲、乙投篮均命中与均未命中互斥，
．
（3）设甲两轮得分为，乙两轮得分为，则取值均为，
乙得分大于甲的情况为：①；②；③．
甲命中概率，甲未命中概率；乙命中概率，乙未命中概率，
，
，
．
17．（2025高二上·南海月考）如图，和所在平面垂直，且，，．
（1）求证：；
（2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为和所在平面垂直，，
平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）解：取线段的中点，连接，
因为平面，平面，
所以，，，
又因为，
所以，
则，，
所以或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，
因为，
所以，
则，
在中，，
则，
所以，平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理证出.
（2）取线段的中点，利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而得出或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，解三角形可得出平面ABC与平面ACD夹角的余弦值.
（1）因和所在平面垂直，，
平面平面，平面，
则平面，
又平面，则；
（2）取线段的中点，连接，
因平面，平面，则，，，
因，则，
则，，则或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，
因，则，则，
在中，，
故，
故平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为.
18．（2025高二上·南海月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为．点M是椭圆C上一点，满足，O为坐标原点．
（1）求C的方程；
（2）设，若C上的一点N与点M不关于x轴对称，且满足．
（ⅰ）证明：直线MN恒过x轴上的一个点；
（ⅱ）求面积的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，可得，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）证明：设直线MN的方程为，点，
则，
因为，
所以，
整理得，
则，
化简并整理，得：，①
联立，消去得，
则，
化简并整理得，
由韦达定理，可得，②
将②代入①，得，
化简并整理得：，
则直线MN的方程为，
所以直线MN恒过点.
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知直线MN恒过点，
当直线MN与x轴重合时，M、N、T三点共线，此时不构成三角形；
当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为，
联立，消去得，
所以，
则
令，则，，
所以，
根据对勾函数的性质，
可知：在上单调递增，
所以，则，
所以，
综上所述，面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）（ⅰ）设直线MN的方程为，根据和直线的倾斜角与直线斜率的关系式，从而得到直线的斜率关系，再根据韦达定理列方程求出的关系式，从而证出直线MN恒过x轴上的一个点.
（ⅱ）由（ⅰ）可知直线MN恒过点，当直线MN与x轴重合时，M、N、T三点共线，此时不构成三角形；当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为，联立直线方程和椭圆的方程，根据韦达定理得出与m的函数关系，再利用换元法和对勾函数的单调性，从而得出的取值范围，由三角形的面积公式得出三角形面积的取值范围.
（1）根据题意可得，所以，
又，所以，所以，
所以C的方程为；
（2）（ⅰ）设直线MN的方程为，点，
则，
因为，所以，
整理得，即，
化简并整理得：，①
联立，消去得，
，化简并整理得，
由韦达定理可得，②
将②代入①得，
化简并整理得：，
所以直线MN的方程为，
所以直线MN恒过点；
（ⅱ）由（ⅰ）可知直线MN恒过点，当直线MN与x轴重合时，M、N、T三点共线，此时不构成三角形；
当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为，
联立，消去得，
所以，
所以，
令，则，，所以，
根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，所以，
所以，
所以，
综上所述，面积的取值范围为.
19．（2025高二上·南海月考）如图，在长方体中，，，是的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）若是线段上的动点（包括端点和），求与平面的夹角正弦值的最大值；
（3）若是侧面内的动点（包括侧面的边界），且平面与平面垂直，判断点的轨迹，并求出轨迹长度．
【答案】（1）解：因为为长方体，
在中，，，，
同理可得，，所以为等边三角形，
则.
又因为，
所以.
设点到平面的距离为，则，
所以，则.
所以，点到平面的距离为.
（2）解：以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量，
则，所以，
令，得，故
设，因为是线段上的动点，
所以），则，
设直线与平面的夹角为，
则，
因为，所以，则，
当时，；
当时，令，，
因为在上单调递减，
所以在上单调递增，
则当时，，此时，
综上所述：，
则与平面的夹角正弦值的最大值为.
（3）解：设，
因为是侧面内的动点，
所以，），
则，，，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
因为平面与平面垂直，
所以，则，
又因为，，
所以，解得，
则，
因此点的轨迹为上点和之间的线段，
长度为，
则点的轨迹为上点和的线段，轨迹长度为.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用长方体的结构特征和勾股定理，则判断出三角形为等边三角形，再利用三角形的面积公式和三棱锥的体积公式以及等体积法，从而得出点到平面的距离.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及t的取值范围，根据分类讨论的方法和函数的单调性，从而得出函数的最大值，则得出直线与平面的夹角正弦值的最大值.
（3）利用已知条件求出平面与平面的法向量，再利用面面垂直得到两平面法向量垂直，得出x的取值范围，利用空间两点距离公式，从而得出点的轨迹为上点和的线段，轨迹长度为.
（1）因为为长方体，
在中，，，，同理可得，，
所以为等边三角形，所以.
又，所以.
设点到平面的距离为，则，即，所以.
故点到平面的距离为.
（2）以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
则，.
设平面的法向量，
则，即，令，得，故
设（因为是线段上的动点，所以），则.
设直线与平面的夹角为，则，
因为，所以，所以.
当时，
当时，令，.
因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以当时，，此时.
综上.
故与平面的夹角正弦值的最大值为.
（3）设（因为是侧面内的动点，所以，），则，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以，
因为平面与平面垂直，所以，所以.
又，，所以，解得，即，
因此点的轨迹为上点和之间的线段，长度为.
故点的轨迹为上点和的线段，轨迹长度为.
1 / 1广东省佛山市南海区2025-2026学年高二上学期学业水平测试（12月）数学试题
1．（2025高二上·南海月考）已知为坐标原点，点，点，则（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
2．（2025高二上·南海月考）已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·南海月考）已知直线与平行，则a=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2025高二上·南海月考）已知圆，直线，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．（2025高二上·南海月考）M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，用向量，，表示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·南海月考）在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线
7．（2025高二上·南海月考）如图，已知平行四边形，，，，沿对角线将折起，使二面角为直二面角，则A与C之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
8．（2025高二上·南海月考）已知椭圆C：的左焦点为，O为坐标原点，右顶点为A，以A为圆心，为半径的圆与椭圆C交于M，N两点，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·南海月考）棱长为2的正方体，点E，F分别是棱和的中点，则（ ）
A． B．
C． D．点F到直线的距离为
10．（2025高二上·南海月考）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷两次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，A表示事件“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数”，B表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7” ，C表示事件“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为8”，则（ ）
A． B． C．A与B独立 D．B与C互斥
11．（2025高二上·南海月考）已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（ ）
A．若圆与圆相切，则
B．若圆与圆相交，则
C．若圆与圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1
D．过圆的圆心作圆的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
12．（2025高二上·南海月考）点到直线的距离为 ．
13．（2025高二上·南海月考）某校组织学生参加农村综合社会实践活动，期间有4个实践活动分别为：割稻谷、挖番薯、掰玉米、除杂草，规定每人参加其中2个活动，假设每人参加每个活动的可能性相同，则张同学参加“割稻谷”活动的概率为 ．
14．（2025高二上·南海月考）已知正方体中，点是上的动点，点是的中点，若，，，四点共面，则 ．
15．（2025高二上·南海月考）已知点、、．
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求的外接圆的方程．
16．（2025高二上·南海月考）甲、乙两人进行投篮比赛，比赛的规则是，每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，若干轮比赛后，最后总得分多的获胜，最后总得分相同则为平局．为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后投篮情况如下表：
甲 乙
投篮次数
命中的次数
若比赛中每个人投篮命中与否相互之间没有影响，且以频率代替概率．
（1）估计甲、乙每次投篮命中的概率；
（2）事件 “某轮比赛中甲、乙得分相同”，求；
（3）求两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率．
17．（2025高二上·南海月考）如图，和所在平面垂直，且，，．
（1）求证：；
（2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．
18．（2025高二上·南海月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为．点M是椭圆C上一点，满足，O为坐标原点．
（1）求C的方程；
（2）设，若C上的一点N与点M不关于x轴对称，且满足．
（ⅰ）证明：直线MN恒过x轴上的一个点；
（ⅱ）求面积的取值范围．
19．（2025高二上·南海月考）如图，在长方体中，，，是的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）若是线段上的动点（包括端点和），求与平面的夹角正弦值的最大值；
（3）若是侧面内的动点（包括侧面的边界），且平面与平面垂直，判断点的轨迹，并求出轨迹长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知点为坐标原点，点，点，
则，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示，从而得出的值.
2．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为倾斜角为，所以斜率为，
由直线的点斜式方程，得，即.
故答案为：D.
【分析】由题意，先利用直线的斜率与直线倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得出直线l的方程.
3．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由两直线平行，得，解得，
当时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意．
故答案为：C．
【分析】由两直线平行斜率相等求得k，再检验得出实数a的值．
4．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由圆，可得圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
可得，所以直线与圆相切.
故答案为：B.
【分析】根据圆的方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，从而得到，由直线与圆相切位置关系判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】解：如图，
.
故答案为：D.
【分析】由图结合空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
6．【答案】B
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：设动点，则，，
因为，所以，
则，即，
所以，点的轨迹就是以圆心为，半径为2的圆.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和数量积的坐标运算建立等式，再利用圆的定义，从而得出点P的轨迹.
7．【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为二面角为直二面角，
所以平面平面，
又因为，且平面平面，
所以平面.
又因为平行四边形，且，
所以.
则以D点为坐标原点，以分别为轴，以过D点平行于的直线为轴，如图：
所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】根据二面角为直二面角得出平面平面，利用面面垂直的性质定理和线线垂直得出线面垂直，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，从而得出点A与点C之间的距离.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：椭圆C：，
设椭圆的半焦距为，左焦点，右顶点，
以A为圆心，为半径的圆的半径，
在中，，
由余弦定理，得：
，
解得，
，，
设点，由两点间距离公式，得：
①，
② ，
③，
式①减去②，得，解得，
式③减去①，得，
则，
所以，
化简整理，得，，
化简整理，得，
解得（舍去）或，
．
故答案为：A．
【分析】根据椭圆的性质和椭圆的定义，结合余弦定理和两点间距离公式，从而列方程组求出的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值．
9．【答案】A,D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
对于选项A，因为，，故A正确；
对于选项B，因为，故B错误；
对于选项C，因为，，故C错误；
对于选项D，因为，
所以，
则，
所以，点F到直线的距离为，故D正确.
故答案为：AD．
【分析】利用已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量坐标，再利用向量共线的坐标表示、向量相等的判断方法、两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示、数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式以及三角函数的定义，从而逐项判断找出正确的选项．
10．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为抛掷一次所有可能结果有种，其中数字为奇数的有种，
则，故A正确；
用有序数对表示抛掷两次与地面接触的面上的数字，
则抛掷两次的所有可能结果有，，，，
共种，
因为事件表示“第二次抛掷与地面接触的面上的数字为奇数且两次数字之和为7”，
包含的可能结果有，共种，
所以，事件包含的可能结果有，共种，
则，
所以，故B错误；
因为，故C正确；
因为事件表示“两次抛掷与地面接触的面上的数字之和为7且之和为”，
显然是不可能发生事件，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据古典概率公式得出事件A的概率，则判断出选项A；根据互斥事件的定义和互斥事件求概率公式，则判断出选项B和选项D；根据独立事件定义，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆，可得圆心，半径为，
因为圆的圆心为，半径为，且.
对于A，当圆与圆相内切时，此时圆心距，则两圆重合，舍去；
当圆与圆相外切时，可得圆心距，则，
将代入，可得，解得或，故A不正确；
对于B，若圆与圆相交，则圆心距满足，
所以，又因为，
可得，解得，故B正确；
对于C，如图（1）所示，
因为圆与圆的半径都是，所以是的垂直平分线，
则圆心到的距离，
又因为圆心，圆心在直线，
可得圆心的距离为，则，
由圆的弦长公式，可得，
则的最大值为，故C正确；
对于D，如图（2）所示，过点作圆的切线方程，
设切点分别为，
可得直线和的方程为和，
因为和相交点，可得，
所以割线的方程为，
又因为，可得，
联立方程组，解得，
则直线恒过定点，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用两圆相切位置关系判断方法，从而得出m的值，则判断出选项A；根据圆与圆相交位置关系判断方法，从而列出不等式得出的取值范围，则可判断选项B；结合圆的弦长公式和圆的性质，则可判断选项C；由圆的切线的性质得出割线方程，再结合得出直线过定点，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】1
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由题意可知点到直线的距离为.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件和点到直线的距离公式计算求解.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为4个实践活动：割稻谷、挖番薯、掰玉米、除杂草分别用来代表，
由题意知，每人参加其中2个活动，
则从4个活动中任选2个，共有共6种选择，
又因为张同学参加“割稻谷”活动的选择有共3种，
所以，张同学参加“割稻谷”活动的概率为.
故答案为：.
【分析】先求出每人参加2个活动的总的选择数，求出符合要求的选择数，再根据古典概率公式，从而得出张同学参加“割稻谷”活动的概率.
14．【答案】2
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，则，
所以，
则.
故答案为：2.
【分析】利用点到平面的距离公式得出，则建立空间直角坐标系，再设出棱长，从而得出点的坐标和向量的坐标，求出点到平面的距离和点到平面的距离，再利用，从而求出的值.
15．【答案】（1）解：由题意，
可知直线的斜率为，线段的中点为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
所以，线段的垂直平分线方程为，即.
（2）解：设的外接圆方程为，
将这个三角形三个顶点的坐标代入圆的方程，
得，
解得，
则的外接圆方程为.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和两点求斜率公式求出直线的斜率，再利用中点坐标公式得出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得线段的垂直平分线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得所求直线的方程.
（2）设的外接圆方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，从而可得关于、、的方程组，解方程组可得所求圆的方程.
（1）由题意可知，直线的斜率为，线段的中点为，
故线段的垂直平分线的斜率为，
故线段的垂直平分线方程为，即.
（2）设的外接圆方程为，
将这个三角形三个顶点的坐标代入圆的方程得，解得，
故的外接圆方程为.
16．【答案】（1）解：设事件B为“甲投篮命中”，事件C为“乙投篮命中”，
由训练后投篮情况数据，可知：
甲命中概率为：，
乙命中概率为：．
（2）解：每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，
得分相同有两种情况：①两人都投中；②两人都未投中，
由（1）知甲命中概率，甲未命中概率，
乙命中概率，乙未命中概率，
甲、乙投篮命中互相独立，甲、乙投篮均命中与均未命中互斥，
．
（3）解：设甲两轮得分为，乙两轮得分为，
则取值均为，
因为乙得分大于甲的情况为：①；②；③
又甲命中概率，甲未命中概率，
乙命中概率，乙未命中概率，
，
，
．
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知训练数据结合频率估计概率的方法，从而估计出甲、乙每次投篮命中的概率.
（2）利用对立事件求概率公式、相互独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出事件A的概率.
（3）分析甲、乙可能得分的情况和独立事件乘法求概率公式，从而计算出相关概率，再分类讨论乙得分大于甲的所有情况，根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算得出两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率．
（1）设事件B为“甲投篮命中”，事件C为“乙投篮命中”，
由训练后投篮情况数据可知，
甲命中概率为：，
乙命中概率为：．
（2）每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，
得分相同有两种情况：①两人都投中；②两人都未投中，
由（1）知甲命中概率，甲未命中概率；
乙命中概率，乙未命中概率；
甲、乙投篮命中互相独立，甲、乙投篮均命中与均未命中互斥，
．
（3）设甲两轮得分为，乙两轮得分为，则取值均为，
乙得分大于甲的情况为：①；②；③．
甲命中概率，甲未命中概率；乙命中概率，乙未命中概率，
，
，
．
17．【答案】（1）证明：因为和所在平面垂直，，
平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）解：取线段的中点，连接，
因为平面，平面，
所以，，，
又因为，
所以，
则，，
所以或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，
因为，
所以，
则，
在中，，
则，
所以，平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理证出.
（2）取线段的中点，利用等腰三角形三线合一得出线线垂直，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，从而得出或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，解三角形可得出平面ABC与平面ACD夹角的余弦值.
（1）因和所在平面垂直，，
平面平面，平面，
则平面，
又平面，则；
（2）取线段的中点，连接，
因平面，平面，则，，，
因，则，
则，，则或其补角为平面ABC与平面ACD的夹角，
因，则，则，
在中，，
故，
故平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：根据题意，可得，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以，椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）证明：设直线MN的方程为，点，
则，
因为，
所以，
整理得，
则，
化简并整理，得：，①
联立，消去得，
则，
化简并整理得，
由韦达定理，可得，②
将②代入①，得，
化简并整理得：，
则直线MN的方程为，
所以直线MN恒过点.
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知直线MN恒过点，
当直线MN与x轴重合时，M、N、T三点共线，此时不构成三角形；
当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为，
联立，消去得，
所以，
则
令，则，，
所以，
根据对勾函数的性质，
可知：在上单调递增，
所以，则，
所以，
综上所述，面积的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）（ⅰ）设直线MN的方程为，根据和直线的倾斜角与直线斜率的关系式，从而得到直线的斜率关系，再根据韦达定理列方程求出的关系式，从而证出直线MN恒过x轴上的一个点.
（ⅱ）由（ⅰ）可知直线MN恒过点，当直线MN与x轴重合时，M、N、T三点共线，此时不构成三角形；当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为，联立直线方程和椭圆的方程，根据韦达定理得出与m的函数关系，再利用换元法和对勾函数的单调性，从而得出的取值范围，由三角形的面积公式得出三角形面积的取值范围.
（1）根据题意可得，所以，
又，所以，所以，
所以C的方程为；
（2）（ⅰ）设直线MN的方程为，点，
则，
因为，所以，
整理得，即，
化简并整理得：，①
联立，消去得，
，化简并整理得，
由韦达定理可得，②
将②代入①得，
化简并整理得：，
所以直线MN的方程为，
所以直线MN恒过点；
（ⅱ）由（ⅰ）可知直线MN恒过点，当直线MN与x轴重合时，M、N、T三点共线，此时不构成三角形；
当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为，
联立，消去得，
所以，
所以，
令，则，，所以，
根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，所以，
所以，
所以，
综上所述，面积的取值范围为.
19．【答案】（1）解：因为为长方体，
在中，，，，
同理可得，，所以为等边三角形，
则.
又因为，
所以.
设点到平面的距离为，则，
所以，则.
所以，点到平面的距离为.
（2）解：以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的法向量，
则，所以，
令，得，故
设，因为是线段上的动点，
所以），则，
设直线与平面的夹角为，
则，
因为，所以，则，
当时，；
当时，令，，
因为在上单调递减，
所以在上单调递增，
则当时，，此时，
综上所述：，
则与平面的夹角正弦值的最大值为.
（3）解：设，
因为是侧面内的动点，
所以，），
则，，，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
因为平面与平面垂直，
所以，则，
又因为，，
所以，解得，
则，
因此点的轨迹为上点和之间的线段，
长度为，
则点的轨迹为上点和的线段，轨迹长度为.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用长方体的结构特征和勾股定理，则判断出三角形为等边三角形，再利用三角形的面积公式和三棱锥的体积公式以及等体积法，从而得出点到平面的距离.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及t的取值范围，根据分类讨论的方法和函数的单调性，从而得出函数的最大值，则得出直线与平面的夹角正弦值的最大值.
（3）利用已知条件求出平面与平面的法向量，再利用面面垂直得到两平面法向量垂直，得出x的取值范围，利用空间两点距离公式，从而得出点的轨迹为上点和的线段，轨迹长度为.
（1）因为为长方体，
在中，，，，同理可得，，
所以为等边三角形，所以.
又，所以.
设点到平面的距离为，则，即，所以.
故点到平面的距离为.
（2）以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
则，.
设平面的法向量，
则，即，令，得，故
设（因为是线段上的动点，所以），则.
设直线与平面的夹角为，则，
因为，所以，所以.
当时，
当时，令，.
因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以当时，，此时.
综上.
故与平面的夹角正弦值的最大值为.
（3）设（因为是侧面内的动点，所以，），则，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以，
因为平面与平面垂直，所以，所以.
又，，所以，解得，即，
因此点的轨迹为上点和之间的线段，长度为.
故点的轨迹为上点和的线段，轨迹长度为.
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