7.3_ 复数的三角表示 课件(共41张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共41张PPT)
第七章 复数
7.3 复数的三角表示
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 复数的三角表示式
1 复数的三角表示式
如图7.3-1，我们可以用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角 来表示复数 .
图7.3-1
一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式.其中,
. .
概念名称 概念的说明
模
辐角
三角形式
说明 为了与三角形式区分开来， 叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
. .
2 辐角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍.
例如，复数的辐角是 ,其中 可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零
向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在
范围内的辐角 的值为辐角的主值.通常记作 （把一个复数表示成
三角形式时，辐角 不一定取主值）,即 .例如，, ,
, .
3 三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值
唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
. .
学思用·典例详解
例1-1 下列复数中是三角形式的是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】复数的三角形式是 ，观察所给的四个复数，只有B中的复
数是三角形式，注意式子是否符合“模非负，角相同，余弦前，加号连”.
例1-2 [教材改编P89【习题7.3】T1]将代数形式的复数 改写成三角形式.
【解析】 因为, ,
在复平面内与对应的点在第一象限,所以 ,
从而的三角形式为 .
. .
.
知识点2 复数乘法运算的三角表示及其几何意义
1 复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
,
即 .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数
的辐角的和.
. .
2 几何意义
图7.3-2
两个复数, 相乘时，可以像图 7.3-2那样，先分别画出与
,对应的向量,,然后把向量绕点 按逆时针方向旋
转角如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角 ,
再把它的模变为原来的倍，得到向量, 表示的复数就是积
.这是复数乘法的几何意义.
3 推广
根据两个复数乘法运算的三角表示及其几何意义，可以推广到
个复数相乘的情况，即
,
特别地，当 时，
.
（三角形式的乘方运算）
例2-3 若非零复数，则 ____.
【解析】共轭复数在复平面内对应的点关于轴对称，因此 是 的一个辐角,则
,
故
.
点评 若非零复数，则 ，这是一个非常有用的结论.
例2-4 不用计算，猜测 的值为___.
1
【解析】的辐角为.如图7.3-4所示， 对应的向量为
，
图7.3-4
则对应的向量为，对应的向量为.显然 表示的复数为1.
点评 通过复数乘法的几何意义，易得对于， ,1,2，都
有 .
知识点3 复数除法运算的三角表示及其几何意义
1 复数除法运算的三角表示
设,,且 ,因为
，
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商
的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
. .
2 几何意义
图7.3-3
如图7.3-3，两个复数,相除时，先分别画出与, 对应
的向量,,然后把向量绕点按顺时针方向旋转角
如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角 ,再把它
的模变为原来的倍，得到向量,表示的复数就是商 .这是
复数除法的几何意义.
【想一想丨问题质疑】
你能根据例 中的结论，用另一种思路推导复数除法运算的三角表示吗？
所以根据复数除法的定义，有
提示 由例我们可以得到：若非零复数,则 ，则
,即 .
这样一来，如果, ,
则
,
即 .
解题课丨关键能力构建
题型1 复数的代数形式与三角形式的互化
1 将复数的代数形式化为三角形式
例5 ［教材改编P86 T1］把下列复数表示成三角形式:
（1） ;
【解析】由,,知,,因此复数 的三角形式为
.
（2） ；
【解析】由,，知点在第二象限，故辐角 为第二象限的角.
.
又,所以（辐角的主值的取值范围为） .
因此复数的三角形式为 .
. .
（3） ;
【解析】由,，知， ,
因此复数的三角形式为 .
（4） .
【解析】由,,知， ,因此复
数的三角形式为 .
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三
角形式.
2 将复数的三角形式化为代数形式
例6 ［教材改编P86 T3］将下列复数表示成代数形式:
（1） ;
【解析】 ;
（2） .
【解析】
名师点评 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可.
题型2 三角形式下的复数的乘、除运算
例7 ［教材改编P88例5］计算下列各式，并把结果化为代数形式：
（1） ；
【解析】
.
（2） .
【解析】
.
例8 (2025·江西省宜春市期末)若复数 为纯虚数，则正
整数 的最小值为( )
A
A.4 B.6 C.8 D.10
【解析】因为 ，
所以 .
（三角形式下的乘方运算）
因为复数为纯虚数，所以且 ，
所以 ，，得，，所以正整数 的最小值为4.
三角形式下复数的运算法则
复数三角形式下的乘法法则:模数相乘,辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则:模数乘方,辐角 倍；
复数三角形式下的除法法则:模数相除,辐角相减.
题型3 求 的模和辐角的主值
例9 设复数，求 的模和辐角的主值.
【解析】
（注意辐角的主值的范围，化简要彻底），
复数的模为32，辐角的主值为 （复数乘积的辐角的主值不一定等于各复数辐角
的主值的和）.
. .
. .
. .
例10 求复数 的模与辐角主值.
【解析】
（【关键点】利用倍角公式的目的是出现“ ”，便于与“1”相
消）
.
, , ，
],
.
. .
, ,
.
故复数的模是,辐角主值是 .
易错警示 从形式上看， 似乎就是三角形式，不少同学认为
，.错误之处在于没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负，
角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.
题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用
图7.3-5
例11 如图7.3-5，若与分别表示复数 ,
,求,并判断 的形状.
【解析】欲求,可计算 .
,
且 .
设, ，
由余弦定理,得 ，
,又 ,
为有一锐角为 的直角三角形.
例12 ［教材改编P90 T10］直角三角形中, ,,点在 上,且
.利用复数证明 .
图7.3-6
【解析】如图7.3-6,以点为坐标原点,所在直线为轴，过点
与垂直的直线为轴建立复平面直角坐标系.设 ,则
, ,, .
设向量对应的复数为, 为
的辐角主值,
向量对应的复数为,为 的
辐角主值.
则,，所以 .
又由题可知，，,所以 .
因为 ,
所以,即 .
例13 [教材改编P90 T9]在平面直角坐标系中，已知点,，将线段 绕着
点顺时针旋转至线段，求点 的坐标.
图7.3-7
【解析】如图7.3-7，连接，因为线段绕着点顺时针旋转 至线
段，所以三角形为等腰直角三角形，，所以将 逆
时针旋转，且模变为原来的倍即得 .
，即对应的复数为 .
根据复数三角形式乘法的几何意义， 对应的复数为
，所以 .
所以 ，
故点的坐标为 .
习题课丨学业质量测评
1.下列各式是复数三角形式的是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】由“模非负，角相同，余弦前，加号连”知A正确，B，C，D错误．
2.复数 的三角形式是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 .
3.已知，，，则 的值可以是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意可知， ，
， ，结合选项可知选B．
4.(2025·四川省雅安中学月考)复数 的三角形式为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】， ，
， ，A，C错误；
， ，
， ，B正确，D错误.故选B.
5.复数 的辐角主值是( )
A
A. B. C. D.
【解析】复数
（先变形为三角形式，再判断辐角主值）,由
知,故复数的辐角主值为 ,故选A.
. .
6.(2025·黑龙江省哈尔滨市月考)已知复数满足,则 ( )
D
A. B.
C. D.
【解析】设 ，
则 ，
所以，,，即, ，
所以, ，
结合选项，当时，，故可取 .
7.[多选题]复数的三角形式是，则 的三角形式
可以是( )
AC
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得， ，
则．故选 ．
8.(2025·江苏省南京市期末)在复平面内，常把复数和向量 进行
一一对应.现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转 ，所得的向量对
应的复数虚部为_ ____.
【解析】复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转 ，可得
，
所以所得的向量对应的复数虚部为 .