八年级第十五章分式导学案（全章）

15.1.1　从分数到分式
学习目标
1.掌握分式概念，掌握分式有意义的条件和值为零的条件，能用分式表示数量关系.
2.经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，体验类比的数学思想.
3.体验数学活动充满着探索和创造，体会分式模型思想.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本126-127页内容，并完成下列问题）
1.单项式和多项式统称
.
2.表示
÷
的商，可以表示为
.
3.填空：
⑴长方形的面积为，长为7，宽应为
；长方形的面积为，长为，宽应为
.
⑵把体积为的水倒入底面积为的圆柱形容器中，水面高度为
；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为
.
思考：式子，，，有什么共同点？
答：
它们与分数有什么相同点和不同点？
答：相同点：
，不同点
【定义】一般地，形如的式子叫做分式，其中和均为
，中含有
.
5、⑴当
时，分式有意义；
⑵当
时，分式有意义；
⑶当
时，分式有意义；
⑷当＝
时，分式无意义
【结论】分式有意义的条件是
；分式无意义的条件是
.
6、当=
时，分式值为零；
当=
时，分式值为零
【结论】分式值为零的条件是__________.
二、合作、交流、展示：
1.问题：一艘轮船在静水中的最大航速为2
( http: / / www.21cnjy.com )0千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
2.例题：
例1下列各式中，哪些是分式，哪些整式？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
注意：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别.
例2.当为何值时，下列分式有意义.
（1）
（2）
（3）
（4）
例3当为何值时，下列分式的值为零
（1）
（2）
（3）
⑷
思考：分式的值可能为0，为什么？
三、巩固与应用:
1.填空；
⑴走一段长10千米的路，步行用了小时，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少为0.2小时，骑自行车的平均速度为
.
⑵甲完成一项工作需t小时，乙完成同样工作比甲少用1小时，甲乙的工作效率是
⑶小李要打一份12000字的文件，第一天他
( http: / / www.21cnjy.com )打了2
h，打字速度为字每分钟w字/min，第二天他打字的速度比第一天快了10字/
min，两天打完全部文件，第二天他字用的时间为
2、下列各式中，分式的有
，
是整式的有
；
①，②，③，④，
⑤，⑥，⑦，
⑧，⑨
3、下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
15.1.2(1)　分式基本性质
学习目标
1.理解分式的基本性质和分式的变号法则.
2.会用分式的基本性质将分式约分.
3.经历探索分式的基本性质的过程，体验分式变形的方法，体验类比的数学思想.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本129-131页内容，并完成下列问题）
1.因式分解中平方差公式:
，完全平方公式:
.
2.把下列各式分解因式：
(1)＝
(2)＝
(3)＝
3.填空：
⑴,
,
(其中a≠0
),
(其中a≠0
).
分数的基本性质：
.
4.【思考】类比分数的基本性质，你能猜想分式的有什么性质？
分式的基本性质：
用式子表示为
(1)＝
(2)＝
5.填空：
(1)
(2)
(3)
(4)
⑸(6)
6.(1)
(2)
【定义】与分数的约分类似，利用分式的基本性质，我们可以对分式进行约分.
把一个分式的分子和分母中的
约去，叫做分式的约分.
【定义】把一个分式约分后，分式中的分子和分母没有公因式，
这样的分式叫做
.
7.把下列分式进行约分：
(1)
(2)
(3)
(4)
二、合作、交流、展示：
1.分式的基本性质：
分式的分子、分母乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
可用式子表示为：
＝
＝（思考：为什么）
2．例题
例1.填空：
(1)=
(2)
(3)
(4)
例2.约分：
(1)
(2)
(3)
(4)
注意：1、约分的关键步骤是确定分子与分母的公因式，当分子或分母是多项式时，应先分解因式，然后再约分.
2、分式约分后的结果是最简分式或整式.
例题3.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
(1)
(2)
(3)
(4)
仔细观察，思考：分子、分母、分式本身的三个符号中，同时改变几个符号，分式值不会改变？
15.1.2(2)分式的基本性质
学习目标
1.理解最简公分母的含义.
2.灵活运用分式的基本性质进行分式的通分.
3.从分数通分到分式的通分，体验类比转化的数学思想.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本131-132页内容，并完成下列问题）
1．分式的基本性质：
.
2.填空：
(1)＝
(2)＝
(3)＝
.
3.把分数和通分：
＝
，
＝
.
4.利用分式的基本性质，把和化成分母都是的分式：
＝＝，
＝=
【定义】与分数的通分类似，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的
的分式，叫做分式的通分.
我们把分母叫做分式和的最简公分母，
思考：最简公分母与分母、之间有什么关系？
【定义】一般取各分母的
因式的
的积作公分母，它叫做最简公分母.
【方法】确定最简公分母的步骤：
(1)系数取：
；
(2)字母和因式取：
；(3)字母和因式的指数取
.
简称为“小、全、高”
5.指出下列分式分母的最简公分母，并把它们通分.
⑴和
解:最简公分母：
＝＝_________
＝＝__________
（2）和
解:最简公分母：
＝＝________
＝＝________
二、合作、交流、展示：
1.
确定最简公分母的步骤：
“小、全、高”！
“小”：
“全”：
“高”：
.
2.例题
例1、指出下列分式的最简公分，并通分：
(1)
与
(2)与
例2、指出下列分式的最简公分母并通分：
(1)与
(2)与
【方法】当分母是多项式时，先把分母分解因式后，再确定最简公分母.
例3、指出下列分式的最简公分，并通分：
(1)与
(2)与
15.2.1分式的乘法
学习目标
1.理解分式的乘除法法则，体会类比的思想．
2.会根据分式的乘除法法则进行简单的运算.
学习过程
一、课前导学：（自学课本第135-137页，完成下列问题）
1.约分
(1)=
(2)=
(3)=
(4)=
2.分数的乘除：
×=
×=
÷=×=
÷=×=
【分数的乘法法则】：
分数乘分数，用
作为积的分子，
作为积的分母．
【除法法则】：
除以一个
的数等于
这个数的
．
分式的乘除，猜一猜
×=，
÷=×=
【分式的乘法法则】：
分式乘分式，用
作为积的分子，
作为积的分母．
【分式的除法法则】：
分式除以分式，把除式的分子、分母
位置后，与被除数
．
2.填空
(1)
(2)=
(3)
(4)=
3.问题1、一个水平放置的长方体容器，其容积为，底面的长为，宽为，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？(提示：这个长方体容器的高怎么表示？)
4.问题2、大拖拉机天耕地，小拖拉机天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
分析:大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？
二、合作、交流、展示：
例1.分子、分母为单项式的分式乘除
(1)·
(2)
【收获】：(1)运算结果应约分到最简;
(2)分式除法应：“变除为乘，除式颠倒”;
(3)运算中，分式的乘除运算跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果.
例2：分子、分母为多项式的分式乘除
(1)
(2)
【收获:(1)遇到分子、分母为多项式时，先将多项式分解因式，以便约分;
(2)运算结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘，是不必把它们展开的。
(3)运算中遇到整式，可看成分母是1的分式。
三、巩固与应用
1.
2.
3.
15.2.1分式的乘方
学习目标
1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.
2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.
学习过程
一、课前导学：（自学课本第138-139页，完成下列问题）
1.分式的乘除混合运算
(1)
(2)
(3)
(4)
2.(1)美术课上需要一张边长为的正方形卡纸，它的面积为
(2)一个正方体的容器，它的棱长为，它的容积为
3.根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算=
=
=
=
思考：分式的乘方法则：
=_____________
分式乘方要把
、
分别乘方.
4.计算
(1)
(2)
(3)=
二、合作、交流、展示：
例1：计算
(1)
(2)
练习:
(1)
(2)
三、巩固与应用
1.判断下列各式是否成立，并改正.
(1)
(2)
(3)
(4)
2.(1)
(2)
3.已知,则（
）
A.12
B.9
C.6
D.3
4.已知，求的值。
15.2.1
分式的加减(1)
学习目标
1.理解并运用分式的加减法法则，体会类比思想．
2.通过实际问题的提出，引导学生自己解决问题，采用类比的方法，帮助学生自己总结知识点．
学习过程
一、课前导学：（自学课本第139-141页，完成下列问题）
1.通分：
(1)
(2)
2.分数的加减法：
3.类比分式的加减法，猜想分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母
，把分子
；
异分母分式相加减，先
，变为
的分式，再加减．
；
3.练一练
(1)
(2)
(3)
(4)
4.问题1
甲工程队完成一项工程需
天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
(1)甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
(2)乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
(3)甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
6、问题2.
2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：）分别是,,,2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了多少？
(1)2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？
(2)2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
二、合作、交流、展示：
例题讲解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【收获】
(1)整式可以看成是分母为1的分式;
(2)分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；
(3)若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母.
15.2.2　分式的加减(2)
学习目标
会进行简单的分式的四则混合运算，能利用分式运算解决简单的实际问题.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本141页内容，并完成下列问题）
1.分式的乘除法法则：
=
，=
.
2.分式的加减法法则：
，=
.
3.分式的乘方法则：＝
.
4.分数混合运算的顺序：____________________
.
类比分数，分式的混合运算顺序：
____________________
.
5.计算下列各题：
(1)
(2)
6.计算：
二、合作、交流、展示：
1.例1：计算：
(1)
(2)
2.例2：先化简，再求值：
，其中,满足
3.
例3：
【温馨提醒】：分式混合运算顺序：先
再
后
，有括号先
.
三、巩固与应用
1.
先化简，再求值：，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．
2．先化简，再求值：，其中满足
3.已知,,将它们组合成或的形式，请你从中任选一种进行计算.先化简，再求值，其中.
15.2．3整数的指数幂(1)
学习目标
理解负整数指数幂的概念，掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数指数幂的运算.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本142-144页内容，并完成下列问题）
1.回忆正整数指数幂的运算性质：
(1)同底数的幂的乘法：
=_____（、都是正整数）；
(2)同底数的幂的除法：=
(,,都是正整数,并且）
(3)幂的乘方：
＝
（、都是正整数）；
(4)积的乘方：
(是正整数)；
(5)商的乘方：
=
.(是正整数)；
(6)0指数幂：（）.
2.【探究】负整数指数幂的运算性质:
(1),,发现
；
(2)当时，=
=
，
=
=
，
由此得到
：=
（）.
【归纳猜想】当是正整数时，
=
（）.
3.利用上述猜想计算：
=
=
=
=
=
二、合作、交流、展示：
1.【交流展示1】：负整数指数幂的运算性质:
当是正整数时，.
2.【交流展示2】：
幂的运算性质的推广幂的运算性质可以推广到整数指数幂：如
=_______（、都是整数）
验算：____________
________
______
3.例题1：计算
(1)
(2)
(3)
4.例题2：下列算式是否正确？为什么？
(1)
(2)
5.整数指数幂的运算性质化归为三条：
(1)（、都是整数）；
(2)（、都是整数）；
(3)（是整数）.
三、巩固与应用
1.已知,,,则,,的大小关系是（
）
A.＞＞
B.＞＞
C.＞＞
D.＞＞
2.若,,,
,它们的大小关系是(
)
A.＜＜＜
B.＜＜＜
C.＜＜＜
D.＜＜＜
3.计算
(1)
(2)
4.计算
(1)
(2)
(3)
15.2.3
整数的指数幂(2)
学习目标
进一步理解负整数指数幂的性质，会用科学记数法表示绝对值较小的数.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本95-96页内容，并完成下列问题）
1.回忆整数指数幂的运算性质：
(1)同底数的幂的乘法：
=_____（、都是正整数）；
(2)同底数的幂的除法：=
(,,都是正整数,并且）
(3)幂的乘方：
＝
（、都是正整数）；
(4)积的乘方：
(是正整数)；
(5)商的乘方：
=
.(是正整数)；
(6)0指数幂：（）
(7)(,是正整数)
2.
用科学记数法表示下列各数：
(1)98900=
(2)-1352000=
(3)864000=
【归纳】用科学记数法表示一些绝对值较大的数：即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，1≤＜10.
【思考】的取值与整数位数有什么关系：
.
3.【探究】利用10的负整数次幂用科学计数法表示一些绝对值较小的数
(1)
,
(是正整数)
(2)0.0068=6.8×0.001
=6.8×
,
0.000034=3.4×0.00001
=3.4×
；
-0.000509=-5.09×0.0001
=-5.09×
.
【归纳】用科学记数法表示一些绝对值较小的数：即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中是负整数，1≤＜10
【思考】的取值有什么规律呢
.
二、合作、交流、展示：
1.科学计数法的定义：把一个数表示成的形式，其中是整数，1≤＜10.
2.用科学记数法表示下列各数：
(1)0.00003
(2)-0.0000064
(3)0.00314
(4)2013000
3.用小数表示下列各数
(1)=
(2)=
4.纳米（）是非常小的长度单位，．把1的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1的空间可以放多少个1的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
5．先化简，再求值：，其中.
三、巩固与应用
1.把0.00000000120用科学计数法表示为（
）
A.
B.
C.
D.
2.200粒大米重约4克，如果每人每天浪费一粒米，那末约900万人口的赣州市每天浪费大米（用科学计数法表示）(
)
A．180000克
B．克
C．克
D．
3.一枚一角的硬币直径约为0.022,用科学技术法表示为(
)
A.
B.
C.
D.
4.计算：
5.已知:的值.
15.3分式方程（1）
学习目标
1.理解分式方程的意义.
2.了解解分式方程的基本思路和解法.
3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法。
一、课前导学：（自学课本第149—151页，完成下列问题）
1.解方程：
2.解一元一次方程的步骤：
3.问题：一艘轮船在静水中
( http: / / www.21cnjy.com )的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设水流的速度是千米/时．
(1)轮船顺流航行速度为
千米/时,逆流航行速度为
千米/时．
(2)顺流航行100千米时间为
小时;逆流航行60千米时间为
小时.
(3)根据题意可列方程为：
4.想一想：与方程相比，方程有什么不同？
◆分式方程：
的方程叫分式方程.
5.类比方程的解法，解方程
二、合作、交流、展示：
例1：解方程
【增根】：在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原分式方程的解叫做增根。增根的特征：
1、它使分式的分母为零，使最简公分母值也为零；
2、它使整式方程成立；但不适合分式方程.
【归纳】解分式方程的一般步骤：
1、化；2、解；3、验；4、写。
例2：解方程
三、巩固与应用
1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
分式方程有：
；
整式方程有：
.（填写序号）
2.解下列分式方程
(1)
(2)
3.已知分式与分式的值互为相反数，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.无解
4.若关于的方程无解，则=
15.3分式方程(2)
学习目标
1.会分析题意找出等量关系；
2.会列分式方程解决实际问题；
学习过程
一、课前导学：（自学课本第152—153页，完成下列问题）
1.列方程解决实际问题的方法和步骤：
( http: / / www.21cnjy.com )
；
2.解分式方程
3.我们所学过的应用题类型：
(1)行程问题:
；
(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题:___________________；
(4)顺水逆水问题
顺水速度=
；
逆水速度=
.
二、合作、交流、展示：
例1.两个工程队共同参加一项筑路工
( http: / / www.21cnjy.com )程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
【分析】：甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的
，乙队半个月完成总工程
，两队半个月完成总工程的
.
解：
【归纳】：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.
等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1
例2、某列列车平均提速千米/时。用相同的时间，列车提速前行驶千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
【分析】：这里的字母，表示已知数据，设提速前的平均速度为千米/时，则提速前列车行驶千米所用的时间为
小时，提速后列车的平均速度为
千米/时，提速后列车行驶（＋50）千米所用的时间
小时。
等量关系是：
。
三、巩固与应用
1.课本P154页练习；
2.甲、乙分别从相距36千米的、两地同时相向而行．甲从出发到1千米时发现有东西遗忘在地，立即返回，取过东西后又立即从向行进，这样二人恰好在中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．
3.要在规定的日期内加工一批机器零
( http: / / www.21cnjy.com )件，如果甲单独做，恰好在规定的日期内完成，如果乙单独做，
则要超过规定如期3天才能完成，现甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定的日期是多少天？
4.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地
( http: / / www.21cnjy.com )，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
15.3　分式方程(3)
学习目标
1.掌握分式方程的解法步骤，能熟练的解分式方程。
2.进一步学习利用分式方程求解实际问题.
3.体验数学在实际生活中的应用，体验化归转化的数学思想.
学习过程
一、课前导学：（学生自学课本152－153页内容，并完成下列问题）
1.解分式方程的步骤是：
2.行程问题中，路程、速度、时间之间的数量关系是：
.
3.工程问题中，工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是
。
4.顺水、逆水航行问题中，船在静水中的速度、水流速度、顺水的速度、逆水的速度
之间的关系是
.
5.张老师和李老师同时从学
( http: / / www.21cnjy.com )校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？
设李老师每小时走千米，依题意，得到的方程是：（
）
A.
B.
C.
D.
6.若分式与
的值相等，则字母的值是
.
7.解分式方程：
二、合作、交流、展示：
1.例1：甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时,甲的速度是我的1.2倍”．
根据图文信息，请问哪位同学获胜？
2.例2：
烟台享有‘苹
( http: / / www.21cnjy.com )果之乡”的美誉．甲，乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果.甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍销售，剩下的小苹果以高于进价的10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大，小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）.
问：（1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算.
【思路分析】根据题中的等量关系建立数学模型，
（1）设苹果进价为每千克元，根据大、小苹果的利润和等于2100元列出分式方程进而求解.注意所得结果要进行双检.
（2）先求出所有苹果的质量以及大、小苹果的售价从而用总质量乘以每千克的利润求出乙超市的利润，再与甲超市的利润进行比较大小.
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