第七章 复数 章末总结 课件(共15张PPT) -高一下学期人教A版数学必修第二册

(共15张PPT)
第七章 复数
章末总结
巧梳理 知识框图
一章一练·学思维知创新
复数中的新定义问题
实数系到复数系的扩充，推动了数学的发展，解决了困扰数学家已久的负实数开平
方问题，作为重要的数系，复数除了课本上讲到的四则运算、三角表示外，还衍生
出了其他新定义问题，让我们一起感受一下复数的魅力！
例1 新定义 欧拉公式 (2025·福建省龙岩市第一中学月考)欧拉是数学史上非常多产
的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式 ,从而建立了三角函数和
指数函数的关系.若将其中的 取作 就得到了欧拉恒等式 ,它是令人着迷
的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数 ,
圆周率 ,两个单位——虚数单位 和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0.
请你根据欧拉公式 ,解决以下问题:
（1）将复数写成,,为虚数单位 的形式;
【解析】由欧拉公式得，, ，
所以 .
（2）求 的最大值.
【解析】由欧拉公式及复数模的求法得，
，所以当时，即 ， 时，
取得最大值，最大值为2.
例2 新定义 次单位根在复数域中，满足 的所有复数
称为 次单位根，其中满足
的次单位根又称为次本原单位根.例如当 时，存在四
个4次单位根,，因为,，因此只有两个4次本原单位根 ．
（1）直接写出3次单位根，并指出哪些是3次本原单位根（无需证明）．
【解析】当时，的解为 ，
则3次单位根为1,, ，
由于，, 的1次方以及2次方均不等于1，
故3次本原单位根为, .
（2）①若是8次本原单位根，证明： ．
【解析】因为是8次本原单位根，所以, .
因为，且，所以 ，
所以, ,
，
则 .
②若是次本原单位根，证明： ．
【解析】因为是次本原单位根，所以, ，
设，因为 ，所以
，
又 ，
所以 ，
所以 .
因为，所以，即 ，
则，即 .
尖子生 强基自招
命题点1 四则运算下复数概念的考查及模的求解
例3 (2025·全国高中数学联赛江西预赛)设复数满足，则
的值为___________.
【解析】，即 ,
所以 .
例4 (2025·全国高中数学联赛江苏赛区预赛)设为复数,为虚数单位，若 的实部为
0,则 的最大值为___.
6
【解析】实部为0等价于, 对应
的点位于复平面中以原点为圆心、半径为1的圆上， 对应的点到原点的距离为
，的最大值即为 对应的点到圆上点的最大距离，为
.
例5 (2024·全国高中联赛浙江赛区初赛)已知复数满足，则
_ _______．
【解析】设 ，
由，得，所以 ，
由，得，所以 ，
联立得解得或
所以 ．
例6 (2025·北京大学强基计划测试)已知在2与 在复平面上对应点所连的线段上，
，求 在复平面上扫过的面积.
【解析】在复平面内，设对应的点为，点在线段上运动，其中 ,
， .
设对应的点为，点在以坐标原点为圆心的单位圆上运动， .
设对应的点为，则，所以 ，则
，即点在以 点为圆心、2为半径的圆上运动.
当点在线段上运动时，点在复平面上扫过的图形为一个矩形 长、宽分别为4
和和两个半圆（半径为2），面积为 .
命题点2 复数方程
例7 (2025·全国高中数学联赛福建预赛)若,是关于的方程
的两个虚数根，且,则实数 的值为___.
1
【解析】方程可化为 .
依题意 ,
方程两虚数根为 .
于是
,
,
解得 .
. .
例8 (2022· 中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)设集合， ，
，其中，，与为实系数方程 的两根
，则 中所有元素之和为_______.
【解析】由根与系数的关系可知，， ，
则 中所有元素之和为
.
命题点3 复数与函数的综合
例9 (2023·全国高中数学联赛浙江赛区初赛)设函数为复数 满足
.若，则 ___.
1
【解析】因为 ，
所以 .
又 ，
所以 ，
即，即 .