14.2 三角形全等的判定探究 教学设计 初中数学人教版（2024）八年级上册

《三角形全等的判定探究》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
提出三角形全等判定研究问题，规划探索三角形全等条件的思路，研究“两边一角分别相等条件下两个三角形是否全等”
内容解析
本节课的核心是规划探索三角形全等条件的思路，研究“两边一角分别相等条件下两个三角形是否全等”，其本质是研究两个三角形全等的充分条件.教学中贯穿"直观理解三个顶点重合则三角形全等"的核心思想，这一思想将成为整个单元研究的统一范式.
教学内容蕴含丰富的数学思想方法：分类讨论思想（按条件数量系统探究）、转化思想（将全等问题转化为顶点重合问题）、以简驭繁思想（减少条件的研究方向）.教学重点是“边角边”判定方法及其探究思路，这不仅是本课重点，更是后续所有判定方法研究的统一范式.
在知识体系中，本节课承上启下.上位知识包括全等三角形的定义和性质，为判定方法探究奠定基础；下位知识包括其他判定方法和尺规作图，本课建立的探究思路将直接迁移到后续学习中，体现知识发展的连贯性.
从知识发生发展过程看，本节课具有重要教育价值：在探究过程中，学生经历从问题提出、思路规划到抽象推理的完整过程，重点发展了推理能力。通过严谨的分类讨论和条件抽象，学生体会数学研究的科学性，逻辑思维得到系统训练。同时，课堂通过观察、想象、操作等活动显著提升了学生的几何直观与空间观念。“破损三角形还原”的实践任务，将抽象问题转化为具体操作，让学生在动手实践中深化对判定事实的理解。此外，统一方法的建立培养了学生的应用意识与整体性认知，促使他们将具体方法迁移到新情境中解决问题，为后续学习奠定了扎实的能力基础。整节课体现了核心素养导向下对学生数学思维与能力的综合培养。
基于以上分析本节课的教学重点是：规划三角形全等条件的研究思路，经历抽象“边角边”基本事实的过程并掌握研究方法.
二、目标和目标解析
1．教学目标
⑴构建三角形全等条件的探索思路.
⑵探索并掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
2．教学目标解析
达成目标⑴的标志：在提出三角形全等判定问题、规划探索思路的过程中，知道可以通过两个三角形要素边角之间的对应关系入手研究三角形全等判定问题，领悟分类讨论思想，发展几何直观.
达成目标⑵的标志：能通过直观感知、操作确认，得出“边角边”；能用“边角边”解决问题，知道两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，发展儿何直观、抽象能力和推理能力.
三、学情分析
有了七下学习平行线的经验，学生可以构建全等三角形的研究思路，为提出全等三角形的判定提供了方向；同时，平行线的学习让学生已经知道性质与判定之间的互逆关系，这为提出全等三角形判定的初步猜想提供了经验支撑，也为进一步简化判定条件奠定了基础.但是对于八年级学生而言仍然存在以下困难：
1.在三角形全等判定的探究活动中，学生在确定研究方向，有序规划研究思路有困难；
2.通过操作让学生接受边角边基本事实，存在困难；
3.利用全等三角形的判定和性质进行推理论证，包括分析条件和结论的关系，书写证明格式，学生对于规范的推理论证还缺乏必要的经验与能力，这是整个单元会遇到的又一个难点.
基于以上分析，本节课的教学难点是：构建三角形全等判定条件的探索思路，抽象基本事实“边角边”。
四、教学策略分析
本节课在单元整体教学框架下，以数学"一般观念"为引领，教师通过类比平行线研究经验，引导学生掌握"定义—性质—判定"的几何研究基本范式，形成可迁移的探究能力.在探究方法上，虽然本章分课时研究不同的判定方法，但在本节课教学中始终保持整体意识，深度挖掘认识了探究三角形全等判定方法的共性思维，即直观理解三个顶点重合的两个三角形也重合（全等）.这种共性思维将成为后续探究其他三角形全等判定方法的统一范式，并为尺规作图“如何想到作法”提供思维铺垫，这种前瞻性设计强化了单元学习的系统性.
在教学过程设计中，教师采用问题驱动的方式，通过循序渐进的问题串将抽象问题转化为可操作的探究任务.针对不同探究内容设置多元学习方式：既通过举反例培养学生批判性思维，又通过不完整三角形纸片还原活动发展几何直观.这种差异化设计确保不同层次学生都能获得发展.
在教学实施中，教师摒弃单一讲授模式，采用引导式、讨论式、合作式等多种教学方式，为学生提供充分的实践和反思空间.通过及时观察和有效反馈，教师确保学生在自主探究中构建知识，在方法迁移中发展几何直观和推理能力，真正实现"教为学服务"的教学理念，为整个单元的学习奠定坚实基础.
五、教学过程设计
环节一：提出问题，建构框架
引导语：上一章学习了三角形的相关概念，研究了三角形边和角的基本性质.本章我们将研究两个三角形的相等关系，并在上节课学习了三角形全等的定义和性质.按照七年级研究两条直线平行的经验.同学们认为接下来该研究什么了？
问题1：怎么判定两个三角形全等？是否能从边角之间的对应关系去判定两个三角形全等？
师生活动：学生思考后由全等三角形性质逆定理得到，只要两个三角形满足三组对应边及三组对应角相等，它们就全等的结论.教师引导学生用符号语言写出.
追问1：为什么满足这六个条件就能判定三角形全等？
师生活动：学生由直观可得到，当满足六个条件时两个三角形可以完全重合，也就是全等.
【设计意图】：通过类比平行线的研究路径让学生意识到今天需要学习的内容是三角形全等的判定，提出探究问题.在规划全等三角形判定的研究思路中，通过将三角形全等判定问题转化到边角对应关系的探究上，明确本节课的具体探究目标.
问题2：对于这两个三角形而言，能否只选择这六个条件中的一部分条件，更简捷的判定两个三角形全等？大家认为更简洁应该怎么理解？具体该怎么考虑？
；．
师生活动：学生独立思考，小组交流，教师点拨，最后达成共识，按满足“一个条件“两个条件”“三个条件“的顺序探索三角形全等的条件.
追问1：当满足一个条件时，与全等吗？
师生活动：学生发现需要分两种情况进行说明，即一组对应边相等或一组对应角相等.在探究过程中借助三角尺，基于直观就能判断这样的两个三角形不一定全等.
追问2：当满足两个条件时，与全等吗？
师生活动：学生发现满足“两个条件”分两边、一边一角或两角分别相等三种情况，当确定条件后画出的三角形不是唯一的，就能做出判断：满足条件的两个三角形不一定全等.教师注意引导学生，对于一边一角需要进一步考虑到位置关系
追问3：当满足三个条件时，与全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？
师生活动：学生回答，教师引导注意三次分类都要考虑到，做到不重不漏，得到6种情况.
【设计意图】：规划探究方案，即通过条件由少到多寻找判定三角形全等的方法.三角形全等的条件，是在直观的基础上通过直观想象和分析抽象得到的，按照规划的思路，通过问题串引导学生层层深入的循序想象和思考，突破本节课教学难点.不同举反例的方式体现了方法的多样性.在这个环节应强化“当满足条件时，不能保证两个三角形重合就无法判定全等”的意识，为后续探究边角边时铺垫思想方法.达成教学目标（1）.
环节二 ：探究思考，形成新知
问题3：我手中有一个破坏了一条边的不完整三角形纸片，请同学们观察一下，你认为它可以还原成与原来大小形状完全一样的图形吗？怎么还原？保留了原三角形的哪些要素才能够还原？
追问1：在确保两边和它们的夹角与不完整三角形相等的情况下，制作了一个新的三角形，它与还原后的三角形全等吗？怎么才能说明？
追问2：直观上，叠合后怎么快速判断两个三角形是否重合？
师生活动：通过探究活动教师引导学生明确“当一个三角形的两条边和它们的夹角确定时，三角形的大小就确定了”.接着考虑制作满足条件的新三角形和还原后三角形是否全等的问题，先让学生独立思考，然后小组内交流研究，教师可参与指导小组内的剪、叠、说的活动.当有小组经历操作过程确认结论时，可以进行演示说明并确认结论，得出基本事实.教师对这种探究“边角边”的直观理解的方法进行归纳总结和板书，并强调这也是本章后续研究其他三角形全等判定的统一方法.
答：如图，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与射线重合，那么射线与重合；
再由，可知点，分别与点，重合.这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合；与能够完全重合，因而≌
追问3：能用文字语言和符号语言概括刚才的结论吗？
归纳：基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写为“边角边”或“”).
符号语言：在和中，
，
∴≌
师生活动：学生回答，教师板书，引导学生规范书写.
【设计意图】：此环节学生通过操作活动形成探究方法，发现探究结论.通过设计这样的探究活动，将一个相对抽象的问题，转化为一个可操作的、具体的任务，还原了数学知识的发现过程，突破了本节课的教学难点.活动让学生基于直观验证基本事实，感悟基本事实的正确性，获得三角形全等的“边角边”判定方法，发展空间观念，几何直观和抽象能力.这里通过确定的条件，借助线段和角的叠合法进行直观分析，说明三个顶点可以分别重合那么两个三角形就全等的方法，也是本章后续研究其他判定的统一方法，此处体现了单元整体教学设计的理念，突出本节课的教学重点.
环节三：新知应用，触类旁通
知识应用：
例1 如图，，平分，求证：．
【分析】要证明，需要通过证明≌，看看证明三角形全等的条件有哪些
【解答】证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴≌
∴．
师生活动：教师让学生充分研读题目后，思考如何证明两个角相等，确认解决问题的关键是证明两个三角形全等，并进一步思考怎么证明.学生利用“边角边”证明之后，检查证明过程是否规范.
教师指出：因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的科应边或对应角来解决.
【设计意图】：以基本事实为论证的起点，应用判定条件证明三角形全等并得到对应线段或角相等的活动，能提升学生的演绎推理能力，使学生正确理解判定的基本事实“边角边”，及时了解学生掌握新知的情况.培养学生的逻辑思维，形成数学的思维方式，发展推理能力.
方法应用：
问题4：
提出探究活动的要求：请同学们拿出手中破碎的三角形纸片，试着应用刚才探究“边角边”的方法，利用这个纸片设计探究活动，提出你的问题，说出你的结论.
师生活动：教师给出问题后，学生先独立思考，后小组一起讨论，通过发现和提出问题、分析问题、解决问题的过程，运用探究“边角边”的方法，最终得到 “两角及夹边对应相等的两个三角形全等”这个基本事实.
【设计意图】：通过类比“边角边”探究方法，探究“角边角”，体现单元设计理念.活动设计让学生经历了发现和提出问题、分析问题、解决问题的全过程，强调了一个完整的、从始至终的数学活动过程，它不仅关注最终答案，更关注学生探索和思维的全程.达成教学目标（2）.
环节四：继续探究，深化理解
问题5：我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
师生活动：引导学生举出反例，并进行说明，得到两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等的结论.
归纳总结：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.实际上，对于两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形而言，在某些情况下是它是可以判定三角形全等的.这个问题留作课后的思考题，同学们可以查阅相关资料，课下与老师进行探讨.
【设计意图】：学生通过举反例说明两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.通过归纳，让学生意识到，对于两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形，除了课堂上举出反例的情况是不能保证全等的，还有两种情况下是可以判定两个三角形全等（1）两边分别相等且两边中的大边的对角也分别相等的两个三角形全等（2）在直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等的两个三角形也全等（即HL）.这样的设计不但为后续学习HL做铺垫，还能打开学生的思维，拓展学生的眼界，让学有余力的学生得到更好的发展.
环节五：归纳小结，反思提高
教师一起与学生回顾本节课内容，并引导学生从掌握的知识、学到的方法、感悟到的数学思想等方面谈对本节课的收获.
【设计意图】：引导学生从知识内容和学习过程进行小结，掌握研究路径的一般方法.
环节六：布置作业，应用迁移
基础巩固作业：
课本习题14.2第1、2、3题
探究性作业：
1.三边对应相等能否判定三角形全等的探究
2.在两边和其中一边的对角对应相等的其他情况下，能否判定三角形全等的探究
课堂教学目标检测
（一）基础达标
1.如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和全等的图形是（ ）

A．甲、丁 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙
【题目分析与设计意图】本题考查的知识点是学生通过识图辨别使用“边角边”判定三角形全等，要求学生有一定的识图能力.利用图形的对应关系，让学生通过观察图形找对应加深对“边角边”判定的掌握和理解.培养学生几何直观能力.
2.学校秋季运动会为学生配备如图所示的折叠凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（ ）
A． B． C． D．
【题目分析与设计意图】本题源自课本第34页练习题第1题及课本59页复习题14第6题.考查的知识点是“边角边”判定全等的实际应用，通过所学SAS知识和生活实例的关联，进一步理解SAS判定，培养学生的模型观念和应用意识.
3.如下图．则∠C＝
【题目分析与设计意图】本题源自课本第43页习题14.2第2题，巩固对基本事实“边角边”的理解及全等三角形性质的应用.培养学生推理能力.
4.已知：如图，．求证：
【题目分析与设计意图】本题源自课本第59页复习题14第4题，从旋转的视角强化对基本事实“边角边”的理解，是一道全等判定的直接应用问题.学生需要利用角的数量关系找到证明全等的条件.提醒学生注意书写三角形全等条件时，要将对应边和角写全，不能只写一部分.培养学生推理能力、几何直观和应用意识.
5．如图，在和中，，（点，，，在同一条直线上）．求证：.
【题目分析与设计意图】本题改编自课本第60页复习题14第10题，从平移的视角巩固判定条件“边角边”.是对判定基本事实“SAS”和全等三角形性质综合应用.学生需利用线段的数量关系找到证明全等的条件，加深对“SAS”的理解.既强化巩固证明的思路，又提升逻辑推理素养.培养学生推理能力、几何直观和应用意识.
（二）能力提升
6．如图，与相交于点O，，若用“”说明，则还需添加的一个条件是（ ）
A． B．
C． D．
【题目分析与设计意图】本题考查学生抽象基本图形的能力.公共边是对应边，加上已知相等的对应角，学生需要找准对应边及对应角，再根据SAS补全条件即可.培养学生推理能力.
据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，
．则可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
【题目分析与设计意图】本题改编自课本第59页复习题14第4题，以实际问题为背景考查学生对“边角边”的掌握.由题意可知两个三角形有一边和一角对应相等，故可添加的条件是SAS中的另外一边.培养学生几何直观和应用意识.
8.如图所示的网格为正方形网格，则∠2-∠1= °

【题目分析与设计意图】本题综合考查SAS判定基本事实及外角和定理等考点，体现了知识的交汇．提升学生的逻辑推理、直观想象.
9.如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，AB∥CD,．求证：AD∥BC
【题目分析与设计意图】本题改编自课本第60页复习题14第10题.难度较大，考查综合应用所学知识解决问题的能力.本题对判定基本事实“边角边”和全等三角形性质、平行线判定的综合应用，需要学生具备良好的阅读能力和知识应用能力.先证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质得到对应角相等，再根据“内错角相等，两直线平行”来解决问题，本题学生可采用“由果索因”进行分析.要证明平行就需要证角相等，要证明角相等则需要证明这两个角所在的三角形全等，培养学生的推理能力和应用意识.