7.2 复数的四则运算 课件(共110张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共110张PPT)
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 复数的加法运算及其几何意义
1 复数的加法法则
设， 是任意两个复数，那么它们的和
（实部与实部相加，虚部与虚部相加）.
知识剖析 对复数的加法法则的理解
（1）两个复数的和仍然是一个确定的复数，但是两个虚数之和不一定是一个虚数，
如 .
（2）当时，即当， 都是实数时，两个复数的和就是两个实数的和.
（3）两个复数相加，类似于两个多项式相加.
. .
2 复数的加法满足的运算律
对任意,, ，有
（1）交换律： ；
（2）结合律： .
拓展 复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，
虚部分别相加.
3 复数加法的几何意义 （链接教材第75页【探究】）
图7.2-1
设，分别与复数, 对应,则
, .由平面向量的坐标运算法则，得
.
这说明两个向量与 的和就是与复数
对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形
法则）来进行（如图7.2-1），这就是复数加法的几何意义.
知识剖析 利用向量加法的三角形法则：两个复数分别对应两个向量，则可通过平移，
使第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，连接第一个向量的起点和第二个向
量的终点，所得向量就是两个复数的和对应的向量.
. .
学思用·典例详解
例1-1 [教材改编P77 T1]计算：
（1） ；
【解析】
.
（2） ；
【解析】
.
（3） .
【解析】
.
例1-2 (2025·河北省邯郸市期末)若复数满足，则 的虚部为
( )
D
A.14 B. C. D.5
【解析】由题意得，则 的虚部为5．
例1-3 ［教材改编P77 T2］在复平面内，设及分别与复数 及复数
对应，计算，并在复平面内作出对应的向量 .
图7.2-3
【解析】 .
在复平面内作出对应的向量 ,如图7.2-3所示.
知识点2 复数的减法运算及其几何意义
1 复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足
的复数叫做复数 减去复数
的差，记作 .
根据复数相等的含义，有,，因此， ，所
以，即 （实部与实
部相减，虚部与虚部相减）.这就是复数的减法法则.
. .
知识剖析 对复数的减法法则的理解
（1）两个复数的差是一个确定的复数,但是两个虚数之差不一定是一个虚数，
如 .
（2）两个复数相减，类似于两个多项式相减：把复数的代数形式看成关于“ ”的
多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了.
2 复数减法的几何意义 （链接教材第76页【探究】）
图7.2-2
两个复数, 在复平面内
对应的向量分别是,，那么这两个复数的差 对应
的向量是,即向量 （【助理解】两个复数的差可
对应两个向量的差，即可利用三角形法则求解）.
如果作,那么点对应的复数就是
（如图7.2-2所示）.
这说明两个向量与的差就是与复数 对应的向量.因
此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
特别提醒 复数减法的几何意义也可叙述为：连接表示两个复数对应的向量的终点
（起点相同的前提下），方向指向表示被减向量的终点的向量，就是两个复数的差
对应的向量.
. .
. .
. .
3 复平面内对应的点之间的距离
设复数, 在复平面内对应的点分别是
, ,则 ,又复数
,则 .
故，即表示复数, 在复平面内对应的点之间的距离.
学思用·典例详解
例2-4 已知复数，为虚数单位，在复平面内， 对应的
点在( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】， ，
，
故在复平面内对应的点 在第二象限．
图7.2-4
例2-5 (2025·山东省济南市测试)如图7.2-4所示，在复平面内，平行
四边形的顶点,,分别对应复数0,, .求：
（1）向量 对应的复数；
【解析】因为 ，
所以向量对应的复数是 对应的复数为
.
（2）向量 对应的复数.
【解析】因为,所以向量 对应的复数为
.
. .
例2-6 [教材改编P77 T4]复数与 在复平面内对应的点之间的距
离为_____.
【解析】由题意可知，, 在复平面内对应的点之间的距离为
.
知识点3 复数的乘法运算
1 复数的乘法法则
设， 是任意两个复数，那么它们的积
.
很明显,两个复数的积是一个确定的复数.特别地，当， 都是实数时，把它们
看作复数时的积就是这两个实数的积.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把
换成 ，并且把实部与虚部分别合并即可.
. .
2 复数乘法的运算律
对于任意,, ，有
（1）交换律： ；
（2）结合律： ；
（3）分配律： .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数，， 和正
整数，，有,, .
特别提醒 实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，
如：
（1）当时，有；当时，有,而，故和 未
必相等.例如，当时，,，此时 .
（2）当,时，有;当, 时,
，但 .
需注意：的充要条件是或 .依据复数的乘法运算可得
（知识点7有） 或
.
. .
. .
. .
3 复数与 的乘积 （此处是对教材第78页【 】的探究）
设,则 ，
所以 ，
利用此结论，在复数集中可以将分解为
因为，所以，即任一复数与其共轭复数 的乘积
等于复数或 的模的平方.
学思用·典例详解
例3-7 [教材改编P80 习题7.2 T3] ( )
D
A. B. C. D.
【解析】 .
例3-8 (2025·甘肃省临潭二中模拟)复数 的实部与虚部相等，则
实数 ( )
B
A.7 B. C.1 D.
【解析】 ,且该复数的实部与虚部相等,
，解得 ．
例3-9 [教材改编P78例3]计算 ．
【解析】 ．
例3-10 (2025·云南省云天化中学期中)复数的共轭复数为，且满足 ，
则 ( )
C
A.2 B. C.5 D.
【解析】设，则 ，
，
所以有, ，
解得, ，
即, ,
所以 .
（【另解】 ）
知识点4 复数的除法
1 定义
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满
足的复数叫做复数除以复数 的
商，记作或,,,,且 .
2 复数的除法法则
,,,,且 .
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
特别提醒 1.复数除法的一般做法：通常先把写成 的形式，再
把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即
. .
.
2.分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与根式除法时的
分母“有理化”的处理是类似的.
学思用·典例详解
例4-11 (2023·天津)已知是虚数单位，化简 的结果为______.
【解析】 .
例4-12 (2025·天津市塘沽一中期中)若复数，为虚数单位 是纯虚数，则
实数 的值为( )
A
A. B. C.4 D.6
【解析】 因为为纯虚数，所以
解得 ．
由题意可设且 ，
则 ，（转化为乘法）
根据复数相等，得
解得 .
释疑惑 重难拓展
知识点5 共轭复数的性质
（1） ;（利用此性质可证明一个复数为实数）
对于非零复数，是纯虚数 .（利用此性质可证明一个复数为纯虚数）
（2）若,则, .
（3）, .
（4） .
（5） .
学思用·典例详解
例5-13 设,是两个任意的复数，证明 .
【解析】
.
所以 .
知识点6 虚数单位 的乘方
对进行运算，，， ，
，， ，由此我们可以得出如下规律： ，
，，； .（此处是对
教材第95页【复习参考题7】第8题的深挖）
学思用·典例详解
例6-14 计算 ．
【解析】
.
知识点7 复数模的几何意义及相关性质
1 的几何意义
说明
该知识点常见于各类数学竞赛及强基自招，学有余力的同学可掌握.
（1）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的
点为圆心， 为半径的圆.
（2）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数 ,
的对应点, 为端点的线段的垂直平分线.#1.1.2
（3）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是以复数,的对应点, 为端点的线段.
（4）,当时，表示复数 在复平面内
对应的点组成的集合是分别以复数,的对应点,为端点的两条射线（以 为端
点的射线的方向与方向相同，以为端点的射线的方向与 方向相同）.
（对于（3），当时，复数不存在；当时，复数 在复平面内
对应的点的集合是椭圆.对于（4），当时，复数 在复平面内对应的点的
集合是双曲线；当 时，复数不存在.这将在选择性必修第一册中进行学
习）#1.1.5
2 复数模的性质
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
学思用·典例详解
例7-15 若复数满足，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
【解析】 设复数与复平面内的点相对应， 复数满足, 在
复平面内，复数对应的点 的集合为以原点为圆心、2为半径的圆，
表示复平面内点与点 之间的距离.
点到原点的距离为2， 点在点 的轨迹上，
的最小值是0，最大值是4.故取值范围是 .
， ,
，
.
知识点8 复数范围内一元二次方程的解
1 实系数一元二次方程的解
对于一元二次方程（，且，， （注意是实系数方
程）），
判别式 方程的解
方程有两个不相等的实根,
方程有两个相等的实根
方程有两个共轭虚根,
. .
2 复系数一元二次方程的解
若一元二次方程 为复系数（至少有一个系数为虚数）方程,则
不能用 来判断方程的根的情况,一般解法为:
①求判别式 的值（一般为虚数）;
②求“ 的平方根”（注意虚数没有平方根的概念，这里只是方便理解）,依据复
数相等的充要条件来求;
③由求根公式得原方程的根,其中, 不一定呈共轭形式,
但满足根与系数的关系.
. .
在复数范围内,一元二次方程求解方法除了上述公式法外，还可以通过以下方法
求解：
①配方法:将一元二次方程配成完全平方的形式,然后开方求解.
②待定系数法:设方程的根为 ，将此根代入方程
中，化简后利用复数相等的充要条件列出关于实数， 的方程
组来求解．
学思用·典例详解
例8-16 [教材改编P79例6]方程 的一个根是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 （公式法）,的平方根为 .
.
结合选项可知选A.
（配方法） 配方得，开方得 .
.
（待定系数法） 设方程的根为 ,
则 ,
即，
解得
.
点评 由本例可以知道，实系数一元二次方程的虚数根是成对出现的，且互为共轭
复数，因此给出已知实系数方程的一个根为,可知另一个根为 .
例8-17 已知关于的方程有实数根，则实数 的值为_ __.
【解析】设是原方程的实根，则 ，
即 ，
所以解得
解题课丨关键能力构建
题型1 复数的加、减运算
例18（1）计算: .
【解析】 .
（2）设,，,,且,求 .
【解析】,, ,
,
.
解决复数加、减运算的思路
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）.当多个
复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）.
【学会了吗丨变式题】
1.若复数满足，则 ( )
D
A. B.7 C. D.5
【解析】由得 ，
则解得则 .
题型2 复数加、减法的几何意义及其应用
例19 (2025·江苏省扬中市第二高级中学期末)已知在复平面内的平行四边形 的
顶点，，对应的复数分别为，1，，则 等于( )
B
A.5 B. C. D.
【解析】由题意得，，，则, ,所以
，所以 .
例20 ［多选题］非零复数,分别对应复平面内的向量， ，且
,线段的中点对应的复数为 ,则( )
AD
A. B.
C. D.
图7.2-5
【解析】如图7.2-5，由向量的加法及减法法则可知，
, .
由复数加法及减法的几何意义可知，对应 的模，
对应 的模.
又，所以四边形是矩形，则 .
又因为线段的中点对应的复数为,所以 ,所以
.
题型3 复数的乘、除运算
1 直接运算
例21（1） __________.
【解析】原式
.
（2）(2025·湖南省衡阳市月考)已知为虚数单位，则复数 可化简为
( )
A
A. B. C. D.
【解析】复数 ．
（3）［多选题］已知复数，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是
( )
AB
A. B.的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
【解析】 ,
，A正确;
,的虚部为 ,B正确；
,C错误;（实际上 是 的
根）
,
在复平面内对应的点在第三象限，D错误.
（【拓展】复数 具有如下性质：
（1）, ;
（2） ;
（3） ）
名师点评 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如
, ,
.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·河北省晋州市期中)若为虚数单位， ，
，且，则 在复平面内对应的点在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】， ，且
，，解得，则,故 在复平面内对应的点
为 ，在第四象限．
3.(2025·福建省厦门市期中)已知复数在复平面内对应的点的坐标为 ，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】复数在复平面内对应的点的坐标为，则 ，所以
．
2 基于方程思想下的运算
例22（1）(2025·河南省三门峡市期末)已知复数满足，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由可得 .
（2）(2025·湖南省株洲市期末)若，其中为虚数单位，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由复数，所以 .
（3）[教材改编P94 T6]已知，，若，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意可得， ，
，
则 ，
所以 .
名师点评 复数常见运算小结论
;
;
;
.
说明：结论的变形式可简单了解，不必记忆.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·江苏省南通市期中)已知是虚数单位，若，则 的
值是( )
B
A. B. C. D.1
【解析】 ，
，， ．
3 的乘方的应用
例23（1）已知为虚数单位，复数 的虚部为( )
C
A. B. C. D.1
【解析】,则的虚部为
（2）(2025·江西省吉安市期中)若复数满足，为虚数单位，则
( )
C
A. B.1 C. D.
【解析】由题意知，，则 ．
【学会了吗丨变式题】
5.(2025·江苏省常州市期中)已知，若为纯虚数，则 ( )
A
A.1 B. C.2 D.
【解析】由题意得，,因为 为纯虚数，所
以
故,所以,故 .
题型4 共轭复数及其性质的应用
例24 (2025·陕西省榆林市第一中学月考)若复数满足，其中 为虚数
单位，则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设，则 .
故 ，
所以解得所以 .
设 ,
由复数的性质可得 ，
则 ，
所以解得所以 .
由共轭复数的性质，将等式 ①两边都变形为其共轭复数，
则，即 ②，由①②构建方程组，消去 ，解得
.
求与共轭复数有关问题的策略
1.设,则 ，代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化
为方程（组）求解.
2.结合题设，利用共轭复数的性质，对已知条件进行变形，简化运算.
【学会了吗丨变式题】
6.(2022·全国甲卷)若，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】.（利用 可简化运
算）
题型5 复数模的性质的应用
1 求复数的模
例25 (2025·河南省濮阳市质检)已知复数满足为虚数单位 ，
则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】 ，则 .
，则 .
母题 致经典·母题探究
例26 设复数满足，求 的最大值与最小值.
【解析】,（【明易错】与 是不一样的，一个结果为复数，一
个结果为实数）
1（1的代换）
设,则 .
，, ,
的最大值为3，最小值为0.
. .
. .
子题
已知复数满足，则 __.
思路一
思路二
【解析】 因为复数只需满足，所以不是唯一的，令 ，将其代
入所求式，
即 .
由得 ，
所以 ，
因为与为共轭复数，所以 ，
故 .
2 解含复数模的方程
例27 已知复数满足，求 .
【解析】 由条件得 ，
故的虚部为，于是设（ （不可省略）），
代入等式得 ，
即 ，
则 ，
解得或 ，
故或 .
当时， ;
当时， .
. .
由条件得 ，
则 ，
解得或 .
当时，, ;
当时，， .
解决与复数模有关的问题的基本策略
1.利用复数的模的性质，简化运算；
2.利用复数相等、复数的四则运算构建方程，求解复数，即得复数的模.
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·华中师大一附中期末)若复数满足，是虚数单位，则
____．
【解析】由题知， ，
于是 .
8.若复数满足，求 .
【答案】（可看作实部），则 ，
化简得，解得 .
所以 .
（【另解】直接设 ，代入计算即可）
. .
题型6 解复数方程
1 解实系数一元二次方程
例28 ［教材改编P81 T7］已知是方程 的一个根，
则 ___.
4
思路一
思路二
【解析】 把代入方程，得 ，
解得 .
由一个根是，可知另一个根是 ，则
.
2 解复系数一元二次方程
例29 在复数集内解方程 .
【解析】 .
设,则
解得或
所以的“平方根”为 ,
另解
也可对等式左边进行因式分解,则,所以 .
所以 ,
得, ,
即原方程的根为, .
【学会了吗丨变式题】
9.(2025·广东省深圳市期末)已知是关于的方程 的一个
根，则 的根为( )
D
A. B. C. D.
【解析】是关于的方程 的一个根，
则也是关于的方程 的一个根，
故解得
则，即，解得 ．
10.在复数范围内分解因式： ________________________________________________________________________________________________________ ．
.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考比较注重对复数四则运算的考查，主要通过运算来体现对复数的相关概念及几
何意义的考查，试题考查较为基础，以选择题、填空题为主，难度较小.
核心素养：数学运算（复数的四则运算、模的求解等），逻辑推理（复数相等、共
轭复数的性质等）.
考向1 复数的四则运算
例30（1）(2025· 全国一卷) 的虚部为( )
C
A. B.0 C.1 D.6
【解析】 ，其虚部为1.
（2）(2025· 全国二卷)已知，则 ( )
A
A. B. C. D.1
【解析】 .
命题 探源 试题考查简单的复数四则运算，重在引导考生了解数系的扩充，掌握复数 的基本概念与基本运算. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 复数四则运算.
变式探源
1.(2024· 新课标Ⅰ卷)若,则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】 （解方程法） 因为，所以 ，
即，即 ，
所以 .
（取倒数法） 因为，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 .
2.(2023·全国甲卷)设，，则 ( )
C
A. B. C.1 D.2
【解析】因为,所以 且
，解得 .
考向2 与共轭复数有关的四则运算
例31（1）(2024·全国甲卷)若,则 ( )
A
A. B. C.10 D.2
【解析】因为，所以，所以 .（【另解】
,即 ）
（2）(2023·新课标Ⅰ卷)已知，则 ( )
A
A. B. C.0 D.1
【解析】因为，所以，所以 .
（3）(2023·全国乙卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】，所以 .
考向3 复数模的求解
例32（1）(2025·天津)已知是虚数单位，则 _____.
【解析】 .
（2）(2025·北京)已知复数满足，则 ( )
B
A. B. C.4 D.8
【解析】 由可得， ，
所以 .
，则 ，根据复数模的性质，得
.
（3）(2023·全国乙卷) ( )
C
A.1 B.2 C. D.5
【解析】 .
命题 探源 本题源自教材第71页例 ，都是利用模的公式求解，试题设置简单直接， 属于基础题，突出高考源于教材、回归教材的本质. 素养 探源 素养 考查途径
数学运算 通过模的公式求解.
变式探源 (2022·全国甲卷)若,则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 ，
所以 .
考向4 复数的几何意义
例33 (2025·上海)已知复数满足，,则 的最小值是_____.
【解析】设，则,由 ,可得
，即，故.又由 可
得，即（结合两个式子对, 分类讨论或直接利用复数几何
意义）.
. .
. .
当时，,
,此时 .
当时，, ,此时
.
当,时，.综上, 的最小
值为 .
设复数在复平面内对应的点的坐标为 ,
图7.2-6
其中或 ，表示两条相交线
段.表示在复平面内对应的点与点 的距离，如图
7.2-6所示，结合图知，当在复平面内对应的点为 时，
取到最小值，为 .
例34 (2023· 新课标Ⅱ卷)在复平面内， 对应的点位于( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为 ，所以该复数在复平面内对
应的点为 ，位于第一象限.
高考新题型专练
1.［多选题］(2025·陕西省安康市期末)已知复数， ，
则( )
ABD
A. B. 的最小值为1
C.当时，的实部大于0 D.当时，
【解析】因为，所以，故 ，所以
，故A正确；
，
所以 ，
当时， 取最小值1，故B正确；
，当时， 的实部小于0，故C错误；
当时， ，故D正确.
故选 .
2.［多选题］(2025·江苏省南京市期末)已知，是复数，是 的共轭复数，下列
说法正确的是( )
BCD
A.若，则 B.若，则或
C.若是纯虚数，则 D.若，则
【解析】对于选项A，假设，，此时 ，但
，A错误.
对于选项B，设, ，所以
.
所以若,则,所以或 ,所
以或 ；
若，将代入②中得 ，
由得，则，此时 .综上，B正确.
对于选项C，若是纯虚数，设, ，
此时 ，C正确.
对于选项D，设，所以，D正确.故选 .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·福建省宁德市期末)若复数满足（是虚数单位），则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】由得，，则 .
2. ( )
C
A. B.1 C. D.
【解析】由题意知， .
3.(2025·江苏省南京市第一中学检测)已知复数，（其中 为虚数
单位，）.若是纯虚数，则 ( )
A
A. B. C.1 D.4
【解析】由题意知， ,
则且，则 .
4.［教材改编P80 T4］若复数满足方程，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】依题意， ，
所以 .
5.(全国Ⅰ卷)若,则 ( )
D
A.0 B.1 C. D.2
【解析】 因为 ，所以
．
因为，所以 .
6.已知是实数，是实数，则 的值为( )
A
A. B. C.0 D.
【解析】 是实数，
,即 .
7.［多选题］(2025·陕西省榆林市期末)对于两个复数, ，下
列结论正确的是( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】 ，A正确；
，B正确；
，即 ，C错误；
，D正确.
故选.
8.复数满足，则 _ ________.
【解析】， ，
故 ，
故 ．
B 综合练丨高考模拟
建议时间：20分钟
9.新考法 新定义题 定义运算，则满足（ 为虚数单
位）的复数 在复平面内对应的点在( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】由题意可得，即，所以复数
在复平面内对应的点为 ，在第二象限.
10.已知 ，，是的共轭复数，且，则
( )
D
A.2 B. C. D.
【解析】由 ，得 ，
，
,且，,又 ,
,,,，即， ，解得
或 （舍去）.
. .
11.[多选题](2025·河北省邯郸市期末)已知复数， ，则下列说法
正确的是( )
CD
A.
B.复数 对应的点位于复平面第四象限
C.
D.若复数满足，则的最大值是
【解析】对于A，, ，故A错误；
对于B， ，其对应的点位于复平面第三象限，
故B错误；
对于C，因 ，故
，故C正确；
对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点 为
圆心，半径为5的圆，而可理解为点到圆 上的点
的距离，（复数模的几何意义）
图D 7.2-1
如图D 7.2-1所示，当且仅当圆上的点在 处（三点共线）时，
距离最大，为 ，
故D正确.故选 .
12.(2025·辽宁省辽阳市期末)已知是关于的方程 在复数范围内
的一个根，则实数 ______.
【解析】因为是方程的一个根，所以 是方程
的另一个根，则由根与系数的关系得 ，解得
.
13.(2025·四川省成都市期末)已知复数， .
（1）若是纯虚数，求 的值；
【答案】依题意， ，则
，
由是纯虚数，得解得，所以 .
（2）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中 是原点，且
，求 .
【答案】依题意，，， ，
由，整理得解得或 ，所
以或 .