8.3 简单几何体的表面积与体积 课件(共182张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共182张PPT)
第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 柱体、锥体、台体的表面积
几何体及侧面展开图 面积公式
多面体 （三种特 例） 直棱柱 为底面周长， 为
侧棱长 ；
.
几何体及侧面展开图 面积公式
多面体 （三种特 例） 正棱锥 为底面周长，
为斜高，即侧面等腰三角形
底边上的高 ；
.
正棱台
， 分别为上、下底面周
长， 为斜高,即侧面等腰梯
形的高 ；
.
续表
几何体及侧面展开图 面积公式
旋转体 圆柱 ； ；
.
其中，为底面半径， 为母
线长.
圆锥 ； ；
.
其中，为底面半径， 为母
线长.
续表
几何体及侧面展开图 面积公式
旋转体 圆台 ； ；
；
.
其中，, 分别为上、下底
面半径， 为母线长.
续表
知识回顾（1）长方体是特殊的直棱柱，设长方体的长、宽、高分别为,, ，则长方
体的表面积为 .
（2）正方体的表面积为为正方体的棱长 .
（3）圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为圆锥母线长，为底面半径 .
（4）圆台的侧面展开图扇环所对的圆心角为母线长，， 分别为上、
下底面半径 .（【提示】可将圆台补为圆锥，再利用扇形的圆心角公式求得该公式）#1.4
教材深挖（深挖教材第117页第一个【思考】）
正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积公式之间的关系
当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；
当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥.
由此可得：.其中,
为下、上底面周长，, 为相应几何体的侧面底边上的高.
圆柱、圆锥、圆台的侧面面积公式之间的关系
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；
当圆台的上底面缩为一个点时，得到圆锥.
由此可得：.其中，, 为
上、下底面半径， 为母线长.
学思用·典例详解
例1-1 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为 ，则它的表面积为
_______.
【解析】正六棱柱的底面边长为 ，且正六棱柱的底面为正六边形，
所以其一个底面面积为 .
（将一个底面拆为6个正三角形 ）
又侧面对角线的长为 ，
所以侧棱长为 ，
则该正六棱柱的表面积为 .
例1-2 [教材改编P114例1](2025·浙江省宁波市北仓中学期中)正四棱锥底面正方形的
边长为4,高与斜高的夹角为 ,则该四棱锥的侧面积为( )
A
A.32 B.48 C.64 D.
图8.3-18
【解析】如图8.3-18所示，在正四棱锥中，连接 ,
,交于点,连接,取的中点,连接， .
易知为正四棱锥的高，为斜高，所以 为
，则,因为,所以 ,
则 .
例1-3 (2025·北京市第九中学月考)已知圆柱的上、下底面的中心分别为， ，过
直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】因为过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱
的高为，底面的直径为 ，所以该圆柱的表面积为
.
例1-4 ［教材改编题P119练习T1］已知圆锥的底面半径为,高为 ,则圆锥的侧
面面积是_____，侧面展开图中扇形的圆心角 ___.
【解析】设圆锥的母线长为，则 ，
圆锥的侧面面积 ，侧面展开图中扇形的圆心角
.
例1-5 [教材改编P116 T1](2025·山东省青岛市期中)圆台 的母线长为6，两底面半
径分别为2，7，则圆台的侧面面积是_____.
【解析】圆台的上底面半径,下底面半径,母线长 ,则圆台的侧面面积
.
知识点2 柱体、锥体、台体的体积
1 柱体、锥体、台体的高
图8.3-1
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面
之间的距离，即从一底面上任意一点向另
一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底
面的交点）之间的距离.圆柱的母线长即圆
柱的高.特别地，当一个棱柱为直棱柱时，
侧棱长就是高.如图8.3-1所示.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面
作垂线，顶点与垂足之间的距离.如图8.3-2所示.
（3）棱台（圆台）的高是指两个底面之间的距离.如图8.3-3所示.
2 柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 为底面面积，为高 ,
为底面半径，为高
锥体 为底面面积，为高 ，
为底面半径，为高
台体 ，分别为上、下底面面积，为高 ，
（【教材链接】台体体积公式的证明见教材第154页【例6】，该公式容
易记错，可借助证明过程加深理解）
，分别为上、下底面半径，为高
. .
教材深挖 （深挖教材第117页第二个【思考】）
柱、锥、台体体积公式之间的关系#1.1.1
柱体可以看作上、下底面相同的台体，
锥体可以看作有一个底面是一个点的台体,
因此柱体、锥体可以看作特殊的台体.柱体、
锥体的体积公式可以看作台体体积公式的
特殊形式.具体如下（等高前提下）
知识延伸 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的上、下底
面即其直截面.棱柱的侧面积和体积分别与直截面的周长和面积有如下关系：
，分别为棱柱的直截面周长与侧棱长 ，
，分别为棱柱的直截面面积与侧棱长 .
学思用·典例详解
例2-6 已知高为3的棱柱 的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥
的体积为_ __.
【解析】由题意知，三棱锥的高 ，则
.
例2-7 (2025·河北省邢台市期中)若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，
则该圆台的体积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】圆台的体积为 .
图8.3-19
例2-8 (2025·黑龙江省大庆实验中学期末)已知正方体
的棱长为1,除面 外，该正方体其
余各面的中心分别为点，，，， （如图8.3-19），
则四棱锥 的体积为_ __.
【解析】四棱锥的底面是一个边长为 的正方
形，其高为正方体棱长的一半，即 ，所以四棱锥
的体积为 .
知识点3 球的表面积和体积
1 球的表面积
设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以 为自变量的函数.事实上，
如果球的半径为，那么它的表面积 .
2 球的体积
设球的半径为，它的体积只与半径有关，是以 为自变量的函数.事实上，如
果球的半径为，那么它的体积 .
. .
. .
学思用·典例详解
例3-9 ［教材改编P119练习T2］若一个球的体积为 ，则该球的表面积为_____．
【解析】设该球的半径为，则，解得 ，所以该球的表面积
.
释疑惑 重难拓展
知识点4 几何体体积的计算方法
1.公式法：直接套用体积公式求解.
2.等体积法：计算三棱锥的体积时可以用任意一个面作为三棱锥的底面.如图8.3-
4，有 .
图8.3-4
3.分割法：在求一些不规则几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易
于求解的几何体，先分别求体积，再求和.
图8.3-5
4.补形法：对一些不规则（或难求解）的几何体，我们可以通过补形，将其
补为规则（或易于求解）的几何体.常见情况如下.
（1）将正四面体补成正方体，如图8.3-5.
图8.3-6
（2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图8.3-6,,, .
图8.3-7
（3）将三条棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图8.3-7，,
, .
（4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图8.3-8或图8.3-9.
图8.3-8
图8.3-9
（5）将三棱柱补成平行六面体，如图8.3-10.
图8.3-10
图8.3-11
（6）将台体补成锥体，如图8.3-11.
说明 一般地，分割法和补形法统称为割补法.
学思用·典例详解
图8.3-20
例4-10 (2025·上海市宝山中学月考)如图8.3-20，在正四棱柱
中，， ，则三棱锥
的体积为__ .
【解析】三棱锥即三棱锥 ,在正四棱柱
中，， ，
则三棱锥的底面积为，高为 ，故
.
图8.3-21
例4-11 (2025·湖南新化县第二中学期中)如图8.3-21所示，正方体
的棱长为4，动点,在棱上，且,动点
在棱上，则三棱锥 的体积( )
D
A.与点,的位置有关 B.与点 的位置有关
C.与点,，的位置都有关 D.与点,, 的位置均无关，是定值
【解析】因为点到面的距离等于正方体的棱长4，到 的距离等于正方体的
棱长4，所以 ,是定值，因此三棱
锥的体积与点,， 的位置均无关.
例4-12 ［教材改编P116 T3］在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱中点
的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是
( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意易知正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体所
得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是 ,故剩下的几
何体的体积是 .
例4-13 如图8.3-22，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的最
大值为，最小值为 ，那么圆柱被截后剩余部分的体积是_____________.
图8.3-22
【解析】将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体
积为 ，
所以所求几何体的体积为 .
知识点5 几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.解决有
关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径.
1 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案
2 外接球的常见情形
图8.3-12
（1）长方体（正方体）模型（如图8.3-12）
球心位置：长方体体对角线的中点.
半径计算公式: 为长方体外接球半径，,,分别为长方体的
长、宽、高 .
当时，得正方体外接球直径： .
（2）直棱柱（圆柱）模型（如图8.3-13）
球心位置：上、下底面外接圆圆心连线中点处.
半径计算公式： 为直棱柱外接球半径，为外接圆半径，
为棱柱的高， 可根据正弦定理求解，其中,,分别为
内角,,的对边 .
（3）正棱锥（圆锥）模型（如图8.3-14）
球心位置：位于正棱锥顶点与底面中心连线（或延长线）上.
半径计算公式：为正棱锥外接球半径，为 外接圆
半径，为正棱锥的高，可利用正弦定理求解，其中,, 分
别为内角,,的对边 .
（4）侧棱与底面垂直的锥体（直棱锥）模型
可先将直棱锥 补成直棱柱
（如图8.3-15所示）,再用直棱柱（圆柱）模
型求其外接球的半径.
（5）侧面与底面垂直的锥体模型
如图8.3-16所示,三棱锥中,侧面 底面,可在平面内作 垂
直于,且交的外接圆于点,则三棱锥的外接球与三棱锥 的外
接球为同一个球,再用侧棱与底面垂直的锥体模型求其外接球的半径.
（6）对棱相等的三棱锥的外接球：如图8.3-17所示，在三棱锥 中，
,,,可作三棱锥 的外接长方体，设长方体的长、宽、
高分别为，，，外接球的半径为,则, ,
,则 ，也就是说，对棱相等的三棱
锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥任意一个顶点出发的三条棱的平方和的一半.
3 内切球半径的求解思路
方法一：利用内切球的定义直接找球心和半径，常用的方法是作轴截面
（一般作出轴截面或对角面所在的截面）,再根据题中的数量关系将空间问题转化为
多边形内切圆问题.
方法二：利用等体积法直接来求半径（球内切于多面体,则球心到各个面的距离
相等）.
对于多面体的内切球，设其球心为 ，连接多面体各顶点与球心，将多面体分
割为若干个棱锥.
设多面体的体积为,多面体的表面积为，多面体各个面的面积分别为， ，
， ，,内切球的半径为,即球心到各个面的距离为 ,则
,于是可得
.
学思用·典例详解
例5-14 [教材改编P120 T5]
（1）若一球内切于正方体，则正方体的棱长与球的半径之
比为_____.
【解析】若一球内切于正方体，则球的直径和正方体的棱长相等，故正方体的棱长
与球的半径之比为 .
（2）若一球与正方体的所有棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为______.
【解析】若一球与正方体的所有棱都相切，则球的直径和正方体的面对角线的长相
等，故正方体的棱长与球的半径之比为 .
（3）正方体的内切球和外接球的体积之比为________.
【解析】设正方体的棱长为,则正方体内切球的直径等于 ，外接球的直径等于正方
体体对角线的长 ．根据球的体积公式可得，正方体的内切球和外接球的体积之
比为 .
点评 棱长为的正方体的内切球半径为,棱切球半径为,外接球半径为 ,三
者之间的比为1 .（可作为小结论使用）
【想一想丨问题质疑】
正方体与球的切、接问题
正方体（棱长为 ）与球常见切、接问题的截面图有以下三种：如图8.3-23（1）,球
内切于正方体；如图8.3-23（2），球外接于正方体；如图8.3-23（3），球与正方体
各棱均相切.
图8.3-23
（1）对于图8.3-23（1），取的是正方体的中截面（指与底面平行，且与两底面等距
离的平面截几何体所得的截面）， 为球的一个大圆，从图中可以看出球的直径
等于正方体的棱长；
（2）对于图8.3-23（2），取的是正方体的一个对角面（经过两条不相邻的侧棱的截
面）， 为球的一个大圆，从图中可以看出球的直径等于正方体的体对角线长，
此时一定要注意圆的内接四边形不是正方形，而是矩形;
（3）对于图8.3-23（3），取的仍是正方体的一个对角面，可以看出球的直径等于正
方体的面对角线长.
对于以上三类问题，只要按照上述三种方法选取截面就可以了.
例5-15 正四面体的内切球、棱切球（与各条棱均相切的球）及外接球的半径之比为
________.
【解析】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为, .如图8.3-24所示，
图8.3-24
为的中点，,则线段为正四面体 的高，且
, .由正四面
体的性质知三个球的球心重合，且球心在线段 上，则
,,所以 ,
,而棱切球的半径为 ，则正四面体的内切球、棱切球及
外接球的半径之比为 .
点评 求外接球半径也可将正四面体放入正方体中，如例30.
正四面体必记结论：棱长为的正四面体，斜高为，高为 ,其内切球的半径
,外接球的半径, ,外接球与内切球的球心重合.
解题课丨关键能力构建
题型1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1 圆柱、棱柱的表面积与体积
例16（1）用一张 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积为
( )
C
A.或 B.
C.或 D.
【解析】有两种不同的卷法（横向卷和纵向卷），分别如下.
①以矩形长度为的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为 ，
此时底面周长为,得 ,
则两底面面积之和为，又 ，
故此时该圆柱的表面积为 .
②以矩形长度为的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为 ，
此时底面周长为,得 ，
则两底面面积之和为，又 ，
故此时该圆柱的表面积为 .
. .
（2）一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积
的比值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由于正方体和圆柱等高，故设正方体的棱长和圆柱的高（母线长）都为 ，
圆柱的底面半径为，则正方体的侧面面积为,圆柱的侧面面积为 .
又，所以，所以正方体的体积为 ，圆柱的体积为
，故 .
（3）底面是菱形的直棱柱，它的侧棱长是5，体对角线的长分别是9和15，则这个直
棱柱的表面积是____________.
【解析】依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为 ，底面的另一
条对角线长为 .（【依据】直棱柱的体对角线、侧棱、菱形的对角
线三者构成直角三角形）
又菱形的两条对角线互相垂直平分，故底面边长为 ,则这个直
棱柱的侧面面积 .这个直棱柱的底面积
.
故该直棱柱的表面积为 .
【学会了吗丨变式题】
1.在正三棱柱中,为棱的中点,若 是面积为6的直角三角形,
则此三棱柱的体积为_____．
【解析】设,,则,,又 是直
角三角形，所以,得,又,所以, ,所
以此三棱柱的体积 .
2.(2025·四川省南充市白塔中学月考)已知直四棱柱的高为2，其底面四边形 水
平放置时的斜二测直观图为矩形 ，如图8.3-25所示．若
，则该直四棱柱的表面积为( )
C
图8.3-25
A. B. C. D.
图D 8.3-1
【解析】由直观图可得底面平行四边形 的平面图形如图D
8.3-1，由，得 ，
所以， ，则
， ，所以
.
又直四棱柱的高，所以直四棱柱的侧面积 ，
所以直四棱柱的表面积 ．
2 圆锥、棱锥的表面积与体积
例17（1）已知一个圆锥的底面积为 ，侧面积为 ，则该圆锥的体积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为，，，则解得
,
则圆锥的体积 ．
图8.3-26
（2）(2025·广东省江门市培英高级中学期中)如图8.3-26，
长方体的体积是120，为 的中点，则
三棱锥 的体积是____.
10
【解析】 长方体 的体积是120，
.
又是 的中点，
（根据, 进行转化）
.
（3）(2025·河南省濮阳市期中)如图8.3-27所示，若正三棱锥 的侧面积是底
面积的2倍，正三棱锥的高 ，则此三棱锥的表面积为______.
图8.3-27
【解析】设正三棱锥的底面边长为,斜高为，过点作，交于点 ，连
接，则， .
，, .
, ,（常利用高、斜高、底面边心距三者之间的关系求
解）
,解得 ,
则 .
, ,
.
. .
求锥体的表面积与体积时的注意点
1.求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量,即底面边长、高、斜高、侧
棱长，并注意高、斜高、底面边心距所成的直角三角形的应用.
2.求解圆锥的表面积和体积时，除应用“圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的弧长为圆锥的
底面周长”求出母线长和底面半径外，还需注意“圆锥的轴截面是等腰三角形”的应用.
【学会了吗丨变式题】
3.(2025·河北省邯郸市期中)已知在直三棱柱中， ，
，，，分别是，上的点，且 ，现截面
将该三棱柱截成两部分，则几何体 的体积为____．
96
图D 8.3-2
【解析】由题意知，，， ，则
，由，且，所以 ，
，，如图D 8.3-2，分别在，上取点, ，
使得，连接,, ，
则几何体可看作由直三棱柱 和四棱
锥 组成，
因为 ，
，
所以所求几何体体积为 ．
4.(2025·江苏省南通市期中)某圆锥的侧面展开图是面积为 且圆心角为 的扇形,则
此圆锥的表面积为____,体积为_ ____.
【解析】设圆锥的底面半径为,母线长为,因为该圆锥的侧面展开图是面积为 且
圆心角为的扇形,所以
解得故圆锥的表面积为 ,圆锥的高为 ,
体积为 .
5.(2024·山东省济宁市期末)对24小时内降落在平地上的积水厚度 进行如下定义：
积水厚度/
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
图8.3-28
小明用一个如图8.3-28所示的圆锥形容器接了24小时的雨水，则这
一天的雨水等级属于( )
B
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
【解析】作出截面图如图D 8.3-3所示，设圆锥形容器中水面的半径为 ,则
,所以，所以24小时所接雨水的体积 .设底
面半径为的圆柱的高为 ，由题意可知，
，得,即这一天的积水厚度为 ，属于
中雨.故选B.
图D 8.3-3
3 圆台、棱台的表面积与体积
例18（1）已知一个圆台上底面的半径为2,下底面的半径为3,截得此圆台的圆锥的高
为6,则此圆台的体积为_____.
【解析】作出圆台的轴截面，如图8.3-30，设圆台的高为,则 ,（根据相似三
角形对应线段成比例，求出圆台的高）所以 ,
图8.3-30
所以圆台的体积为 .
. .
（2）(2025·安徽省宣城市期末)圆台的上、下底面半径分别为， ，它的侧面
展开图扇环的圆心角为 ，则圆台的表面积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】如图8.3-31所示，设圆台的上底面周长为 ，
图8.3-31
因为扇环的圆心角是 ，所以 ，所以 .
同理可得，所以 ，
所以 ．
故圆台的表面积为 .
图8.3-29
（3）新情境 器具“斗” (2025·湖南省长沙市期中)
“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图8.3-29所
示，其可近似看作正四棱台，上底面是边长为 的正方形，下
底面是边长为的正方形，高为 ．“斗”的面的厚度忽略不
A
A. B.16 C. D.4
【解析】由题意可知,四棱台的侧面均为等腰梯形,且其斜高为
，
（不熟练的情况下可以画出一个等腰梯形，利用图形辅助求解）
所以“斗”的所有侧面的面积之和为 ，下底
面的面积为，所以 .
计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积的比值为 ( )
名师点评 在棱锥与由平行于其底面的截面所截得的小棱锥中，有如下比例关系：
对应线段（如高、斜高、底面边长等）之比的平方.
在求台体的侧面积、底面积的比值时，将台体补成锥体，即可应用这个关系式.
求台体的表面积与体积时的注意点
1.求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量（上下底面边长、高、斜
高、侧棱长），并注意两个直角梯形（高、侧棱与上下底面外接圆半径所成的直角
梯形,高、斜高与上下底面边心距所成的直角梯形）的应用.
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原
成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．
2.求解圆台的表面积和体积时，注意其轴截面是等腰梯形的应用.求圆台的表面积的
关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略,利用侧面展开图将空间问题平面
化也是解决问题的重要方法.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·安徽省A10联盟月考)乐乐同学在学校的 打印社为全班50位同学每人打印了
一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，如图8.2-32，盘子的底面正六边形边
长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为 .如果乐乐要在每个盘子的内外
表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要 涂料，则共需要涂料约为（不考虑盘子
厚度，结果保留整数，参考数据：, ）( )
B
图8.3-32
A. B. C. D.
【解析】盘子侧面等腰梯形的高为 ，
侧面六个等腰梯形的面积之和为 ，
底面面积为 ，
所以每个盘子需要刷涂料的面积为 ，
所以给50个这样的盘子涂防水涂料，共需涂料 .
题型2 柱、锥、台侧面上的最短距离问题
图8.3-33
例19 (2025·福建省福州市期中)如图8.3-33，已知正三棱柱的底面边长为
，高为.一质点自点 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点
的最短路线的长为____ .
13
【解析】我们将“绕行两周”看作将正三棱柱 的侧面展开两次，得到展
开图（示意图）如图8.3-34所示，
图8.3-34
则 就是最短路线,（因为两点之间线段最短）
.
例20 (2025·山东省青岛市期中)如图8.3-35所示，圆台母线长为 ，上、下底
面半径分别为,，从母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点 .
图8.3-35
（1）求绳长的最小值;
图8.3-36
【解析】沿母线 将圆台侧面展开并补成扇形，如图8.3-36所
示，为圆台母线的交点，, 分别为圆台上、下底面圆心.
易知，与 相似，
得 ，
由,解得 .
因为的长与底面圆的周长相等，而底面圆 的周长为
,
又扇形的半径 ，
设扇形的圆心角为 ,所以 ,解得,则 .
连接，在中， ，
所以 ，
即所求绳长的最小值为 .
（原理还是两点之间线段最短）
（2）求绳子最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
【解析】如图8.3-36所示，过点作，垂足为，交于点 ，
则所求最短距离即为 的长.
因为 ,
所以 .
即绳子最短时,圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为 .
最短路线的求解思路
求几何体侧面上两点间路线长的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化
为平面上两点间线段最短问题.求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾
股定理等知识解决问题，这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现.
【学会了吗丨变式题】
图8.3-37
7.[多选题](2025·四川省广安市期末)如图8.3-37，已知圆锥 的底面
半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点 ，则( )
ABC
A.圆锥的体积为
B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C.圆锥截面的面积的最大值为
D.若点在上，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点
的最短路线的长度为
【解析】对于A，圆锥的高，体积 ，
故A正确；
对于B，侧面展开图弧长 ，圆心角 ，故B正确；
对于C，截面的面积 ，（利用三角形面积公式将面积最
大问题转化为角的正弦值最大问题）
当为直径时，因为底面半径为1，所以直径为2，小于母线长，故此时 为锐
角，最大，又此时，所以 ，故面积最
大值为 ，故C正确；
图D 8.3-4
对于D，侧面展开图扇形圆心角，在上且 ，
则，如图D 8.3-4，最短路线为线段 ，
（利用侧面展开图求最短路线长是常用手段）
在中，，，则 ，
故D错误．故选 .
题型3 球的表面积与体积
例21（1）(2025·山东省淄博市期中)若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半
径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，球的半径为 ，
则由题意得解得
,
,
,
.
故圆锥侧面积与球的表面积之比为 .
图8.3-38
（2）如图8.3-38所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别为5,12,13，
当球与上底面三条棱都相切时，球心到下底面的距离为8，则球的
体积为( )
A
A. B. C. D.
图8.3-39
【解析】如图8.3-39，记球心为,三棱柱为 ,且
,,,高,所以上底面 是以
为斜边的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆,圆 与
边切于点,连接,, ,
则圆的半径 .（利用等面积法求解）
由球的几何知识得为直角三角形，且 ,
所以,即球的半径为 ，
所以球的体积为 .
. .
计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握表面积公式
和体积公式 中系数的特征和半径次数的区别.必要时需逆用
表面积公式和体积公式得到球的半径.
注意:（1）计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免遗
漏或重叠；（2）对于球体，表面积比等于半径比的平方，体积比等于半径比的立方.
题型4 不规则几何体的表面积与体积
1 组合体的表面积与体积
图8.3-40
例22 新情境 金属陀螺 (2025·江西省五市联考)陀螺是中
国民间最早的娱乐工具之一，它是一种可以绕一个支点高
速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺
（如图8.3-40（1）），它的形状可以看作上半部分为圆柱，
下半部分为倒置的圆锥的组合体,如图8.3-40（2）.现知尖
D
A. B. C. D.
底长为3，柱体与锥体部分高之比为，底面圆周长为， 则陀螺的表面积
为( )
【解析】由题意可知，，，令 ，
因为底面圆的周长为 ，所以 ，得 ，
所以圆锥的母线长 ，
所以圆锥的侧面积为 ，圆柱部分的表面积为
，
故陀螺的表面积为 ．
例23 传统文化 斗拱构件 (2025·广东省佛山市期中)斗拱是中国古典建筑中具有装饰
性的构件之一，并为中国所特有，图8.3-41（1）（2）是北京故宫太和殿斗拱图，图
8.3-41（3）是斗拱构件之一的“斗”的几何体，是由棱台与长方体形凹槽（长方体去
掉一个长相等、宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积
分别是，，高为，长方体形凹槽的高为 ，“斗”的密度是
．那么这个“斗”的质量是( )
C
图8.3-41
A. B. C. D.
【解析】易知棱台的体积 .
已知长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等、宽和高分别为原长方体一半的小长
方体，（即去掉的小长方体的体积是原长方体体积的 ）
所以长方体形凹槽的体积是原长方体体积的 ，所以长方体形凹槽的体积
.
故这个“斗”的质量（质量等于密度乘体积）
．
. .
2 割补法求几何体的体积
例24 如图8.3-42所示，在多面体中，已知面 是边长为4的正方形，
，，到面 的距离为3，求该多面体的体积．
图8.3-42
图8.3-43
【解析】 （分割法） 如图8.3-43所示，连接,， .
（通常通过作辅助线将一个不熟悉的几何体分割成几个常见的几
何体）
四棱锥的体积 .
,, .
原多面体的体积 .
即该多面体的体积为20.
图8.3-44
（分割法） 如图8.3-44所示，设，分别为， 的
中点，连接,,,,,,则,, ,原
多面体可分割为四棱锥及三棱柱 .
由题意得 .
原多面体的体积
.
即该多面体的体积为20.
.
图8.3-45
（补形法） 如图8.3-45所示，延长至点 ，使
，连接，，则多面体 为斜三棱
柱，且其直截面面积为 ，（垂直于斜棱柱的
侧棱的截面叫做斜棱柱的直截面）
则 .
连接，， 平面平面，为 的中点，
，
，
即 ，
,
故原多面体的体积 .
用割补法求几何体体积的基本策略
求几何体的体积时，若不能直接套用体积公式，则可考虑使用割补法，“割”就是将
几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体，“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几
何体，再用公式求解.割补法是立体几何中求体积的一种常用的重要方法.
【学会了吗丨变式题】
图8.3-46
8.传统文化 鲁班锁 (2025·湖北省黄冈市期末)
鲁班锁（也称孔明锁）起源于古代中国建筑的榫卯结
构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结
构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和
内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图
A
A. B. C. D.
，这是一种常见的鲁班锁玩具，图8.3-46（2）是该鲁班锁玩具的直观图，
每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )
【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看作一个棱长为 的正方体截去了8
个正三棱锥所剩的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，
则该几何体的表面积
．
题型5 球的切、接问题
1 球与棱柱的切、接问题
（1）球与长方体或正方体的切、接问题
例25 已知正方体的内切球的体积是 ，则该正方体的表面积为( )
C
A.16 B.36 C.96 D.216
【解析】设正方体内切球的半径为 .
正方体的内切球的体积是 ，
，得 ，
则正方体的棱长为 ，
那么正方体的表面积 .
母题 致经典·母题探究
长方体、正方体的外接球
长方体、正方体是高中数学中两种常见的几何体，其外接球的考查也是热点.由于长
方体和正方体的中心到顶点的距离相等，而球面上各点到球心的距离也相等，因此
长方体和正方体的中心就是其外接球的球心，长方体和正方体的体对角线就是外接
球的直径.熟知这一结论是解决长方体、正方体外接球问题的关键.
例26 (全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为 ,所以正
方体的外接球的半径为,球的表面积为 .
子题
子题1 (2025·陕西省西安中学期中)已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若
这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为___.
【解析】由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 .
设该正方体外接球的半径为,则，得 ，
所以这个球的体积为 .
子题2 (2025·天津市第五十七中学月考)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点
都在球的球面上，则球 的表面积为_____.
【解析】依题意得，长方体的体对角线长为 ，记长方体的外接
球的半径为，则，因此球的表面积为 .
（2）球与三棱柱的切、接问题
例27 (2025·广东省龙川县第一中学期中)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为
,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
B
A. B. C. D.
图8.3-47
【解析】如图8.3-47所示，设， 分别为上、下底面的中心，
连接，则球心为的中点，连接并延长交于 点，
连接 .
,, ,
,故该球的表面积
.
例28 (全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若 ,
，，,则 的最大值是( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意可得要使球的体积 最大，则需球与直三棱柱的部分面相切.若与三
个侧面都相切，可求得球的半径为2，则球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这
个球放不进去，则球可与上、下底面相切，则球的半径 ，此时该球的体积最大，
故 .
易错
不是所有的直三棱柱都有内切球，只有底面三角形内切圆的直径与直三棱柱的高相
等时，该直三棱柱才有内切球.
2 球与棱锥（以三棱锥为主）的切、接问题
例29 传统文化 蹴鞠(2025·山西省阳泉市期末)蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”
等，“蹴”有用脚蹴、踢、蹋的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴
鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠
已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠
的表面上有四个点，，，，满足，， ，
则该鞠的表面积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】因为，， （对棱相等的三棱锥），所以可以把
，，， 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是该鞠的直径．
设该长方体的长、宽、高分别为，，，该鞠的半径为 ，则
．
依题意，不妨令，，，所以 ，所以该
鞠的表面积为 ．
. .
例30 (2025·广西南宁市第二中学月考)正四面体的棱长为4，点,,, 都在球
的表面上，为棱的中点，过点 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为
____；截面面积的最大值为____.
图8.3-48
【解析】将正四面体 放置于如图8.3-48所示的正方体中，可得
该正方体的外接球就是正四面体的外接球，设该外接球 的半
径为 .
正四面体的棱长为4，且正四面体 的棱长是正方体的
面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径 满
足,解得 .
E为棱的中点，过点作其外接球的截面，当外接球的球心 到截面的距离最大
时，截面面积最小（此时截面圆的半径最小），此 时为截面圆心，球心 到截面
的距离 .
由截面的性质可得截面半径 .
故截面面积的最小值为 ．
截面面积的最大值为大圆的面积，即 .
. .
3 球与圆柱或圆锥的切、接问题
（1）球与圆柱的切、接问题
例31（1）数学文化 圆柱容球(2025·湖南省名校联考)“圆柱容球”是阿基米德生前最
引以为豪的发现，他去世后，
图8.3-49
墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形，如图8.3-49，球与圆柱的
侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积的比值为 ，圆柱
的表面积与球的表面积的比值为，则 ( )
B
A. B.1 C.2 D.4
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面圆的半径为，高为 ，则圆柱的体积为
，球的体积为，则 .
圆柱的表面积为，球的表面积为 ，则
.所以 ．
（2）已知圆柱的侧面积为 ，其外接球的体积为，则 的最小值为_ ___.
【解析】如图8.3-50，设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，高为 ,
图8.3-50
由圆柱的侧面积满足 ，得 ，
则，当且仅当，即， 时取等号，
（必须验证等号成立的条件）
所以的最小值为1，即，所以外接球的体积的最小值为 ．
（2）球与圆锥的切、接问题
例32 (2025·河北省部分示范性高中模拟)已知底面半径为的圆锥的侧面积为 ，
则该圆锥的外接球的体积为( )
A
A. B. C. D.
图8.3-51
【解析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为 ，该圆锥的
外接球的半径为，如图8.3-51，则 ，解得
，
.
又，即，解得 ．
该圆锥的外接球的体积为 ．
例33 (2025·陕西省宝鸡市南山中学开学考试)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则
该圆锥内半径最大的球的体积为_ ____.
图8.3-52
【解析】 圆锥内半径最大的球即该圆锥的内切球,如图8.3-
52,依题意可知该圆锥的母线长为,底面半径 ,高
,不妨设该内切球与母线切于点, 为球
心，令,则由,可得 ,
即,解得,此时 .
图8.3-53
如图8.3-53，记圆锥的轴截面为，其中 ,
，,在中， ，则
.设的内切圆圆的半径为,则
（利用等面积法求解）,
所以该圆锥内半径最大的球的体积为 .
. .
4 球与台体的切、接问题
例34 (2025·江苏省丹阳市质检)已知一圆台上底面半径为1（下底面半径大于上底面
半径），母线与底面所成角（轴截面等腰梯形的底角）的余弦值为 ，若此圆台存在
内切球（球与圆台各面均相切），则此圆台的表面积是( )
C
A. B. C. D.
图8.3-54
【解析】设上底面半径为，下底面半径为 ，
如图8.3-54，取圆台的轴截面，作 ，垂足为
，
设内切圆圆与梯形 四边均相切，
可知， ，
由题意可知，，可得 ，
即 ，可得此圆台的表面积是
.
例35 (2025·湖南省长沙市雅礼中学月考)正四棱台侧棱长为 ，上、下底面边长分
别为和 ，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是( )
B
A. B. C. D.
图8.3-55
【解析】如图8.3-55所示， ，
.
若球心在棱台内部时，设 为外接球球心，外接球半径为
，,分别为上、下底面的中心，连接,,,, .
易知, ，
又侧棱长为，则 ，又易知
，
设，则， ，
故，解得 .
若球心 在棱台外部时（因为该正四棱台是已知的，各棱长已确定，其外接球只有
一个，在球心位于棱台内部时已得出结果，所以也可以不用再讨论球心位于棱台外
部的情况），则有,即 , 解得
,不符合题意.
故，所以球的表面积为 .
. .
5 球与组合体的切、接问题
图8.3-56
例36 传统文化 印章(2025·北京市石景山区期末)我国有
着丰富悠久的“印章文化”历史，古时候的印章一般用贵
重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表
身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物
来使用．图8.3-56（1）是明清时期的一个金属印章摆件，
可以看作由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，
C
A. B. C. D.
如图8.3-56（2）．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何
体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
【解析】 底面边长为4， 底面的对角线长为 ，
设正四棱柱和正四棱锥的高都为 ,外接球（外接球球心为正四棱柱的中心）的半径
为 ，
则根据题意可得解得
外接球的表面积为 ．
. .
球与几何体的切、接问题的解题思路
1.求解几何体外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据有两
个：一是根据球心到球面上各点的距离都等于球的半径；二是根据球心与截面圆圆
心的连线垂直于截面.
2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面
所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的
位置关系和数量关系.
【学会了吗丨变式题】
9.(2025·福建省三明市期中)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，
且这个球的体积是 ,则这个三棱柱的侧面积为______，体积是______.
【解析】设球的半径为,由题意得 ,
,故正三棱柱的高 .
设正三棱柱的底面边长为,则, ,
正三棱柱的侧面积 ,
正三棱柱的体积 .
10.(2023·全国甲卷)在正方体中，，为 的中点，若该
正方体的棱与球的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是___________.
【解析】由该正方体的棱与球的球面有公共点，可知球 的半径应介于该正方体的
棱切球半径和外接球半径之间（包含棱切球半径和外接球半径）.
设该正方体的棱切球半径为，因为，所以，所以 ；
设该正方体的外接球半径为，因为，所以 ，所以
.
所以球的半径的取值范围是 .
11.(2024·福建省福州市期末)已知三棱锥的顶点都在球 的球面上，底面
是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球 的
表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】如图D 8.3-5，设球的半径为，的外心为 ，
图D 8.3-5
连接,,,当三棱锥体积最大时，在上，由题意得 的外接圆半径
为，的面积为， ，
可得三棱锥 体积的最大值为
，
（要使三棱锥的体积最大，则底面三角形的面积确定的情况下，只需高最大即可）
，解得 ．
球的表面积为 ．
12.(2025·陕西省西安高新第一中学模拟)正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，
若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则该正四棱台与该球
的体积之比为( )
B
A.14 B.7 C.7 D.7
图D 8.3-6
【解析】如图D 8.3-6，作出正四棱台的轴截面，可知这个
等腰梯形的内切圆圆就是内切球球 的大圆，（利用正四
棱台的轴截面图形，从而把内切球问题转化为内切圆问题）
过点作于点，,分别为上、下底面的中心，
为切点，连接,,,,其中, ，设球的
半径为，则在直角三角形 中，由勾股定理得，
，
利用等面积法得 ，
可得，解得 ，
再由棱台体积公式得 ，
由球的体积公式得 ，
所以该正四棱台与球的体积之比是 .
新考法 数学文化
图8.3-57
例37 九章算术 墙角米堆(2025·湖南省长沙市望城区第一中学期
末)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有
如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为
米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图8.3-57，米堆
为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为
5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约
为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )
B
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
【解析】因为米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底部的弧长为8尺,可知圆锥底面
圆的四分之一圆周长为8尺，所以可得米堆的底面半径 尺.由米堆的高为5尺，
可算得米堆的体积为 （立方尺）.
又 ，所以堆放的米约有22斛.
例38 九章算术 羡除(2025·辽宁省名校联
盟月考)我国古代数学名著《九章算术》中
记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深
三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几
何？”这里的“羡除”是指由三个等腰梯形和
A
图8.3-58
A.84 B.66 C.126 D.105
两个全等的三角形围成的五面体．在图8.3-58（1）所示“羡除”中， ，
，，，等腰梯形和等腰梯形 的高分别为7和3，且
这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图8.3-58（2）的分割方式进行体积计算，
则该“羡除”的体积为( )
【解析】按图8.3-58（2）中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角
三角形，两条直角边长分
别为7和3，直三棱柱的高为6，则直三棱柱的体积 .
（利用题干中的有效信息，可知“羡除”被分割成熟悉的直三棱柱和四棱锥）
两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积 ，四棱锥的高为3，
则两个四棱锥的体积和为 ．
所以该“羡除”的体积 ．
名师点评 《九章算术》是中国古代数学的代表性著作之一，也是我国古代最重要的
数学经典名著.从《九章算术》各章内容看，都是与生产、生活息息相关的知识和内
容.本题来源于第五章“商功”，以生活、生产中谷物的储存问题，结合立体几何中的
基础知识进行设问，其一传承了中华文化，其二考查了考生的应用意识与模型思想.
可以让考生感受到我国古代数学的优秀传统——数学要关注生产、生活等社会问题，
体现应用性，引导考生通过了解数学文化来体会数学知识方法在认识现实世界中的
重要作用.另外，优秀文化的传承对创新能力的培养也将起到积极的作用.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
空间几何体的表面积与体积是高考的必考点，既可以求简单几何体的表面积、体积，
也可以通过设置生活实践情境考查表面积、体积；球的切、接问题是热点，也是难
点，需要考生能够画出图形，结合图形判断并求解出球的半径.考查学生的空间想象
能力和计算能力，试题以选择题、填空题为主，难度中等或困难.
核心素养：直观想象（掌握空间几何体的结构特征，并画出草图）,数学运算
（根据公式计算表面积、体积）.
考向1 空间几何体的表面积与体积
例39 (2024· 新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高
均为 ，则圆锥的体积为( )
B
A. B. C. D.
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 ,
即 ，
故，故圆锥的体积为 .
例40 (2023· 新课标Ⅰ卷)在正四棱台中，， ,
,则该棱台的体积为_ ___.
图8.3-59
【解析】如图8.3-59所示,设点, 分别为正四棱台
上、下底面的中心,连接, ,则点
,分别为,的中点,连接,则 即正四棱台
的高,过点作,垂足为 ,则
.
因为,,所以, ,所以
,又,所以 ,
,所以 ,所以
.
素养探源 素养 考查途径
数学运算 通过空间几何体面积及体积公式实现对数学运算素养的考查.
直观想象 聚焦空间几何体的关系,实现对空间几何体结构的认知.
变式探源
1.(2023· 新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个
底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____.
28
图8.3-60
【解析】如图8.3-60所示，正四棱锥 的底面边长为4，用平行于底面的平面
截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥 后，得到正四棱台
，且， .
记，分别为正四棱台上、下底面的中心，，分别为,
的中点，连接,,,，则在上，在上，且， ,
.易知 ，所以，即，解得 ，所以
，所以该正四棱台的体积 .
2.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为 ，圆台的
母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 _ __．
【解析】由题可得两个圆台的高分别为
，
，
所以 .
例41 (2022·新高考全国Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其
中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为
;水位为海拔时，相应水面的面积为 .将该水库在这两个
水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到 时，增加
的水量约为 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图8.3-61，由已知得该棱台的高为 ,所以该棱台的体
图8.3-61
积 ．
命题 探源 素养导向的高考命题注重情境化试题的考查.情境一般包括生活实践情境与学
术探究情境.命题人命题时一般会将理论结合实践，特别是结合生产、生活实
际设计试题，采用源于社会、源于生活的真实的情境，考查学生分析和解决
具有实际意义的问题的能力，所以基于核心素养的高考命题更加注重学生解
决实际问题的能力，要求学生运用生活化的实际场景，并且依靠科学的方
法、科学的态度进行推理，进而得到最终的答案.
变式探源 传统文化 十字歇山 (2022·天津)如图8.3-62，“十字歇山”是由两个直三棱
柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面形状为顶角为 ，腰
为3的等腰三角形，则该几何体的体积为( )
D
图8.3-62
A.23 B.24 C.26 D.27
图8.3-63
【解析】由题意画出“十字歇山”的简图，如图
8.3-63，,,, 是等腰三
角形，三角形的高为，底面 是边长为
的正方形，
，
，
所求几何体的体积
.
考向2 球与空间几何体的切、接问题
例42 (2025· 全国二卷)一个底面半径为,高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚
度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____ .
2.5
【解析】 设铁球半径为 ,将圆柱的底面水平放置.
若两个铁球的球心在同一水平面上，且分别与圆柱的侧面相切，则铁球球心与圆柱
侧面的距离均为，当半径最大时，则，解得 ，即此时铁球的半径为
.
（球与圆柱相切有多种情况，确定什么时候半径最大是解题关键，因此需要有一个
验证和判断的过程）
若两个铁球的球心在同一竖直线上，且分别与两个底面相切，当半径最大时，则
，解得，即此时铁球的半径为 .
图8.3-64
当两球球心既不在同一水平面上，也不在同一竖直线上时，
设两个铁球的球心分别为, ,此种情况下，当铁球半径
最大时，如图8.3-64（1）所示，圆柱与两铁球的轴截面如
图8.3-64（2）所示（立体几何问题平面化思路，方便计
算），其中为圆柱的轴截面，, ,
则有,， ，则有
因为,所以铁球半径的最大值为 .
，即，即 ,解
得（舍去）， .
. .
. .
考虑到圆柱与球的对称性，不妨把圆柱与球的位置关系看成长方形与圆的
位置关系，原问题等价于在边长分别为8与9的长方形内，放置两个半径最大的等圆，
问：圆的半径是多少？
图8.3-65
如图8.3-65所示，当圆的半径最大时，圆与， 相切，且过点
，为长方形的中心，两圆相切于点 .
过作，交于点，过作，交于点 ，连接
,,,则 为正方形.
在中，，， ，
，
所以，（运用公式 求解）
故，化简得，解得
或 （舍去）.
（【另解】以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为 轴正方向，建立
平面直角坐标系，则，，由，可得 ，
解得或 （舍去））
命题 探源 试题以圆柱和球为背景，设置了一个给定圆柱内放置两个相切的球的问题，
如果仅仅是从空间几何体的位置关系思考问题，是比较复杂和困难的，这就
需要考生首先把问题情境想象为平面问题.考虑到圆柱和球都是旋转对称与轴
对称图形，可以用过球心与圆柱的对称轴的面去截圆柱和球，就得到解题思
路中呈现的平面图形，这样问题就转化为在给定的长方形中，放置两个半径
最大的等圆.两个圆与长方形的位置关系将会决定其半径的大小.
提分 探源 长方形的对称中心与圆的位置关系是非常重要的.想象一下，若对称中心
在一个圆的内部，由于对称性， 也一定在另一个圆的内部，这样的话，两
个圆就相交，这是不允许的；若对称中心 在一个圆的外部，由于对称性，
也一定在另一个圆的外部，这样的话，两个圆之间就有空隙，此时圆的半
径就不会是最大的.因此长方形的对称中心 只能在圆上，考虑到对称性，两
个圆必然相切于点 .这是求解的关键.
续表
例43 (2023·全国甲卷)在正方体中，,分别为, 的中点.以
为直径的球的球面与该正方体的棱共有____个公共点.
12
图8.3-66
【解析】如图8.3-66，线段过正方体的中心，所以以
为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为 ,而正方
体的中心到每一条棱的距离均为 （正方体的面对角线的
长度都相等）,所以以 为直径的球与每一条棱均相切
（实质为棱切球问题），所以共有12个公共点.
. .
. .
. .
例44 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 ，
.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为,，连接,则 ,
其外接球的球心在直线 上（正棱台外接球的球心是在上、下底面多边形的外
接圆圆心的连线所在的直线上）.
设球的半径为 ,
当球心在线段上时，，解得
（舍去）；
当球心不在线段上时，，解得 ，所
以 ，
所以该球的表面积为 .
. .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·河北省唐山市期末)已知圆锥为圆锥顶点，为底面圆心 轴截
面 是边长为4的等边三角形，则下列结论正确的是( )
BC
A.圆锥的高为
B.圆锥的侧面积为
C.圆锥的内切球表面积为
D.若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是
【解析】对于A，因为圆锥轴截面 是边长为4的等边三角形，所以可得圆锥
的底面圆的半径为，高 ，故A错误；
对于B，母线长为，底面圆的半径为 ，所以圆锥的侧面积为
，故B正确；
对于C，设圆锥的内切球球心为，半径为， 为
切点，连接，如图D 8.3-7所示，由 与
相似，可得，即 ，解得
对于D，如图D 8.3-8所示，设圆锥侧面展开图的圆心角为 ，由 的长等于
底面圆的周长，可得，可得，在中，， ，
所以，即若为的中点，则沿圆锥 的侧面
由点到点的最短路程是，D错误．故选 ．
，即圆锥 的内切球的表面积为
，故C正确；
图8.3-67
2.［多选题］(2025·河南省八市模拟)在如图8.3-67所示的透
明的正三棱台形容器 内注入一些水
（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面 与底面平
行，且水平面与下底面的距离为， ，
，正三棱台形容器 的高为2，下列结
论正确的有( )
AC
A.正三棱台形容器的体积为
B.正三棱台形容器的侧面积为
C.等边三角形 的边长为3
D.水的体积为
【解析】由题意等边三角形的面积为 ，
等边三角形的面积为 ，
又正三棱台形容器的高为2，所以正三棱台形容器 的体
积为 ，故A正确；
设的中点为，的中点为，三角形的中心为，三角形 的中心
为，连接,，，则 为侧面梯形的高.
图D 8.3-9
如图D 8.3-9，在截面中，连接，过 作
于,,, ，易知
, ,则
,所以
， 所以正三棱台形容器
设等边三角形的边长为，因为水面与上下底面平行，所以 ，解得
，即 ，故C正确；
等边三角形的面积为，正三棱台的高为 ，所以
水的体积为，故D错误.故选 .
的侧面积为 ，
故B错误；
3.新定义 勒洛四面体［多选题］(2025·浙江省金华市四校联考)
勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始
终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图8.3-68（1）），利用这
一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，
以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，如图8.3-68（2）所示，
若正四面体 的棱长为2，则下列说法正确的是( )
CD
图8.3-68
A.勒洛四面体被面 截得的截面面积是
B.勒洛四面体内切球的半径是
C.勒洛四面体的截面面积的最大值为
D.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
【解析】对于A，截面示意图如图D 8.3-
10，
对于B，由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体 的内切球、外
接球球心，如图D 8.3-11,为外接圆圆心，连接,,,则在 上.
正三角形外接圆的半径，正四面体 的高
，令正四面体的外接球半径为，在 中，
，解得 ，
，故A错误.
此时抽取部分勒洛四面体的一部分如图D 8.3-12所示，
连接并延长，交球面于点，其中即为正四面体外接球半径 ，因为
点，，，均在以点为球心的球面上，所以 ，设勒洛四面体内切
球半径为，则由图得 ，故B错误.
对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体任意三个顶点的截面，由
对A的分析知 ，故C正确.
对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四
面体内切球，
所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，故D正确.故选 .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：30分钟
1.(2025·湖北省武汉市期末)在中，，， ，若使
绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的表面积是( )
A
A. B. C. D.
【解析】将绕直线 旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，
其母线长为 ，
故所形成的几何体的表面积 ．
2.新定义玉积率(2025·黑龙江省哈尔滨第九中学期中)古希腊的欧几里得在《几何原
本》里提出：“球的体积与它的直径（D）的立方成正比”，此即 ，将体
积公式中的常数 称为“立圆率”或“玉积率”.对于正方体，也可利用公式
（表示棱长）求体积.假设运用此体积公式求得球（直径为 ）、正方体
（棱长为）的“玉积率”分别为,，那么 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意得，球的体积为 ，
正方体的体积为，所以 ．
3.(2025·辽宁省大连市期中)一个无盖的器皿是由一个棱长为3的正方体木料从顶部挖
掉一个直径为2的半球而成的（半球的底面在正方体的上底面上，球心为上底面的中
心），则该器皿的表面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】正方体的表面积为，半球的底面积为 ，半球面面积为 ，
所以该器皿的表面积为 .
图8.3-1
4.(2025·贵州省贵阳市期末)如图8.3-1是一个圆台的侧面展开图，
若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是( )
B
A. B. C. D.
图D 8.3-1
【解析】作出圆台的截面图如图D 8.3-1所示，, 分别为上、
下底面圆心，连接,过点作于点 ，
设圆台上底面圆半径为，则 ，解得 ，
，
设圆台下底面圆的半径为，则 ，解得 ，
， ，
由几何知识得，圆台的母线长为 ，
在 中，由勾股定理得，
， ,
圆台的体积为 .
图8.3-2
5.传统文化 紫砂壶(2025·山东省菏泽市期末)紫砂壶是中国特有的
手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型
众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶
的壶体可以近似看成一个圆台，如图8.3-2给出了一个石瓢壶的相
关数据（单位： ），那么该壶的最大盛水量约为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意可知该壶对应的圆台的上底面圆半径，下底面圆的半径 ，
高， 圆台的体积为
， 该壶的最大
盛水量约为 ．
6.[多选题](2025·吉林省辽源市期末)已知三棱锥的各顶点都在球心为 的球
面上，且，， ，则( )
ACD
A.，，两两互相垂直 B.球的半径是
C.球的表面积是 D.球的体积是
【解析】由，，，即有，即 ，
同理可得， ，故A正确；
由于，，两两垂直，可将三棱锥补成以，， 为棱的长方体，
则三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线长，即 ，
可得 ，
则球的表面积为 ，球的体积 ，故B错误，
C，D正确．故选 ．
7.(2025·湖南省长沙市明德中学期末)一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为
2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为_ ____.
图D 8.3-2
【解析】如图D 8.3-2所示，作出正四棱台的过切点的轴截面，
可知这个等腰梯形的内切圆圆就是内切球 的截面圆中最大的圆,
其中，,为上、下底面中心，且为切点，为切点，连接 ，
.
因为正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，且球的球心
到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，又, ，
设球的半径为，则 ，
又由切线长定理可得 ，所以
，故球的体积为 ．
图8.3-3
8.(2025·山东省聊城市颐中外国语学校月考)如图8.3-3所示，某种“笼具”
由内、外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和圆柱,其中
圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端
剪去,剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为 ,高为
,圆锥的母线长为 .
（1）求这种“笼具”的体积;
【答案】设圆柱的底面半径为,高为,圆锥的母线长为,高为 ,根据题意可知
,所以,则 ,
所以这种“笼具”的体积
.
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,已知每平方米该材料的造价为8元,则共
需多少元
【答案】圆柱的侧面积 ,
圆柱的底面积 ,
圆锥的侧面积 ,
所以这种“笼具”的表面积 ,
故造50个“笼具”共需 （元）.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：45分钟
图8.3-4
9.新情境 六角宫灯(2025·河北省衡水市期末)宫灯又称宫廷花灯，是中
国彩灯中富有特色的传统手工艺品之一.如图8.3-4为一件三层六角宫灯，
三层均为正六棱柱，其中上、下层正六棱柱的底面周长均为 ，
高均为，中间一层的正六棱柱高为 ．设计一个装该宫灯的
可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意，中层正六棱柱较上、下层细，不妨将该宫灯看成一个高为
、底面边长为 的正六棱柱，而正六棱柱的外接球
（球形盒子）的直径，即 ，故外
接球（球形盒子）的表面积至少为 ．
10.(2025·山东省日照市一模)已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为
．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为( )
B
A. B. C. D.
图D 8.3-3
【解析】如图D 8.3-3，作出圆台的轴截面，要使球的表面积
最大，则球需要与,,相切，设与， 相切的切点
分别为,,连接,,, ,
设圆的半径为，则 ，
因为,，所以 ，
延长交于点，作于点，因为 ,
，所以 ，
而，由勾股定理得 ，
则，且 ，
而 ，
即得到，解得 ，
则该球的表面积的最大值为 ．
11.［多选题］(2025·四川省成都市期末)如图8.3-5，在直三棱柱 中，
,,，侧棱,是棱 上任意一点，则( )
ABD
图8.3-5
A.三棱柱 的表面积为120
B.周长的最小值为
C.三棱柱内部有一球，其体积最大值为
D.三棱柱的外接球的表面积为
【解析】因为,,，所以，又 ，所以三棱柱
的表面积为 ，故A正确；
图D 8.3-4
周长为，将平面
与平面 展开到同一平面，如图D 8.3-4，
则
（当,, 三点共线时取等），又
，所以周长的最小值为 ，故B正确；
因为,,， ，所以
的内切圆半径 ，
因为，所以三棱柱内部球的半径最大值为 ，
其体积为 ，故C错误；
该直三棱柱的外接球的表面积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的表面
积，其体对角线为外接球直径，设外接球半径为，则 ，
所以外接球的表面积为 ，故D正确.故选 .
12.传统文化 陶艺[多选题](2025·四川省成都市期末)陶艺是中国传统古老文化与现代
艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥 ，若该圆锥底面直径
和高均为2，现过的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去
一个圆柱 ，得到工艺品如图8.3-6所示，则下列说法正确的是( )
BCD
图8.3-6
A.剩下几何体的表面积为
B.剩下几何体的体积为
C.挖去圆柱体的外接球表面积为
D.若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，
则该球体的半径为
【解析】对于A，设圆柱体的底面半径为，高为，则， ，
圆锥的母线长为 ，则所得几何体的表面积为
，故A错误；
对于B，由题意，剩下几何体的体积为
，故B正确；
图D 8.3-5
对于C，如图D 8.3-5，设的中点为 ，由圆柱的对称性可知，
圆柱的外接球的球心即点，设外接球的半径为，连接 ，由
图知， ，则圆柱的外接球的表面积为
，故C正确；
对于D，设该实心球的半径为，依题意， ，
即得，则，故D正确.故选 .
图8.3-7
13.化学综合晶体晶胞(2025·山东省潍坊市期中)空间利
用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的
体积比，即空间利用率 ．如图
8.3-7（1）是六方最密堆积晶胞的示意图．将原子视
为球，以上、下层球的球心为顶点得平行六面体
，如图8.3-7（2），其中 是正中间层
球的球心，四面体为正四面体，原子半径为 ，已知该示意图中原子的平均个
数为2，则该晶胞的空间利用率为_ ___（用含 的式子表示）．
图D 8.3-6
【解析】由题知， ，如图D 8.3-6,在正四面体
中，作 底面于，连接，则 为等边三角形
的中心，
，
在中， ,
，
，
，
该晶胞的空间利用率 ．
图8.3-8
14.数学文化 祖暅原理[教材改编P121探究与
发现](2025·河北省邯郸市大名县第一中学月考)
祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在
解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个
平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面
积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图8.3-8（1）所示．如图8.3-8（2）是
一个半径为3的球体，平面与球相交，截面为圆，，在球面上，延长 ，
交球面于点，则垂直于截面圆（垂直于圆内的所有直线）， ．
（1）求圆锥 的表面积和体积；
【答案】因为球的半径，，设，所以 ，
圆锥高，母线长 ，
，
．
（2）面 上方与球面之间的部分叫做球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积．
图D 8.3-7
【答案】如图D 8.3-7构造一个与半球 同底等
高的圆柱，内部挖去一个倒置的同底等高的圆
锥．
取同一高度的截面．令球冠截面半径为 ，
面积为，圆锥截面半径为，面积为 ,则
， ．
易知，则， ，
，
所以球冠的截面与图D 8.3-7（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等．
所以 ．
依题意圆柱的高为2，半径为3．圆台的上底面半径为3，下底面半径为 ，
令为球冠的底面积，可得 .
由，得 ，所以 ,
所以 .
C 培优练丨能力提升
图8.3-9
15.新情境 阿基米德体[多选题](2025·广东省广州市期
末)半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相
同的正多边形为面的多面体．如图8.3-9，将正四面体
每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一
个半正多面体．点，， 是该多面体的三个顶点，
且棱长 ，则下列结论正确的是( )
ACD
A.该多面体有8个面 B.该多面体的表面积为
C.该多面体的体积为 D.该多面体的外接球的表面积为
【解析】对于A选项，由图可知“阿基米德体”一共有8个面，故A正确.
对于B选项，“阿基米德体”的面中，因为 ，所以“阿基米德体”的4个面是边长
为2的正六边形，4个面是边长为2的正三角形，其表面积为
，故B错误.
对于C选项，棱长为的正四面体的底面积为，高为 ，所以体积为
，因为“阿基米德体”是在棱长为6的正四面体上截去了4个棱
长为2的正四面体，
所以“阿基米德体”的体积为 ，故C正确.
图D 8.3-8
对于D选项，如图D 8.3-8，设等边的中心为 ，底面正六
边形的中心为点，连接 ，
原正四面体（棱长为6）的高为 ，则
.由题意可知，“阿基米德体”的外接球
球心在直线上，易知 ，即正三角形
的外接圆半径为，连接,, ,底面正六边形的外接
圆半径为，设,“阿基米德体”的外接球半径为 ，
则 ，解得
，则 .因此，该多面体的外接球
的表面积为 ，D正确.故选 .