6.1 平面向量的概念 课件(共60张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共60张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 向量的实际背景与概念
1 数量与向量
在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量（向量不能比较大小），而把只有
大小没有方向的量称为数量（数量可以比较大小）.
. .
. .
2 向量的二要素
向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征.
辨析比较
向量与矢量
数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、速度、加速度等）抽象出来的，
但在这里我们仅考虑它的大小和方向；而物理中的这些量，既同时具备大小和方向
这两个属性，又具备其他属性（如“力”是由大小、方向、作用点共同决定的）.
学思用·典例详解
【想一想丨问题质疑】
问题1： 给出下列物理量：①质量；②路程；③密度；④功;⑤时间.它们是向量吗？
为什么？
提示 它们不是向量，因为质量、路程、密度、功、时间只有大小没有方向，所以
是数量.
问题2： 海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，
那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？
提示 海拔不是向量，它只有大小没有方向.温度也是只有大小没有方向，不是向量.
海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向.
知识点2 向量的几何表示
1 有向线段的相关内容
概念
概念
图6.1-1
. .
. .
长度
三要素 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向
和长度,它的终点就唯一确定了.
续表
. .
辨析比较
有向线段与向量的区别和联系#1.1.1
区别 （1）从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方
向、长度三个要素.因此，这是两个不同的量.
（2）在平面内，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的.
联系 向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，也不能说有向线段是向
量.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段.
2 向量的表示
方法 形式
几何表示
字母表示
. .
3 向量的长度
向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.向量 的长度在数值
上等于线段 的长度,因此向量的长度（【易错点】向量不能比较大小，但向量的长
度可以比较大小）是非负实数.
4 两种特殊的向量
零向量：长度为0的向量，记作 （印刷用黑体，书写用 ，注意区分）.
（【对比理解】注意0与的区别及联系，0是一个实数，是一个向量，且有 ）
单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
. .
. .
. .
特别提醒
向量相关概念的理解
1.定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向.其实，任何向量都
具有大小和方向，零向量的方向是任意的，而单位向量在平面上每个方向上都存在着.
2.当有向线段的起点与终点重合时， .
3.在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半
径为1个单位长度的圆.
例2-1 如图6.1-3，，是线段 的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，
可以写出____个向量．
12
图6.1-3
【解析】由向量的几何表示知，可以写出的向量如下：,,,,,, ,
, ,,, ，共12个.
例2-2 [多选题]下列说法正确的是( )
AC
A.向量与向量 的长度相等
B.有向线段就是向量，向量就是有向线段
C.零向量的方向是不确定的
D.单位向量的方向是任意的
【解析】向量与向量的长度都等于线段 的长度，故A正确；
有向线段是向量的几何表示，二者并不相同，故B不正确；
零向量的方向是任意的，因此零向量的方向是不确定的，故C正确；
单位向量有无数个，它们的长度相等，但方向不一定相同（单位向量的方向并不是
任意的），每个方向上都有单位向量，故D不正确．
. .
例2-3 [教材改编P4 T3]指出图6.1-4中哪些是单位向量（每个小方格的边长为1）.
图6.1-4
【解析】不难看出,,其余向量的模均为1，因此单位向量有：, ,
， .
例2-4 小明从学校的教学楼出发,向北走了到达图书馆, 后从图书馆向南偏
东 方向走了 到食堂就餐,用餐后又从食堂向西走了 来到操场运
动.请用向量表示小明每次的位移以及从开始到最后的位移.
图6.1-5
【解析】如图6.1-5所示，
向量 表示从教学楼到图书馆的位移;
向量 表示从图书馆到食堂的位移;
向量 表示从食堂到操场的位移；
向量 表示从开始到最后的位移.
知识点3 相等向量与共线向量
1 平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行，记作 ．
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量,都有 .
2 相等向量
（1）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量与相等，记作 .
（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段
的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向
量完全由它的模和方向确定.
（3）零向量与零向量相等，即 .
. .
. .
3 共线向量
图6.1-2
由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平
行移动的.也就是说，任一组平行向量都可以平移到
同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
如图6.1-2（1），,, 是一组平行向量，任作
提示
表示共线（平行）向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以在平行的直线上.
一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在上分别作出 ,
, ，如图6.1-2（2）.
特别提醒
对共线（平行）向量的四个提醒
1. 理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直
线不包括重合的情况，而平行向量是可以共线的．
2. 共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含
义．实际上，共线（平行）向量有以下四种情况：
显然共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
. .
3.对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论 .
4.向量相等具有传递性，即若,,则 .而向量的平行不具有传递性，
即若,,未必有.因为零向量平行于任意向量，那么当时，, 可以
是任意向量，所以与不一定平行.但若，则必有, .因此，解
答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.
. .
. .
4 用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
（1）利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且
相等（【关键点】需说明向量所在的直线无公共点）．
（2）利用向量共线可以证明直线与直线平行.
（3）利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多
点共线（【小结论】若,则,, 三点共线）等．
. .
. .
. .
. .
. .
例3-5 [教材改编P5 T2]如图6.1-6，找出其中相等的向量.
图6.1-6
【解析】不难看出,, .
例3-6 如图6.1-7所示，找出其中的共线向量，并写出共线向量的模之间的关系.
图6.1-7
【解析】不难看出且 ,
且 ,
且 .
例3-7 (2025·湖北省部分高中期中)下列说法中正确的是( )
D
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.若向量与都是单位向量，则
C.模相等的两个平行向量是相等向量
D.若两个向量相等，则它们的模相等
【解析】对于A， 向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一
定相同， 错误；
对于B，与都是单位向量，则，但它们的方向不一定相同， 错误；
对于C，模相等的两个平行向量的方向
可能相同，也可能相反，即模相等的两个平行向量不一定是相等向量，
错误；
对于D，两个向量相等，则它们的模相等，D正确．
图6.1-8
例3-8 如图6.1-8，点在的边上，且与,不重合，,
分别在,上， .
求证： .
【解析】 ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
， .
由,得 .
.
解题课丨关键能力构建
题型1 向量的几何表示
例9 [教材改编P5 T1]在图6.1-9所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1）画出下列向量:
图6.1-9
（1）,使,点在点北偏东 方向上;
【解析】由于点在点北偏东 方向上,所以在坐标纸上点距点 的横向小方格
数与纵向小方格数相等.又,小方格的边长为1,所以点距点 的横向小方格
数与纵向小方格数都为4,于是点的位置可以确定,画出向量 ，如图6.1-10所示.
（2）,使,点在点 正东方向上;
【解析】由于点在点正东方向上,且,所以在坐标纸上点距点 的横向小
方格数为4,纵向小方格数为0,于是点的位置可以确定,画出向量 ，如图6.1-10所示.
图6.1-10
（3）,使,点在点北偏东 方向上.
【解析】由于点在点北偏东 方向上,且 ,依据勾股定理可得，在坐标纸
上点距点的横向小方格数为3,纵向小方格数为,于是点 的位置可以确定,
画出向量 ，如图6.1-10所示.
例10 飞机从地按北偏西 的方向飞行到达地，再从地按南偏东
的方向飞行到达 地，求该飞机飞行的路程和位移.
图6.1-11
【解析】如图6.1-11所示，表示飞机从地按北偏西 方向
飞行到 地的位移，
则 .
表示飞机从地按南偏东 方向飞行到 地的位移，
则 .
所以该飞机飞行的路程为 .
表示飞机从地到地的位移，在中， ，且
,则为等边三角形，所以 ,
，则 .
因为 ,所以地在地北偏东 方向上，且距离地 .
易错警示 路程是指物体运动轨迹的长度，只有大小，没有方向，是一个数量；而
位移只与物体移动的起点和终点有关，既有大小又有方向，是一个向量.因此不能将
位移与路程等同起来.
作向量的思路
用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定有向线
段的终点.必要时,需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度,选择合适的比例
关系作出向量.
理解位移的关键点
1.位移表示质点位置的变化，表示起点与终点间的位置关系，而与质点实际运动的
路线无关.
2.从两个不同点出发的位移，只要方向相同，大小相等，我们就把它们看成相等的位移.
【学会了吗丨变式题】
1.一个人从点出发沿东北方向走了到达点，然后改变方向，沿南偏东
方向又走了到达点 ．
（1）画出，， ；
【答案】，， 如图D 6.1-1所示.
图D 6.1-1
（2）求 |．
【答案】因为, ，
所以为正三角形，故 .
题型2 向量相等或共线
图6.1-12
例11 如图6.1-12所示，的三边长均不相等，,, 分别是
，， 的中点.
（1）写出与 共线的向量;
【解析】,分别是，的中点， ,
与共线的向量为,,,,,, （【防遗漏】找
一个向量的共线向量时，切勿忽视与其方向相反的向量）.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
（2）写出与 长度相等的向量；
【解析】,,分别是,, 的中点，
, （【知识回顾】三角形中位线定理）,
.
,, 均不相等，
与长度相等的向量为,,,, （【注意点】切勿忽视与其长度相等但
方向相反的向量）.
（3）写出与 相等的向量.
【解析】与相等的向量为， （【注意】相等向量必须满足两个条件：方向
相同，长度相等）.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
在平面图形中寻找共线、相等向量的方法
1.在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直
线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向
量，方向相同但长度不等的有向线段表示不同的共线向量．
2.相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出
长度相等且方向相同的共线向量即可．
注意:判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向
量是否相等不仅要看两向量所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相
等、方向是否相同．
在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四
边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系.#2.1.4
【学会了吗丨变式题】
图6.1-13
2.如图6.1-13，四边形 是边长为3的正方形，把各边三等分后，
共有16个交点，从中选取两个交点分别作为向量的始点和终点，则
与平行且模为 的向量的个数是___.
8
图D 6.1-2
【解析】如图D 6.1-2所示，满足条件的向量有，， ，
，，，， ，共8个.
图6.1-14
3.［教材改编P4例2］(2025·辽宁省沈阳市月考)如图6.1-14，
是正六边形的中心，且， ，
．在以，，，，，， 这七个点中任意两点
为起点和终点的向量中，问：
（1）与 相等的向量有哪些？
【答案】根据相等向量的定义及正六边形的性质，
可得与相等的向量有，， .
（2） 的共线向量有哪些？
【答案】根据共线向量的定义及正六边形的性质，可得的共线向量有,, ,
,,,,, .
（3）与 的模相等的向量有哪些？
【答案】根据向量的模的定义及正六边形的性质，
可得与的模相等的向量有，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，，，， ．
题型3 用向量关系研究几何图形的性质
例12 如图6.1-15，已知四边形中，，分别是,的中点，且 .求
证： .
图6.1-15
【解析】由可知且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以且 ，
又,分别是, 的中点，
所以且 ，
所以四边形是平行四边形,故 .
名师点评 若，且,,,四点不共线，则四边形 为平行四边形;若四
边形为平行四边形,则.因此“”是“四边形 为平行四边形”
的必要不充分条件.
例13 已知在四边形中，，且， ，判断四边形
的形状.
思路点拨 如图6.1-16,和是相等向量，说明,则可以判定四边形
是平行四边形，再根据给出的正切值可以求出 ，进而判断出四边形
是菱形．
【解析】
图6.1-16
在四边形中， ，
, 四边形 是平行四边形．
,, .
又，是等边三角形，，故四边形 是菱形．
利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法
1.证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度（模）相等.
2.证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不重合.
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.正边形有条边，它们对应的向量依次为,,， ，，则这 个向量( )
D
A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等
【解析】正边形的边长相等，故这 个向量的模相等.
2.［教材改编P4例2］(2025·广东省深圳市段考)设是正六边形 的中心，则
下列选项中与 相等的向量为( )
D
A. B. C. D.
【解析】四个选项中只有向量与 的长度相等且方向相同.
3.(2025·湖北省黄冈市期中)下列命题中正确的是( )
D
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.若，则， 不是共线向量
C.零向量没有方向
D.若，是两个平行向量，则， 也是共线向量
【解析】对于A，两个向量大小相等，方向相同即为相等向量，A错误；
对于B，若向量，的模相等，且方向相反，满足，但此时， 是共线向量，
B错误；
对于C，零向量的方向是任意的，C错误；
对于D，平行向量又称共线向量，D正确.
4.如图6.1-1,等腰梯形中，对角线与交于点，点，分别在两腰 ，
上，过点，且 ，则下列等式成立的是( )
图6.1-1
D
A. B. C. D.
【解析】根据相等向量的定义，
A中,与 的方向不同，故A错误;
B中，与 的方向不同，故B错误;
C中，与 的方向相反，故C错误;
D中,与的方向相同，且长度都等于线段 长度的一半，故D正确.
5.[多选题](2025·甘肃省张掖市期中)下列能使 成立的充分条件是( )
ACD
A. B. C.与方向相反 D.或
【解析】对于A，由，可得 ，所以A正确；
对于B，由知，, 两向量的模相等，但方向不能确定，所以B错误；
对于C，由与方向相反，知向量与共线，所以 ，所以C正确；
对于D，由或，得到或，即向量与至少有一个为 ，根据
与任意向量共线，可得 ，所以D正确.
故选 .
6.[多选题]下列命题正确的是( )
BCD
A.若，，则
B.若，，则
C.若向量与不共线，则与 都是非零向量
D.若非零向量与共线，则，， 三点共线
【解析】对于A，取，则，，但， 不一定平行，平行向量不具有传
递性，故A错误；
对于B，，，根据相等向量具有传递性，得 ，故B正确；
对于C，若与中至少有一个为零向量，则与 共线，故C正确；
对于D，与共线，且，有公共点，则，， 三点共线，故D正确.故选
.
7.用向量表示小船的下列位移：
（1）由地向东北方向航行到达 地；
【答案】小船由地向东北方向航行到达地的位移用向量 表示，如图D
6.1-1（1）所示.
图D 6.1-1
（2）由地向北偏西 方向航行到达地,再由地向正南方向航行 到
达 地.
【答案】小船由地经地到达地的位移用向量 表示,如图D 6.1-1（2）所示.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：20分钟
8.(2025·安徽省宿州市期中)已知,,,是平面内不共线的四点，则“ ”是“四
边形 为平行四边形”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为,,, 是平面内不共线的四点，
若，则有且，故四边形 为平行四边形；
若四边形为平行四边形，则有 .
故“”是“四边形 为平行四边形”的充要条件.故选C.
9.[多选题]已知与共线的向量，与长度相等的向量，与 长度相
等、方向相反的向量，其中 为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
ACD
A. B.} C. D. }
【解析】因为中除了含有与长度相等、方向相反的向量,还包含与 长度相等、
方向相同的向量，所以 ,所以A,C,D正确，B选项错误.
图6.1-2
10.如图6.1-2，是正三角形的中心，四边形和
均为平行四边形，则图中的向量与向量 相等的向量为____；
与向量共线的向量为________；与向量 的模相等的向量
为_________________.（填图中所画出的向量）
,
,,,,
【解析】是正三角形的中心， ，易知
四边形和四边形 均为菱形，
与相等的向量为 ；
与共线的向量为， ;
与的模相等的向量为，，，， .
11.如图6.1-3，在中，的平分线交于点.若的模为2， 的模为
3，的模为1，则 的模为__.
图6.1-3
【解析】如图D 6.1-2，过点作的平行线，交的延长线于点 .
图D 6.1-2
因为 ,
所以 .
因为,所以 ,
所以，故 .
12.如图6.1-4所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点,，点
为小正方形的顶点，且 .
图6.1-4
（1）画出向量 所有的可能情况;
【答案】画出向量所有的可能情况，如图D 6.1-3中，，， ，
，，， 所示.
图D 6.1-3
（2）求 的最大值与最小值.
【答案】由图D 6.1-3知，
①当点位于点或时，取得最小值，为 ;
②当点位于点或时，取得最大值，为 .
故的最大值为,最小值为