8.2 立体图形的直观图 课件(共46张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共46张PPT)
第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 空间几何体的直观图
1 直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观
图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直
观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中，立体图形的直观图通常
是在平行投影下得到的平面图形.
2 斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的
平面图形的直观图，其步骤是：
（1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 .画直观图时，把它
们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使 （或 ），它们
确定的平面表示水平面.
（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或
轴的线段.
（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 轴的
线段，在直观图中长度为原来的一半.
知识剖析 1.斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系变为斜坐标系 ，使
（或）；“二测”是指画直观图时，平行于 轴的线段长度不变，
平行于 轴的线段长度减半.
2.斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观
图中画出.
3.斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改
变.
4.将直观图还原成平面图形的过程是斜二测画法的逆过程，画法步骤中的有关
规则要逆向转换，如：轴，轴的夹角要变为 ，还原与 轴平行的线段时，长
度要变为直观图上长度的2倍，且保持与 轴平行.#2.3
5.常见平面图形的直观图#2.4
原图
直观图
圆的直观图不是用斜二测画法画出的，而是用正等测画法画出的.#2.4.2
3 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与轴、 轴
都垂直的 轴，并且有以下规则.
（1）已知图形中，平行于轴、轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于
轴、轴或 轴的线段.
（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于
轴的线段，长度变为原来的一半.
（3）连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.#1.3
特别提醒 1.画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取.
为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示.
2.坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中
心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上．
3.要先画出底面的直观图，再画出其余各面．#1.6
. .
学思用·典例详解
例1-1 [多选题]对于用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图来说，下列描述正
确的是( )
ACD
A.三角形的直观图仍然是一个三角形
B. 的角的直观图会变为 的角
C.与 轴平行的线段长度变为原来的一半
D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【解析】对于A，根据斜二测画法的特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因
此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；
对于B， 的角的直观图可以变为 或 的角，故B错误；
C,D显然正确．
例1-2 [教材改编P109 T1（2）]在画水平放置的平面图形的直观图时，若在原来的
图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )
A
A.平行且相等 B.平行不相等
C.相等不平行 D.既不平行也不相等
点评 平面图形中，相互平行的两条线段，在直观图中依旧平行，相互垂直的两条
线段在直观图中不一定垂直.斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平
行线段的长度比.
图8.2-2
例1-3 如图8.2-2，是 的直观图，其中
，轴，轴，那么 是( )
D
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
【解析】将直观图还原为平面图形，可得 轴，且
，轴，且,所以在 中，
，，所以 是直角三角形．
例1-4 已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的
上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为,,,四棱锥的高为 .如果
按 的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的
高可能分别为( )
C
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
【解析】由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为,,
和 ,再结合直观图的画法，知在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高
可能分别为,,, .
释疑惑 重难拓展
知识点2 平面图形与其直观图的面积间的关系
图8.2-1
（1）以三角形为例，则有
.如图 8.2-1所示，
,它的直观图的面积
,
,
.
（2）平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：
.因为平面多边形可分割成若干个三角形，记其面积分
别为,, ,，且这若干个三角形的直观图的面积分别为,, , ,所以
，
或 .
即若记一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为 ，
则有 .（由于画圆的直观图一般不用斜二测画法，因此圆的面积及其直观
图的面积不满足此关系）#2.6
. .
学思用·典例详解
例2-5 如图8.2-3所示，中,，边上的高 ，则水平放
置的 的直观图的面积为___________．
图8.2-3
图8.2-4
【解析】 画轴，轴，两轴交于点，使 .
作的直观图如图8.2-4所示，则 ，
，（注意斜二测画法中“横不变、纵折半”）
故在中，边上的高为 ，所以
的面积为 ,由平面图形的面积与其
直观图的面积间的关系,可得水平放置的
的直观图的面积是 .
，
即水平放置的的直观图的面积为 ．
. .
. .
解题课丨关键能力构建
题型1 画平面图形的直观图
例6 [教材改编P109 T2（3）]用斜二测画法画出如图8.2-5所示的水平放置的
的直观图．
图8.2-5
思路点拨 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤来画其直观图．
【解析】（1）第一步：建系.
在三角形中建立如图8.2-6（1）所示的直角坐标系 ，再建立如图8.2-6（2）所示
的坐标系，使 ．
（2）第二步：取方向.
在图8.2-6（1）中作轴于点，在坐标系中，沿轴正方向取 ，
沿轴负方向取 ．
在坐标系中沿轴正方向画平行于轴，且 ．
图8.2-6
（3）第三步：整理.
连接,,去掉辅助线，得到 ，
即水平放置的 的直观图,如图8.2-6（3）
所示．
画平面图形直观图的关键
1.在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系.
2.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以
分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类
是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂
直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
题型2 画空间几何体的直观图
例7 [教材改编P110例3]用斜二测画法画一个上底面边长为,下底面边长为 ，
高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为 的正四棱台.
图8.2-7
【解析】（1）第一步：画轴.
如图8.2-7（1）所示，画轴、轴、 轴，三轴相交
于点，使 , .
（2）第二步：画下底面.
在平面上画边长为 的正方形的直观图
ABCD.
（3）第三步：画上底面.
在上截取,过分别作平行于轴,轴的轴,轴，在平面
上用画正四棱台下底面直观图的方法画出边长为 的正四棱台的上底面的直观图
A'B'C'D'.
（4）第四步：整理.
依次连接,,, ,整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）得到正四棱
台的直观图，如图8.2-7（2）所示.
例8 [教材改编P111例4]一个几何体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且
圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为 ,高（两底面圆心连线的
长度）为，圆锥的高（顶点与底面圆心连线的长度）为 ,画出此几何体的
直观图.
思路点拨 这个几何体是一个简单的组合体，可以先画出下部的圆柱的直观图，再
画出上部的圆锥的直观图.
【解析】（1）画轴.如图8.2-8（1）所示，画轴、轴，使 .
图8.2-8
（2）画圆柱的下底面.在轴上取，两点，使，且 ，利用椭
圆模板画适当的椭圆且过， 两点，使它为圆柱的下底面.
（3）画圆柱的上底面.在上截取，过点作平行于轴的轴 ，类
似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点.在上取点，使 .
（5）成图.连接，，， ，整理（去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线）
得到此几何体的直观图，示意图如图8.2-8（2）所示.
画空间几何体的直观图的一般步骤
（1）画轴：通常以底面上的两条互相垂直的直线为轴、轴，高所在直线为 轴建系；
（2）画底面：根据平面图形的直观图画法画底面的直观图；
（3）确定顶点：利用与轴平行或在 轴上的线段确定有关顶点；
（4）连线成图：画图完成后，擦掉辅助线，看得见的部分用实线，被遮挡的部分用
虚线（或不画），就得到了几何体的直观图.
题型3 直观图的还原及相关计
图8.2-9
例9 如图8.2-9所示的正方形中点的坐标为 ，则由斜
二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'O'中，顶点到 轴
的距离为_ __.
思路点拨 用斜二测画法画出正方形的直观图，然后根据直观
图与原图形中线段、角度等的关系进行计算.
【解析】由斜二测画法可知，在斜坐标系中，, .过 作
轴的垂线，垂足为.在中， .
图8.2-10
例10 (2025·山东省泰安市新泰一中期中)图8.2-10是水平
放置的四边形的直观图,则原四边形
的面积是( )
C
A.14 B. C.28 D.
图8.2-11
【解析】 如图8.2-11，画平面直角坐标系 ，取
，过点作轴，在上截取 ，
，（原图形中平行于轴（或在 轴上）的线段
在斜二测画法中长度减半）再过点作轴，过点 作
轴，并截取,.连接 ，得
直观图A'B'C'D'的原四边形 .由作法得
.
因为,所以梯形的高为 ,故
,则 .
. .
. .
由直观图还原为平面图形的关键点
（1）直观图中轴与轴的夹角为 （或）,还原为平面图形时,需还原成 .
（2）先找与轴、轴平行的直线或线段，平行于 轴的线段还原时长度不变，平
行于 轴的线段还原时为直观图中相应线段长的2倍.
（3）对于相邻两边不与轴、轴平行的顶点，可过该顶点作轴、 轴的平行线
确定其在直角坐标系 中的位置.
直观图相关计算的注意点
（1）直观图中任意一点距轴的距离都为原图形中对应点距轴距离的 .
（2）, .
【学会了吗丨变式题】
新考法 新定义题 (2025·河南省漯河市期末)若在斜二测画法得到的直观图中，,
分别是轴,轴上的单位向量，定义：若，则点 在直观图的坐标
系中的坐标为．已知在直观图的坐标系中的点坐标为 ，则
的长可以是______________________________．
或（任意写一个都正确）
【解析】如图D 8.2-1所示，根据斜二测画法得到直观图，
图D 8.2-1
当坐标轴正向夹角为 时，由余弦定理可知，
.
当坐标轴正向夹角为 时，由余弦定理可知，
.
习题课丨学业质量测评
1.(2025·江苏省江阴市期中)在用斜二测画法画水平放置的时，若 的两边分
别平行于轴、轴，则在直观图中 等于( )
D
A. B. C. D. 或
【解析】因为的两边分别平行于轴、轴，所以 .
在直观图中，由斜二测画法知 或 ，即 或
，故选D.
2.［教材改编P112 T5］已知边长为1的菱形中， ，则用斜二测画法
画出的这个菱形的直观图的面积为( )
D
A. B. C. D.
图D 8.2-1
【解析】如图D 8.2-1,在菱形中，, ,连
接 ，则菱形的面积
，所以用斜
二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为
.
图8.2-1
3.(2025·广东省广州中学期中)如图8.2-1，正方形 边长
为 ,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的
周长是( )
D
A. B. C. D.
图D 8.2-2
【解析】在直观图中,,, ,
,
所以在原图中，如图D 8.2-2所示，, ,
,， ,
所以原图形的周长是 .
4.在下列平面直角坐标系中， 都是边长为1的正三角形,则它们的直观图不是全
等三角形的一组是( )
C
A. B. C. D.
【解析】由于在直观图中原来平行于轴（或在 轴上）的线段的长度不变，而原来
平行于轴（或在 轴上）的线段的长度变为原来的一半，故选项C中，第二个图作
出直观图后线段，,的长度都改变了，而第一个图作出直观图后线段 的长
度不变,所以两个三角形的直观图不是全等的．
图8.2-2
5.(2025·天津市汇文中学月考)如图8.2-2，
是水平放置的 的直观图，但部分
图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点 ，
均在坐标轴上，且的面积为12，则
的长度为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】根据题意，设的长度为，又由的坐标为，则 ，故
，
又的面积为12，则有，解得 ．
6.［教材改编P111习题8.2 T1］[多选题] 下列利用斜二测画法得到的结论中，正确
的是( )
CD
A.两条相交直线的直观图是平行直线
B.两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C.正方形的直观图是平行四边形
D.梯形的直观图是梯形
【解析】两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故A错；
两条垂直直线的直观图可能是垂直直线，也可能是两条相交但不垂直的直线，故B
错； 正确.
图8.2-3
7.[多选题]在如图 8.2-3所示的水平放置的三角形的直观图中，
是中边上一点，且, 轴，那么原
的，， 三条线段中( )
AD
A.最长的是 B.最长的是 C.最短的是 D.最短的是
图D 8.2-3
【解析】根据题意，原 的平面图如图D 8.2-3,其中，
，，则有 ，
故的,,三条线段中最长的是，最短的是 .故选
．
8.[多选题](2025·河南省许昌市期末)如图 8.2-4所示，一个水平放置的平面图形的斜
二测直观图是等腰梯形，其中, ,则( )
BD
图8.2-4
A.原图形是一个正方形 B.原图形中的长为
C.原图形的周长为 D.原图形的面积为
图D 8.2-4
【解析】还原该平面图形，如图D 8.2-4所示，易知四边形
为直角梯形，
且，,,则,所以四边形 的
周长为，面积为.故选 .
图8.2-5
9.(2025·河南省部分名校期末)用斜二测画法画出 的直
观图△A'B'C'如图8.2-5所示，，内角，， 的
对边分别为，，，且， ，则在
中， 边上的高为____．
【解析】由题意可得 ，
，
在中，由正弦定理可得 ，解得
，
由斜二测画法的性质可得，在原三角形中，，则为中 边上的
高， ．
10.(2025·四川省成都市嘉祥外国语高级中学月考)用斜二测画法画出的水平放置的平
面图形的直观图为如图8.2-6所示的，已知 是边长为2的等边三
角形，则顶点到 轴的距离是_____.
图8.2-6
图D 8.2-5
【解析】如图D 8.2-5（1）中，过作轴，交 轴于
点 ，
如图D 8.2-5（2），在平面直角坐标系中，在 轴上取
, ，
过点作轴，取，连接,，则 即
原图形.
故为点到轴的距离，设,则 .
在图D 8.2-5（1）中过作轴，且交轴于点 ，
则 ，
, ，
即，解得 .
11.［教材改编P112 T3］用斜二测画法画出底面边长为，侧棱长为 的正
四棱锥的直观图.
【答案】（1）画轴.如图D 8.2-6（1）所示,画轴、轴、轴，三轴交于点 ，且
， .
（2）画底面.以点为中心,在平面内，画出边长为 的正方形的直观图
ABCD.
（3）画四棱锥的顶点.在轴上截取线段,使 .
图D 8.2-6
（4）成图.连接，，， ，并擦去辅助线，将被
遮住的部分改为虚线，即得正四棱锥的直观图，如图D
8.2-6（2）所示.