8.1 基本立体图形 课件(共101张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共101张PPT)
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 空间几何体的有关概念
1 空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素,那么由这些
物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.（【举例子】一个牛奶包装箱可以抽象
出长方体）
2 多面体及其相关概念
图8.1-1
（1）多面体:一般地,由若干个平面多边形围成的几何体
叫做多面体.
（2）多面体的面:围成多面体的各个多边形叫做多面体
的面,如图8.1-1中面 等.
（3）多面体的棱:两个面的公共边叫做多面体的棱,如图
8.1-1中棱,棱 等.
（4）多面体的顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,
如图8.1-1中顶点,顶点，顶点 等.
特别提醒 （1）多面体至少有四个面.在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包
括这个多边形内部的平面部分.
（2）一个多面体有几个面就称为几面体，如四面体、五面体……
（3）各面是全等的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有正四面体、正
六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，共5种.
3 旋转体及其相关概念
图8.1-2
（1）旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的
一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几
何体叫做旋转体.图8.1-2为一个旋转体，它可以看成由平面曲线
绕 所在的直线旋转形成的.
（2）旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转
体的轴.如图8.1-2中直线 是该旋转体的轴.
学思用·典例详解
【想一想丨问题质疑】
对于生活中的一些物体，如纸杯、纸箱、腰鼓、茶叶盒、奶粉罐、篮球和足球、储
物箱等，我们如何判断它们是不是多面体？
提示 观察这些物体，可以发现纸箱、茶叶盒、储物箱这些物体有相同的特点：围
成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，因此根据多面体的定义可知
这些物体都是多面体；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球这些物体也有相同的特点：
围成它们的面不全是平面多边形，有些是曲面（判断是否为多面体的关键就是看该
几何体的各面是否均为平面多边形），因此它们不是多面体.
. .
. .
例1-1 下列几何体中，是多面体的有______，是旋转体的有______.（填序号）
①④
②③
知识链接 常见的旋转体
知识点2 棱柱、棱锥、棱台
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余 各面都是四边形，并且相 邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围 成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边 形，其余各面都是 有一个公共顶点的 三角形，由这些面 所围成的多面体叫 做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的
平面去截棱锥，底面和截
面之间那部分多面体叫做
棱台.
棱柱 棱锥 棱台
相关 概念 （1）底面（底）：两个 互相平行的面. （2）侧面：其余各面. （3）侧棱：相邻侧面的 公共边. （4）顶点：侧面与底面 的公共顶点. （1）底面（底）： 多边形面. （2）侧面：有公共 顶点的各个三角形 面. （3）侧棱：相邻侧 面的公共边. （4）顶点： （注意区别）各侧 面的公共顶点. （1）上底面：原棱锥的截
面.
（2）下底面：原棱锥的底
面.
（3）侧面：其余各面.
（4）侧棱：相邻侧面的公
共边.
（5）顶点：侧面与底面的
公共顶点.
续表
. .
棱柱 棱锥 棱台
图形 及表 示
续表
棱柱 棱锥 棱台
结构 特征 （1）底面互相平行且全 等. （2）侧面都是平行四边 形. （3）侧棱都相等，且互 相平行. （1）底面是多边形. （2）侧面都是三角 形. （3）侧面有一个公 共顶点. （1）上、下底面互相平
行，且是相似图形.
（2）各侧棱的延长线交于
一点.
（3）各侧面为梯形.
续表
棱柱 棱锥 棱台
分类 棱柱的底面是几边形就叫 几棱柱，例如，三棱柱、 四棱柱…… 棱锥的底面是几边 形就叫几棱锥，例 如，三棱锥 （又叫四面体）、 四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫做几
棱台，例如，由三棱锥截
得的棱台叫做三棱台.
续表
棱柱 棱锥 棱台
其他 概念 （1）直棱柱：侧棱垂直 于底面的棱柱. （2）斜棱柱：侧棱不垂 直于底面的棱柱. （3）正棱柱：底面是正 多边形的直棱柱. （4）平行六面体：底面 是平行四边形的四棱柱. （1）正棱锥：底面 是正多边形，并且 顶点与底面中心的 连线垂直于底面的 棱锥. （2）正四面体：侧 棱长与底面边长相 等的正三棱锥. 正棱台：上、下底面是相
似的正多边形，且上、下
底面中心的连线与底面垂
直的棱台.其中上、下底面
中心的连线叫做正棱台的
高，侧面等腰梯形的高叫
做正棱台的斜高.
续表
例2-2 [教材改编P106 T10]下列说法正确的是( )
B
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
图8.1-7
【解析】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；B正确，根据棱柱
的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的
形状完全相同；C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行;D错误，
“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互
相平行”，如图8.1-7所示的几何体就不是棱柱.
例2-3 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是( )
D
A.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
图8.1-8
【解析】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余
各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，如图8.1-8（1），
故A错误；两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面
体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，如
图8.1-8（2），故B错误，D正确；用一个平行于底面的平
面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误．
. .
点评 画棱台时，可先画出一个棱锥，然后在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，
顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段，最后将多余的线段擦去.棱台的画
法，也给我们提供了解决棱台问题的一种思路，我们可以先将有关棱台问题转化为
棱锥问题，进而利用对应线段成比例，再解决棱台问题.
知识点3 圆柱、圆锥、圆台、球
1 圆柱、圆锥、圆台
圆柱 圆锥 圆台
定义 以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余三边旋转一 周形成的面所围成的旋转 体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直 角边所在直线为旋转 轴，其余两边旋转一周 形成的面所围成的旋转 体叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的
平面去截圆锥，底面
与截面之间的部分叫
做圆台.
圆柱 圆锥 圆台
相关 概念 （1）轴：旋转轴. （2）底面：垂直于轴 的边旋转而成的圆面. （3）侧面：平行于轴 的边旋转而成的曲面. （4）母线：无论旋转 到什么位置，平行于 轴的边都叫做圆柱侧 面的母线. （1）轴：旋转轴. （2）底面：垂直于轴的 边旋转而成的圆面. （3）侧面：直角三角形 的斜边绕轴旋转形成的 曲面. （4）母线：无论旋转到 什么位置，斜边都叫做 圆锥的母线. （5）顶点：母线的交 点. （1）上底面：原圆锥的截
面.
（2）下底面：原圆锥的底
面.
（3）轴：上、下底面圆心
的连线所在的直线.
（4）侧面：原圆锥的侧面
被平面截去后剩余的曲面.
（5）母线：原圆锥的母线
被平面截去后剩余的部分.
续表
圆柱 圆锥 圆台
图形及表示
结构特征 （1）圆柱两个底面是圆面 而不是圆. （2）圆柱有无数条母线， 圆柱的任意两条母线互相 平行（与轴平行）且长度 相等. （1）底面是圆 面. （2）有无数条 母线，长度相 等且交于顶点. （1）上、下底面是互相
平行且不相等的圆面.
（2）有无数条母线，等
长且延长线交于一点.
续表
2 球
定义 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，
球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关概念 （1）球心：半圆的圆心.
（2）半径:连接球心和球面上任意一点的线段.
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示
结构特征 （1）球面是旋转形成的曲面.球面也可看成空间中到定点（球心）的
距离等于定长（半径）的所有点的集合.
（2）球的截面都是圆面.
例3-4 ［易错题］两相邻边长分别为和 的矩形，以一边所在的直线为轴旋
转所形成的圆柱的底面积为___________ .
或
【解析】当以长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为 ，
底面积为 ;
当以长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为 ，底面积为
.
例3-5 ［多选题］下列说法正确的是( )
AC
A.圆台可看作以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周所
围成的几何体
B.在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则两点的连线就是圆台的母线
C.圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D.圆锥的母线可能平行
【解析】显然A正确.
对于B，等腰梯形（轴截面）的腰才是圆台的母线，故B不正确.
显然C正确.
对于D,圆锥的母线交于顶点，因此不可能平行，故D不正确.
拓展延伸 对于圆柱、圆锥、圆台，我们把位于旋转轴上的线段长度叫做高.
例3-6 ［多选题］下列说法正确的是( )
AC
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球
【解析】A是正确的；
B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；
C是正确的；
球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面
叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故D错误.
知识点4 简单组合体
1 简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体（棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台
与圆台统称为台体）、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
. .
2 简单组合体的构成形式
（1）由简单几何体拼接而成，如图8.1-3（1）所示.
图8.1-3
（2）由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图8.1-3（2）所示.
3 常见的几种组合体
（1）多面体与多面体的组合体:图8.1-4（1）中几何体由一个四棱柱挖去一个三
棱柱得到.
图8.1-4
（2）多面体与旋转体的组合体:图8.1-4（2）中几何体由一个三棱柱挖去一个圆
柱得到.
（3）旋转体与旋转体的组合体:图8.1-4（3）中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
例4-7 [教材改编P105 T5]指出图8.1-9中的几何体是由哪些简单几何体构成的.
图8.1-9
【解析】题图8.1-9（1）由2个四棱锥构成；题图8.1-9（2）由1个三棱柱和1个四棱柱
构成.
图8.1-10
例4-8 [教材改编P104 T3]图8.1-10中平面图形从上往下依次由等腰
三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线 旋转
形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成.
【解析】由题图可知，得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、半
球、圆柱、圆台.
释疑惑 重难拓展
知识点5 柱、锥、台、球的截面
1 几何体的截面
一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几
何体的截面.
2 棱柱、棱锥、棱台的截面
（1）平行于底面的截面
①用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面与底面全等.
②用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的截面与底面相似.
③用一个平行于棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与两个底面都相似.
（2）经过不相邻的两条侧棱的截面
①在棱柱中（三棱柱除外），经过不相邻的两条侧棱的截面（也称为棱柱的对
角面）是平行四边形.
②在棱锥中（三棱锥除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形.
③在棱台中（三棱台除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形.
3 圆柱、圆锥、圆台的截面
（1）平行于底面的截面
平行于圆柱底面的截面是与底面相同的圆面，平行于圆锥、圆台底面的截面是
与底面大小不同的圆面.
（2）轴截面
①圆柱的轴截面图形是一个由上、下底面直径和两条母线组成的矩形，平行于
轴的截面图形是一个由上、下底面的弦和两条母线组成的矩形．
②圆锥的轴截面图形是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰分别
是圆锥的两条母线.
③圆台的轴截面图形是一个等腰梯形，其底是圆台两个底面的直径，两腰分别
是圆台的两条母线.
特别提醒（1）圆锥的母线、高和底面半径 组成一个直角三角形，且满足关系式
.
（2）圆台的母线、高和上、下底面的半径， 组成一个直角梯形，且满足
.
4 球的截面
（1）球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
（2）球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②如图8.1-5，球心到截面的距离与球的半径及截面的半径 之间满足关系式:
图8.1-5
5 正方体的截面
（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能
是直角三角形、钝角三角形.
（2）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.
截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.
（3）截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角
相等.截面五边形不可能是正五边形.
（4）截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可
以是正六边形．#4
对应截面图形如图8.1-6中各图形所示.#5
图8.1-6
学思用·典例详解
例5-9 如图8.1-11所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底
面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组
合体，则截面图形可能是______（填序号）．
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时，截面图形如图①；
当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时，截面图形可能为⑤.
图8.1-11
例5-10 用一个平面截半径为的球，截面的面积是 ,则球心到截面的距
离为____ .
20
【解析】由题意知，球的半径，易知截面的半径 ,则球心到截面
的距离 .
图8.1-12
例5-11 新情境 中国天眼 (2025·山东省济南市期中)如图8.1
-12（1），“中国天眼”是具有我国自主知识产权、世界最大
单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，
其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部
分叫做球冠），截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直
C
A.60米 B.100米 C.131米 D.160米
径被截得的一段叫做球冠的高．如图8.1-12（2）所示，球面的半径是 ，球冠的高
是，那么球冠的表面积公式为： ．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）
约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为 ( )
图8.1-13
【解析】如图8.1-13所示，，球面半径为 ，球冠
的高是，则球冠面积 ．
.（利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心
的连线构建直角三角形是把球的空间问题转化为平面问题的主
要途径）
在中，有 ，
整理得，则 ，
，解得 ，
米.
. .
例5-12 [多选题](2025·江苏省南通市期中)正方体截面的形状有可能为( )
ABD
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
【解析】在正方体中，截面 为正三角形，平行于底面的所有
截面都是正方形，分别取,,,,, 六条棱的中点，顺次连接这六个
点所得的六边形为正六边形，所以A，B，D正确.
若截面为五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成
两两平行的三对，故必然存在一对平行面中有两条截线，由面面平行的性质定理
（后面8.5.3节将要学习），可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中不可能有
平行的边，所以不可能为正五边形，故C错误.
解题课丨关键能力构建
题型1 简单几何体的识别
例13 [多选题]下列判断正确的是( )
ABD
A.由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的
几何体是正六棱柱
B.一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 形成的封闭曲面所围成
的几何体是圆台
C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线
D.一个圆绕其一条直径所在的直线旋转 形成的封闭曲面围成的几何体是球
【解析】有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，满足相邻两
个矩形的公共边都互相平行，故该几何体是正六棱柱,A正确.
等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转 形
成半个圆台，故该几何体为圆台,B正确.
当上、下底面圆周上两点的连线与轴平行时所得连线才是母线，C错误.
D显然正确.
图8.1-14
例14 如图8.1-14所示，该组合体（直棱柱）可以看作由一个______
___和一个________拼接而成的简单组合体，也可以看作由一个
________截去一个________形成的组合体.
长方体
长方体
正方体
长方体
【解析】该组合体既可以看作由一个长方体和一个长方体拼接而成的组合体，又可
以看作由一个正方体截去一个长方体形成的组合体.
. .
. .
名师点评 常见的几种四棱柱之间的转化关系如图8.1-15所示.
图8.1-15
识别简单几何体的几个关键点
1.若围成题中几何体的各面都是平面，且有面面平行或各面有公共顶点，则从棱柱、
棱锥、棱台的概念入手；
若围成题中几何体的各面中包含曲面，则从圆柱、圆锥、圆台、球的概念入手.
2.判断旋转体形状的关键是看平面图形绕哪条直线旋转，同一个平面图形绕不同的
旋转轴旋转所形成的旋转体可能不同．
3.考查简单组合体的构成，就必须要明白该组合体是由简单几何体拼接、截去还是
挖去一部分而形成的，因此，要仔细观察简单组合体的组成，并充分结合柱体、锥
体、台体、球的结构特征进行识别.
说明:“切割”可以解决不规则空间几何体的一些问题.
【学会了吗丨变式题】
1.[多选题]对如图8.1-16所示的几何体描述正确的是( )
BCD
图8.1-16
A.这是一个四棱台
B.这是一个四棱柱
C.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到
D.此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到
【解析】A错误，因为侧棱的延长线不能交于一点．
B正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现这是一个四棱柱．
都正确，如图D 8.1-1（1）（2）所示．
图D 8.1-1
题型2 平面图形旋转形成的几何体
例15 ［教材改编P106 T9］如图8.1-17，四边形 为直角梯形，试作出绕其各条
边所在的直线旋转所得到的几何体．
图8.1-17
【解析】
旋转轴 图示 几何特征
一个圆台.
由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的
组合体.
旋转轴 图示 几何特征
由一个圆柱挖去一个同底圆锥而成
的组合体.
由一个圆台挖去一个同底
（上底面）圆锥后和一个同底
（下底面）圆锥拼接而成的组合体.
续表
平面图形绕轴旋转问题的解决策略
首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆
（半圆或四分之一圆周）等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进
行分析.
题型3 几何体的相关计算
例16 轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱.已知某等边圆柱的轴截面面积为
，则该等边圆柱的底面周长为____ .
思路点拨 作出圆柱的轴截面，建立轴截面的边长和圆柱的底面半径之间的关系即
可求解.
图8.1-18
【解析】如图8.1-18所示，作出等边圆柱的轴截面 ，由题意知，
四边形为正方形，设圆柱的底面半径为，则 .
轴截面的面积 ，解得
.
故该等边圆柱的底面周长 .
图8.1-19
例17 如图8.1-19，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得
的圆台上、下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是 ，
则截得的圆台的母线长为______．
图8.1-20
【解析】如图8.1-20，设截得的圆台的母线长为 ，上、下底面
的半径分别是，，根据相似三角形的性质得， ，
解得.故所求圆台的母线长为 .
圆柱、圆锥、圆台基本量的计算问题的求解策略
（1）圆柱基本量的计算问题，关键点在于它的底面半径、高（母线）与轴截面矩形
之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径．
（2）圆锥基本量的计算问题，可以从圆锥的轴截面入手，利用轴截面中的直角三角
形建立底面半径、高、母线长三者之间的关系，即 .
（3）圆台基本量的计算问题，可以从圆台的轴截面（等腰梯形）入手，将轴截面分
割为两个全等的直角三角形和一个矩形，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，
从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决．
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·上海市金山区二模)已知圆锥底面半径为1，高为 ，则过圆锥母线的截面面
积的最大值为____.
【解析】依题意，设圆锥的母线长为 ，
圆锥的底面半径为1，高为 ，
，
设圆锥的轴截面的两母线的夹角为 ，则 ，
图D 8.1-2
则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为 ,
，如图D 8.1-2，
故截面的面积为 ，当且
仅当时，等号成立，故截面的面积的最大值为 ．
题型4 空间几何体的展开图与截面图
例18（1）下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )
B
A. B. C. D.
【解析】选项B中,底面的边数和侧面的个数不相等,所以不能围成棱柱.
图8.1-21
（2）如图8.1-21是一个正方体的表面展开图，若把它再折回正方体，
有下列说法：
①点与点 重合；
②点,, 重合；
③点与点 重合；
④点与点 重合.
其中正确说法的序号是______.
②④
【解析】将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记,若记面 为
“下”，面为“后”，则面,,, 分别为“右”“左”“前”“上”.按各
面的标记折成正方体,则点,,重合；点,重合；点,重合;点,， 重合.故②
④正确,①③错误.
例19 圆锥的截面形状不可能为( )
B
A.等腰三角形 B.平行四边形 C.圆 D.椭圆
思路点拨 从不同的角度截圆锥得到截面，从而判断相应的可能的截面形状.
【解析】对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，不符合
题意；
对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，符合题意；
对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，不符合题意；
对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，不符合题意.
名师点评 圆锥的横截面、轴截面、斜截面如图8.1-22.
图8.1-22
图8.1-23
例20 (2025·山西省太原市期中)从一个底面半径和高都是 的圆
柱中，挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆
锥，得到如图8.1-23所示的几何体．如果用一个平行于底面且
与圆柱下底面距离等于 的平面去截此几何体，求所得截面的
面积．
思路点拨 圆柱中挖去圆锥后的几何体被平行于底面的平面所截得的截面是一个圆环
面，它由圆柱被截得的圆面去掉圆锥被截得的同心圆面得到，故先作出轴截面再求解．
【解析】该几何体的轴截面如图8.1-24所示，被平行于下底面的平面所截得的圆柱的
截面圆的半径，圆锥的截面圆的半径为 .
图8.1-24
， 是等腰直角三角形．
又， ．
.
故所求截面面积 .
解决立体几何问题的常用方法是将空间问题“降维”转化成平面问题,而截面图与展开
图往往是实现这一目标的常用手段.
对于旋转体或与旋转体有关的组合体,常利用恰当的截面图,将空间问题转化为平面问
题解决.
解答展开与折叠问题时，若给出多面体画其展开图,常常先将多面体的顶点标上字母,
然后把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面.若给出展开图画多面体,则可逆向操
作上述过程.
【学会了吗丨变式题】
图8.1-25
3.某人用如图8.1-25所示的纸片沿折痕折起后粘成一个四棱锥状的
“走马灯”,正方形作灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，从灯
上方看，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①
②③处可依次写上( )
B
A.乐、新、快 B.快、新、乐 C.新、乐、快 D.乐、快、新
【解析】根据图形为四棱锥，当灯顺时针旋转时,正好看到“新年快
乐”的字样，结合选项可知①为快,②为新,③为乐.故选B.
4.圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，则正确的截面图是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如图D 8.1-3所示.
棱锥顶点为圆柱上底面的中心，则过棱锥的一条侧棱和高作截面，可得截面图如图
D 8.1-4所示.
新考法 思维创新
例21 新定义 曲率 (2025·山东省青岛市期中)北京大兴国际机场的显著特点之一是各
种弯曲空间的运用,如图8.1-26．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率
刻画空间弯曲性，规定：多面体一个顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和
的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点
的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体
在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体各顶点的曲率为
， 故其总曲率为 .给出下列三个结论：
图8.1-26
①正方体每个顶点的曲率均为 ;
②任意四棱锥的总曲率均为 ;
③若某类多面体的顶点数,棱数，面数满足 ,则该类多面体的总曲率
是常数.
其中，所有正确结论的序号是_________.
【解析】根据总曲率的定义可得正方体每个顶点的曲率为 ,故①正确.
因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个侧面是三角形，1个底面是四边形，所以任
意四棱锥的总曲率为 ，故②正确.
设多面体的每个面分别为 边形，则所有面角和为
，则多面体的总曲率为
，是常数，故③正确．
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
本节知识是立体几何的基础，突出的是对空间几何体的认识，主要考查空间几何体
的结构特征.多为选择题和填空题，一般难度不大.
核心素养：直观想象（空间几何体的认识），逻辑推理（组合体的结构特征、截面
图与展开图等）.
考向 几何体的结构特征
例22 [多选题](2023· 新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： ）
的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有( )
ABD
A.直径为 的球体
B.所有棱长均为 的四面体
C.底面直径为，高为 的圆柱体
D.底面直径为，高为 的圆柱体
【解析】因为球的直径小于正方体的棱长，所以选项A正确；
因为棱长为的正方体中可放入棱长为的正四面体，且 ，所以选项B
正确；
因为正方体的棱长为，体对角线长为，，所以高为 的圆柱体
不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；
因为正方体的体对角线长为，而底面直径为的圆柱体，其高 可忽略
不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以把圆柱整体放入
正方体容器中，所以选项D正确.
图8.1-27
例23 (全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔（图8.1-27）是古代世界建筑奇迹
之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形
底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设正四棱锥的高为,底面边长为,侧面三角形底边上的高为 .依题意有
,且,因此有 ,化简得
,解得 （负值已舍去）．
命题探源 高考题重视以文化视角下的几何体为主来研究其结构特征，如2019 年全国Ⅱ卷理第16题的独孤信的印信问题，研究的是半正多面体与 正方体的关系，而本题则聚焦的是埃及金字塔的结构特征问题.事实 上，这个金字塔的图片恰好为教材第97页【观察】中的第4个图形. 因此学习中要特别重视一些带有文化色彩的经典建筑图形，如卢浮 宫前的玻璃金字塔（教材第101页【练习】第1题图（3））. 素养探源 素养 考查途径
直观 想象
图8.1-28
变式探源 (全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金
石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或
圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正
多面体”（图8.1-28（1））.半正多面体是由两种或两种
以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学
的对称美.图8.1-28（2）是一个棱数为48的半正多面体,
26
【解析】由图8.1-28（2）可知第一层与第三层各有9个面,共18个面,第二层有8个面,
所以该半正多面体共有 （个）面.
它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共
有____个面，其棱长为________.
图8.1-29
如图8.1-29,设该半正多面体的棱长为,则 ,延长
与交于点,延长交棱长为1的正方体棱于点 ,由半正
多面体的对称性可知, 为等腰直角三角形,所以
,所以
,解得 .
高考新题型专练
1.[多选题]用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是
( )
ABD
A.长方体 B.圆锥 C.圆台 D.棱锥
【解析】用一个平面截长方体的一个角，截面可以是三角形，所以A正确；
过圆锥的轴的截面是三角形，所以B正确；
用一个平面截圆台，无法得到形状为三角形的截面，所以C不正确；
用一个平面截棱锥的一个角，截面可以是三角形，所以D正确.故选 ．
图8.1-30
2.[多选题](2025·河北省邢台市期中)某广
场设置了一些石凳供大家休息，如图8.1-
30，每个石凳都是由正方体截去八个相同
的正三棱锥得到的几何体，则下列结论正
确的是( )
ACD
A.该几何体的面是等边三角形或正方形 B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱 D.该几何体恰有12个顶点
【解析】据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有
14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正
确．故选 ．
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.下列是多面体的是( )
D
A.圆锥 B.圆柱 C.球 D.三棱柱
【解析】由多面体及旋转体的定义可知，圆锥、圆柱、球为旋转体，三棱柱为多面体．
图8.1-1
2.新情境 乾隆通宝 (2025·山东省济南市期中)铜钱又称
方孔钱，是古代钱币最常见的一种.如图8.1-1为清朝时的
一枚“乾隆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋
转轴（虚线）旋转一周,形成的几何体是( )
B
A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱
C.一个圆柱 D.一个球挖去一个正方体
【解析】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球,正方形及其内部旋转一周后所得几
何体为圆柱，故题图中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一
个球挖去一个圆柱.
图8.1-2
3.(2025·广东省三校质检)如图8.1-2所示，在三棱台
中，沿平面截去三棱锥 ，则剩
余的部分是( )
B
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
【解析】三棱台中，沿 截去三棱锥
，剩余部分是四棱锥 ．故选B．
4.(2025·江西省景德镇一中期末)给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；
②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④
以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为
( )
A
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等，且顶点在底面的
投影为底面正三角形的中心，侧棱长和底面棱长不一定相等，故①，③错误；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误；
根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直于两底的腰所在直线为轴旋转所得的旋
转体为圆台，以另一个腰所在直线为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误.
故真命题的个数为0.故选A.
图8.1-3
5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图8.1-3），
则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
A
A. B. C. D.
【解析】两个 不能并列相邻，B,D错误；两个 不能并列相邻，C错误.故选A.
（也可通过实物制作来判定）
6.[多选题](2025·甘肃省武威市期末)下列结论正确的是( )
ABD
A.圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B.长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体
C.用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
D.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
【解析】圆柱的每个轴截面都是全等的矩形，故A正确；
长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，如底面为菱形的直四棱柱，故B正确；
用一个平行于底面的平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台，而若截面与底面不
平行，则得不到，故C错误；
四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故D正确．
7.［多选题］(2025·安徽省临泉田家炳实验中学期末)若用一个平面去截一个四棱锥，
则截面形状可能是( )
ABC
A.四边形 B.三角形 C.五边形 D.六边形
【解析】截面形状可以为三角形，如图D 8.1-1，故A正确；
图D 8.1-1
截面形状可以为四边形，如图D 8.1-2，故B正确；
图D 8.1-2
图D 8.1-3
截面形状可以为五边形，如图D 8.1-3，故C正确；
四棱锥只有五个面， 用一个平面去截一个四棱锥，截面形状
不可能是六边形，故D错误.故选 .
8.一个棱柱至少有___个面；面数最少的棱柱有___个顶点，有___条棱.
5
6
9
【解析】因为面数最少的棱柱是三棱柱，所以棱柱至少有5个面，三棱柱有6个顶点，
9条棱.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
图8.1-4
9.新情境 碌碡 碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食
加工成粉末的器具，如图8.1-4，近似圆柱形碌碡的轴的一端固定在
经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌
碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好
滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设圆柱形碌碡的底面圆半径与其高分别为, .易知圆柱形碌碡的高与圆盘的
半径大约相等，又木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，所以 ,所
以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为 .
图8.1-5
10.新定义 阿基米德多面体(2025·江西省宜春市期中)“阿基米德多面体”
是
以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图8.1-5，其中“扭棱十
二面体”就是一种“阿基米德多面体”．它是由80个正三角形和12个正五
边形组成的，若多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数-棱数 面
数 ，则“扭棱十二面体”的顶点数为( )
C
A.56 B.58 C.60 D.62
【解析】由题意知多面体的面数为 ,
棱数为 （多面体的每条棱同时作为两个图形的边），又顶点数-棱数
面数，则顶点数 .
11.[易错题](2025·黑龙江省鸡西市文成中学期中)半径为 的球被两个平行平面所
截，两个截面圆的面积分别为， ，则这两个平行平面的距离为____
___ .
2或
14
【解析】设两个截面圆的半径分别为，，球心 到截面的距离分别为
，，球的半径为 .
由 ，得， ，
由 ，得， .
图D 8.1-4
当球的球心在两个平行平面的同侧时，如图D 8.1-4
（1）所示，（【易错点】需分两截面在圆心的同侧
和异侧两种情况讨论）
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之
差，即 .
当球的球心在两个平行平面之间时，如图D 8.1-4（2）
所示，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即 .
12.(2025·北京大学附属中学元培学院期中)在棱长为1的正方体 中，
点是正方体棱上一点且．则满足条件的 点的个数为___．
6
图D 8.1-5
【解析】分两种情况分析 点的存在情况：
①若点在正方体中与 无公共点的棱上.
若在正方体的棱上，如图D 8.1-5，设 ，则
，
， ，
即 ，
两边平方，整理得，再平方得 ，方程无解，
所以棱上不存在满足条件的点 .
同理，并结合正方体的对称性，知棱，，，， 上也不存在满足
条件的点 .
图D 8.1-6
②若点在正方体中与 有公共点的棱上.
若在正方体的棱上，如图D 8.1-6，连接,设 ，
则 ，
， ，即
，两边平方，整理得 ，解得
. 棱上存在一个满足条件的点 .
同理，并结合正方体的对称性，知棱，，， ，
上也分别存在一个满足条件的点 .
故满足条件的 点共有6个.
图8.1-6
13.(2025·浙江省杭州第二中学月考)用一个过圆锥的轴的平
面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称
为圆锥的子午三角形.如图8.1-6，圆锥 底面圆的半径是
，轴截面的面积是 .
（1）求圆锥 的母线长;
【答案】因为轴截面的面积为 ,
所以 ,
所以圆锥的母线长 .
（2）过圆锥的两条母线,作一个截面,求截面 面积的最大值.
【答案】在轴截面中,,, ,
所以,所以.故 .
由三角形的面积公式，
得 ,
所以当时，截面 的面积取得最大值,最大值为8.
C 培优练丨能力提升
图8.1-7
14.(2025·湖南省邵东市第三中学期中)如图8.1-7，四边形 是
直角梯形，其中，，，是 的中点，以
为直径的半圆与相切于点.以直线 为旋转轴旋转一周，
可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数
是( )
A
①圆台的母线长为4；②球的直径为 ；③将圆台的母线延长交
的延长线于点，则得到的圆锥的高为；④点 的轨迹的长
度是 ．
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】对于①，由题意知，圆台的上、下底面半径分别为, ，设圆台的
母线长为，高为，则球的直径为.因为与半圆相切于点，则 ,
，所以 ，所以①不正确；
图D 8.1-7
对于②，如图D 8.1-7，过点作于点，则 ,
，所以 ，所以
球的直径为 ，所以②不正确；
对于③，因为，可得 ，
则，所以 ，所以③正
确；
对于④，过点作于点，延长与交于，则点
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，作于点 ，可
得，则，即 ，解得
，
所以点的轨迹的长度是 ，所以④不正确.