新人教八上数学第14章整式乘法与因式分解全章学案

14.1.1　同底数幂的乘法
学习目标
经历同底数幂乘法的运算性质的探索过程，能熟练运用法则进行计算.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本95-96页内容，并完成下列问题）
1.探究1：下面有四个整式，从中任选两个构造乘法运算：
，，
，
（1）你能写出哪些算式（只需列式，不需计算）
（2）试着将你写的算式分类，你认为整式的乘法有哪几种类型？
2.探究2：根据乘方的意义计算：
（1）（
）×（
）
＝（
）＝
（2）（
）×（
）
＝（
）＝
（3）（
）×（
）
＝（
）＝5（
）
思考：观察以上计算过程，你能发现什么规律吗？你能用一个式子来表达这个规律吗？
猜想：=_______（、都是正整数）.
3.探究3：你能证明上面发现的规律吗？
（
）×（
）＝（
）＝a（
）
4.探究4：计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
二、合作、交流、展示：
1.交流展示1：
理解同底数幂的乘法法则
（1）公式:
=_______（、都是正整数）.
（2）文字叙述：同底数幂相乘，底数
，指数
.
（3）公式推广：
=_______（、、都是正整数）
(4)【点拨】：指数做降级运算：
乘法加法
2.交流展示2：
下面的计算对吗？如果不对，怎样改正？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
3.交流展示3：
计算下列各式，结果用幂的形式表示.
（1）
（2）
讨论：底数互为相反数的幂的乘法如何计算？
三、巩固与应用
1.
计算：
（1）
（2）
2.光年是长度单位，1光年是指光经过一年所行的距离.光的速度大约是，一颗行星与地球之间的距离为100光年，若取一年大约为秒，则这颗行星与地球之间的距离大约为多少？
3.拓展提高：已知,，求的值.
14.1.2　幂的乘方
学习目标
经历幂的乘方的运算性质的探索过程，能熟练运用法则进行计算.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本96-97页内容，并完成下列问题）
1．回顾同底数幂的乘法法则：
=_______（、都是______）.
同底数幂相乘，底数
，指数
.
2.
表示_____个相乘，用式子表示：=
表示
个相乘，用式子表示为：=____×____×____×____
表示
个相乘，用式子表示为：=____×____×____×____
(、都是正整数).
3.
根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空：
（1）=××
=
=
=
（2）=(
)×(
)×(
)
=
=
=
（3）=(
)×(
)×(
)
=
=
=
4.通过上面的练习，你的发现了什么计算规律？
猜想：
5.你能根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质证明上述猜想吗？
证明:
6.计算:
（1）
（2）
（3）
（4）
二、合作、交流、展示：
1．归纳幂的乘方法则：
（、都是正整数）．
文字叙述:幂的乘方，底数
，指数
．
【点拨】：
指数做降级运算：乘方乘法
2.例题1：
计算：(1)
（2）；
（3）
（4）
解：
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
【点拨】：注意符号和运算顺序.
3.例题2:
计算(1)
(2)
.
4.幂的乘方法则的逆用
：
①====;
②==（m为正整数）
三、巩固与应用:
1．判断对错，错误的予以改正：
①（
）
②（
）
③（
）
④（
）
⑤（
）
⑥（
）
2．计算：
①；
②
③；
④
⑤
⑥
3.
拓展应用
(1)
如果=4，则=_____；
(2),
求
(3)已知,，求的值.
14.1.3　积的乘方
学习目标
1.
经历积的乘方的运算性质的探索过程，能熟练运用法则进行计算.
2.
能综合运用同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的性质进行计算.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本97页内容，并完成下列问题）
1.回顾同底数幂的乘法法则：
=_______（、都是_______）.
同底数幂相乘，底数
，指数
.
2.回顾幂的乘方法则:
＝
（、都是
）
幂的乘方，底数
，指数
．
3.
根据乘方的意义填空：
(1)
=
==
（2）=______________
=__________
__=
猜想：
.(是正整数)
4.你能根据乘方的意义证明上述猜想吗？
证明:
5.计算:
（1）；
（2）；
（3）
（4）
二、合作、交流、展示：
1．理解积的乘方法则：
.(是正整数)
文字叙述:
积的乘方，等于把积的
分别乘方，再把所得的幂
．
【拓展】：
.(是正整数)
【逆用】：
.(
是正整数)
2.例题1：下列计算是否有错，错在那里？请改正.
①
②
③
④
⑤
⑥
3.例题2:
计算(1);
(2)
.
【温馨提醒】：运算顺序:先乘方,再乘除,最后加减.
三、巩固与应用:
1．课本第104页习题第1、2题.
2．下列计算正确的是（
）.
A.
B.
C.
D.
3.与的值相等的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
拓展应用
(1)
(2)
(3)
已知:
求：和的值.
14.1.4(1)
单项式乘以单项式
学习目标
1．经历单项式与单项式的乘法法的探索过程,能熟练用法则进行运算．
2．培养观察、归纳能力，领会类比、转化思想.
学习过程
1.回顾幂的运算性质：
(1)
=_____（、都是正整数）。即：同底数幂相乘，底数
，指数
。
(2)
（、都是正整数）。即：幂的乘方，底数
，指数
。
(3)
（是正整数）。即：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
2．①
=（
×
）（
×
）
【运用了（
）律和（
）律】
=（
）
【根据同底数幂的乘法法则）】
②
=（
×
）（
×
）
=（
×
）
③
=（
×
）（
×
）（
）
=（
）
3．提问：通过上面的活动，你是如何计算的？你发现了什么规律？与同伴交流如何进行单项式乘以单项式的运算？
二、合作交流，探索新知：
1．归纳单项式乘以单项式的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2.例题：计算：
解：（1）
=(
×
)(
×
)(
×
)(
)
=
(2)
(3)
(4)
【点拨】：单项式乘法运算步骤及注意事项
系数相乘（注意先定号）
同底数幂相乘（注意指数相加）
单独字母照操
三、巩固与应用
1．判断对错，错误的予以改正：
①
（
）
②
（
）
③（
）
④（
）
⑤=
（
）
2．计算：
(1)3x2·5x3；
(2)4y·（－2xy2）；
(3)；
(4)；
(5)
(6)
【点拨】：
(1)单乘单法则适用于三个及以上的单项式相乘；
(2)混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减
3.
拓展应用
(1)
计算：
=
；
(2)计算：
14.1.4(2)单项式乘以多项式
学习目标
1．经历单项式与多项式的乘法法则的探索过程,能熟练用法则进行运算．
2．培养观察、归纳能力，领会类比、转化思想.
学习过程
1.回顾单项式乘以单项式法则：
单项式与单项式想乘，把他们的
、
分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则
作为积的一个因式。
计算：
①
②
③
④
2．回顾去括号法则：
括号前是“+”号：_________________
括号前是“—”号：_________________
3．问题　我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长米，宽米的长方形绿地，向两边分别加宽米和米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？
分析：一种方法是先求大长方形的长和宽，再求它的面积，即总面积为：________________
另一种方法是先分别求三个长方形的，再求它们的和，即总面积为：________________
所以：
=
根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？
(一)总结结论
单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的__
___，再把所得的积__
_。
即：
______________
【点拨】利用__________将单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与_______相乘的问题。
利用乘法分配律计算：
①
②
③
二、合作交流，探索新知：
例1：
例2：化简
（1）；
（2）
例3：解不等式：
三、巩固与应用
1．下列计算对吗？若不对，应该怎样改？
(1)
(2)
(3)
(4)
2.若，则的值为______
3．下列各式计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.计算：
①
②
③
5．先化简再求值，已知求的值
14.1.4(3)多项式乘以多项式
学习目标
1.让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.
2.经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，培养学生计算能力.
3.发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯
学习过程
一、课前导学：(学生自学课本100-101页内容，并完成下列内容)
1、回顾旧知识
(1)
单项式乘以单项式法则:
单项式与单项式相乘，把他们的
、___________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则
作为积的一个因式。
(2)
单项式乘以多项式的运算法则:
用单项式去乘多项式的__
___，再把所得的积__
_。
2、探究一：
问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长米，宽米的长方形绿地增长米，加宽米，求扩地以后的面积是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系
方法一：这块花园现在长_____米，宽_____米，因而面积为__________平方米.
方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的
( http: / / www.21cnjy.com )面积分别表示为：___
、____、__
__、_____，故这块绿地的面积为______
____．
所以有
__________
=__________________
.
探究二
①引导观察：等式的左边，把看成一个整体，转化为单项式与多项式相乘，请同学们试着做一做．
=(
)×(
)+(
)×(
)
=
+
+
+
②【归纳法则】：
多项式与多项式相乘：先用一个多项式的_
___乘另一个多项式的__
_，再把所得的积__
__．
简单计算
①
②
二、合作交流，探索新知：
例1、计算：
例2、先化简，再求值：
，其中
三、巩固与应用
1、①
②
③
④
⑤
2、解方程
3、解不等式：
14.1.5　整式的除法
学习目标
1.同底数幂的除法的运算法则及其应用，理解同底数幂的除法的运算算理.
2.单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用．
3.经历探索除法运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验发展有条理的思考及表达能力渗透数学公式的简洁美与和谐美．
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本102-104页内容，并完成下列问题）
1.写出同底数幂的乘法运算法则：______________________________.
2.填空：
(1)
(4)
(2)
(5)
(3)(6)
猜想：
(,，都是正整数，并且）
证明:
∵
∴
【结论】
同底数幂的除法的运算法则：
(，，都是正整数，并且）
文字叙述：
同底数幂相除,
,_______.
3.我们知道，当时，
又∵
∴当时，
规定：
（其中）
文字叙述：
任何不等于
的数的0次幂都等于
．
【想一想】：
底数为何要满足条件
4.计算：
﹦
﹦
﹦
【结论】
单项式相除,把
与
分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同
作为商的因式
5.计算：
=
=
=
【结论】
多项式除以单项式,先把这个多项式的
除以这个单项式，再把所得的商
.
【方法思想】：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式
二、合作、交流、展示：
例1.计算：
(1)
　
　(2)
(3)
例2.计算：
(1)
(2)
(3)
例3.计算：
(1)
(2)
三、巩固与应用:
1.下列运算正确的是(
)
A.
B.
C.D.
2.若则（
）
A.
B.
C.
D.
3.请举出商是的两个单项式(均含有字母)相除的例子:__________.
4.计算：
⑴
(2)
(3)
(4)
(5)
14.2.1　平方差公式
学习目标
1.会推导平方差公式，能够运用平方差公式进行简单计算.
2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，使学生逐渐掌握平方差公式，发展学生的符号感和推理能力
3.通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本107-108页内容，并完成下列问题）
1.多项式与多项式相乘的运算法则：　　　　　　　
2.探究：计算
(1)
　　　　　
(2)　　　　　　　　
(3)　　　　　　
(4)　　　　　　
仔细观察上述等式左、右两边的特点，你有发现什么规律？
等式左边是____________________，等式右边是______　　　　　　　
猜想：
　　　　　
证明你的猜想：
∵
＝______________________
＝______________________
∴
3．计算：
(1)
(2)
(3)
【分析】在⑴中，要把和2分别看成公式中的和，
即：
=
=
(2)
=
=
.
(3)
=
=
.
4.判断对错，并对错误进行改正。
(1)
(2)
二、合作、交流、展示：
1.平方差公式：
　　　　　　　
　　（、既可以表示数，也可以表示多项式）
文字叙述：
2.你能根据下图解释平方差公式吗？
请试一试？
3.例题：
例1：计算：
(1)102×98
(2)
注意：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行。
例2计算：
(1).
(2).
(3)
三、巩固与应用:
1．填空：
①
；　　②
2.等于（
）：
A.
B.0
C.
D.
3.运用平方差公式计算：
(1)
(2)
(3)
14.2.2　完全平方公式(1)
学习目标
1、会推导完全平方公式，能够运用完全平方公式进行简单计算.
2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，使学生逐渐掌握完全平方公式，发展学生的符号感和推理能力
3、通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性，体验
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本109-110页内容，并完成下列问题）
1．探究：计算
(1)==
　　　　
(2)==　
　　
(3)=＝　　　　　
(4)==　　　　　
仔细观察上述等式左、右两边的特点，你有发现什么规律？
等式左边是　　　　　　　　　，等式右边是　　　　　　　
猜想：=
　　　　　　　;　=
　　　　　　　　
证明你的猜想：
=
=
3.判断对错，并对错误进行改正.
(1)=
(2)=
(3)=
二、合作、交流、展示：
１.完全平方公式：
　　　　　　　
　　
（、既可以表示数，也可以表示多项式）
文字叙述：
　　　　　　　　
2.你能根据下图解释完全平方公式吗？请试一试？
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
由图（1）可得：　　　　　　　　　　　　　　　　由图（2）可得：　　　　　　
3.例题：
例１：运用完全平方公式计算：
(1)
(2)
(3)　　
(4)
(5)
思考：与相等吗？与相等吗？与相等吗？
例2.运用乘法公式计算：
(1)
(2)
(3)
例3.先化简，再求值：，其中
三、巩固与应用:
1.运用完全平方公式计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.先化简,再求值,其中.
14.2.2完全平方公式(2)
学习目标
1.添括号法则．
2.利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
3.利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
4.进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
5.鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高合作交流意识和创新精神．
学习过程
一、课前导学：（自学课本第111页，完成下列问题）
1、平方差公式：
；
完全平方公式：
；
；
2、去括号法则：
去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，______
__________；
如果括号前是负号，去掉括号后，________
_______________．
也就是说，遇“___”不变，遇“___”都变．
3、先去括号，再计算
(1)
(2)
(3)
(4)
4、反过来，
(1)
(2)
添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，
；
如果括号前面是负号，
．
也就是：遇“
___”不变，遇“___”都变．
5、在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验.
(1)
(2)
(3)
(4)
6、判断下列运算是否正确．
(1)
(2)
(3)
(4)
【归纳】：添括号法则是去括号法则反过来
( http: / / www.21cnjy.com )得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
二、合作、交流、展示：
例1：运用乘法公式计算：
(1)
(2)
例2：运用乘法公式计算：
(1)
(2)
三、巩固与应用
1、选择题：
(1)应等于（
）
A.
B.
C.
D.
(2)下列添括号正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2、在括号里填上适当的项：
(1)
(2)
(3)
3、运用乘法公式计算：
(1)
(2)
14.3.1因式分解与提公因式法
学习目标
1.理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2.
熟练运用提取公因式法分解因式。
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本114-115页内容，并完成下列问题）
1．用简便方法计算：
=
2.
类比猜想：
=
3.填空：
(1)(
)
(2)(
)
【归纳】：
因式分解的定义：
把一个
化成几个
的
的形式。
4.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A.
B.
C.
D.
5.公因式的定义：多项式中的每一项都含有一个相同的因式____，我们称之为________.
6.提公因式法定义：
利用分解因式的方法叫提公因式法。
7.把下列各式分解因式:
(1)
(2)
二、合作、交流、展示：
1．
讨论因式分解与整式乘法的关系：
积
和差
2.例1：下列各式从左到右的变形，哪个是因式分解。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3.如何找公因式:
(1)每项都含有
，
是这个多项式的公因式。
(2)每项都含有
，
是这个多项式的公因式。
找公因式三字诀“大同低”：系数的最大公因数，相同字母（或式子）的最低次幂。
4：例2：把分解因式。
【变式】：把分解因式。
【温馨提醒】：多项式首项为负时，必须先提出“－”号。
5.例3：把分解因式。
【变式】：把分解因式。
三、巩固与应用
1.下面从左到右的变形是分解因式的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.多项式各项的公因式是（
）
A.
B.
C.
D.
3.课本115页练习1、2、3
4.分解因式:
(1)
(2)
(3)
5．拓展（选做）：
把分解因式；
14.3.2(1)用平方差公式分解因式
学习目标
1.会用平方差公式分解因式，掌握因式分解的一般步骤。
2.培养逆向思维能力，领会整体、转化思想。
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本第116页内容，并完成下列问题）
1.因式分解定义：
把一个
化成几个
的
的形式。
2.计算：
(1)=
；
(2)=
；
(3)=
__.
3.利用上题结果分解因式：
=
；=
；=
。
4.因式分解的平方差公式：
.
5.把下列各式因式分解：
(1)
=(____＋____)(____—____)
(2)
=［______＋_______］［______—______］
=
。
6.分解因式：（
+
）（
－
）
二、合作、交流、展示：
1．平方差公式：
思考：
(1)公式左边和右边各有什么特征？
(2)公式中的字母、可以表示什么？
(4)语言叙述：
两个数的
，等于这两个数的
与这两个数的
的
。
2.判断下列各式哪些可以用平方差公式分解因式？
①
②
③　　　④
3.你能把下列的数或式写成幂的形式吗？
(1)(
)；
(2)(
)；
(3)(
)；
(
)；
(
)；
(
)。
4.例1
分解因式：
(1)
(2)
【点拨】：
(1)分解因式要分解到每个多项式因式不能再分解为止；
(2)分解因式首先要考虑提公因式。
5.例2
分解因式：
三、巩固与应用
1.下列各式中，能用平方差分解因式的是(
)
A．
B．
C．
D．
2.
下列分解因式是否正确：
（1）
（2）
（3）
（4）
3.分解因式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
4.在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形,求余下的纸片的面积。
( http: / / www.21cnjy.com )
5.已知,,求的值.
14.3.2（2）用完全平方公式分解因式
学习目标
1.理解完全平方式的特征，能运用完全平方公式分解因式。
2.能综合运用提公因式法与公式法分解因式。
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本117-118页内容，并完成下列问题）
1.因式分解定义：把一个
化成几个
的
的形式。
注意：因式分解与整式乘法是互逆关系。
2.计算：
=
；
=
；
=
__
；
=
__
.
3.利用上题结果分解因式：
=
；
=
；
=
；
=
.
4.完全平方式:
形如
的式子叫做完全平方式.
5.因式分解的完全平方公式：
，
.
6.用完全平方公式分解因式：
=
=
=
=
7.分解因式：
二、合作、交流、展示：
1.完全平方式：形如的式子叫做完全平方式。
文字叙述：首平方，尾平方，积的两倍在中央。（只有积的两倍可能为负号）
2.因式分解的完全平方公式：
，
文字叙述：两个数的
加上（或减去）这两个数的积的
，等于这两个数的
（
）的平方。
3.例题1
分解因式:
(1)
(2)
思考:
、
、哪个能用完全平方公式分解？
5.例题2
分解因式:
(1)
(2)
【点拨】
1.理解公式中字母的广泛含义，领会整体思想；
2.分解因式首先考虑提公因式。
三、巩固与应用
1.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是(
)
A．
；
B．；
C．；
D．
2.若是完全平方式，则的值为
。
变式：若加上一个单项式后是完全平方式，则加上的单项式为
。
3.课本第119页练习1、2题。
4.分解因式（选做）：
(1)
(2)
(3)
5.拓展（选做）：
整式的最小值为
.