8.5 空间直线、平面的平行 课件(共139张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共139张PPT)
第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 直线与直线平行
1 基本事实4
自然语言 图形语言 符号语言 作用
平行于同一条直线的两条 直线平行. 判断或证明空间中两条
直线平行.
基本事实4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性，这是对初中所学的平面平
行线的传递性的推广.
. .
. .
. .
2 空间等角定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果空间中两个 角的两条边分别 对应平行,那么这 两个角相等或互 补. _______________________________________________________ 相等（作用：判断或证明两个角相等或 互补.） _______________________________________________________ 互补（作用：判断或证明两个角相等或 互补.）
. .
. .
知识剖析 空间等角定理的深度剖析
（1）空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角
的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的
两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，
则这两个角互补.
（2）空间等角定理表明空间中的一个角平移后角的大小不变.
（3）由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这
两组直线所成的角对应相等.（锐角或直角）#1.1.3
学思用·典例详解
图8.5-1
例1-1 [教材改编P144 T9]如图8.5-1，在正方体
中，，分别是棱， 的中点．
求证：
（1）四边形 为平行四边形；
【解析】在正方形中，，分别为， 的中点，
， .又 ，
，且 ，
故四边形 为平行四边形．
（2） .
【解析】由（1）知四边形为平行四边形， .
同理可得四边形为平行四边形， .
由平面几何知识可知，和都是锐角, （空间等角
定理的应用）.
. .
知识点2 直线与平面平行
1 判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 那么该直线与此平面平行.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. 知识剖析 1.要证明平面外的一条直线与此平面平行，关键是在此平面内找到一条直
线与已知直线平行.这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行
关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）.
2.判定定理给我们提供了一种画线面平行的方法：通常把表示直线的线段画在
表示平面的平行四边形外，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边
形的一条边平行.
. .
2 性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平 面相交，那么该直线与交线平行.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. 知识剖析 当 时，与平面 内直线的关系
当 时，过的任意一个平面与 的交线都与平行，即可以与 内的无
数条直线平行，但不是任意一条.平面 内凡是不与平行的直线，都与 异面.
. .
. .
学思用·典例详解
例2-2 [教材改编P139 T2]在正方体中，为 的中点，则下列
直线中与平面 平行的是( )
B
A. B. C. D.
图8.5-2
【解析】如图8.5-2所示，连接,,设,则是
的中点，连接 ,
在正方体中，为的中点， 为
的中位线， ,
又 平面, 平面 （此步骤不可省略）,
平面 .
. .
例2-3 [多选题][教材改编P143 T1（2）]若直线平行于平面 ，则( )
BC
A.平面 内有且只有一条直线与 平行
B.平面 内有无数条直线与 平行
C.平面 内存在无数条与 不平行的直线
D.平面 内任意一条直线都与 平行
【解析】过直线可作无数个平面与 相交，由线面平行的性质定理可知，这些交
线都与平行，所以在平面 内与直线 平行的直线有无数条，故A不正确，B正
确．平面 内存在与 不平行的直线，且有无数条，故C正确，D不正确．
知识点3 平面与平面平行
1 判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，那么这两个平面平行.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. 知识剖析 1.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即
先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
2.要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知,需在一平面内寻找两条相
交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直线与平面平行的判定定理，
在平面内找与已知直线平行的直线，即:
. .
2 判定定理的推论
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条相交直线，那 么这两个平面平行.
（【教材链接】该推论实质上来源于教材第144页【习题8.5】第8题,该推论在解答题
中不能直接使用）
3 性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这 两个平面相交，那么两条交线平行.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. 4 平面与平面平行的其他性质
（1）两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面；
（2）平行直线被两个平行平面所截得的线段长度相等；
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；
（4）两条直线同时被三个平行平面所截,截得的线段对应成比例；
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
（面面平行的传递性）
学思用·典例详解
例3-4 (2025·浙江省宁波市北仑中学期中)如图8.5-3，在四棱锥中，
是正方形，,,分别是,, 的中点．
图8.5-3
求证：平面平面 ．
【解析】因为,分别是,的中点，所以 ，
又是正方形，所以，故 ，（基本事实4）
因为 平面， 平面，故直线平面 .（线面平行的判定定
理）
因为,分别是,的中点，所以 ，
又 平面， 平面，故直线平面 .（线面平行的判定定理）
因为,, 平面，所以平面平面 .（面面平行的判定
定理）
例3-5 [教材改编P142 T2]下列说法中能证明两个平面平行的是( )
C
A.一个平面内有一条直线和另一个平面平行
B.一个平面内有无数条直线和另一个平面平行
C.一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D.两个平面平行于同一条直线
【解析】对于A,B，如果一个平面内有一条直线或无数条直线和另一个平面平行，则
这两个平面平行或相交，故A，B错误；
对于C，如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，故C
正确；
对于D，如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行或相交，故D错误．
图8.5-4
例3-6 如图8.5-4所示，平面平面 , , ,线段 ,
夹在 ， 间，且两线段相交于点,求证： .
【解析】因为与相交于点,所以,,, 四点共面.
又 ，且 ， 与平面的交线分别为, ,所以
（面面平行的性质定理）.
所以,所以 .
. .
解题课丨关键能力构建
题型1 证明线线平行
1 利用基本事实4证明线线平行
例7 如图8.5-5，,分别是长方体的棱, 的中点.求证：四边
形 为平行四边形.
图8.5-5
【解析】如图8.5-6所示，取的中点，连接, .
图8.5-6
是 的中点，
.
在矩形中， , .
, ,（基本事实4）
四边形 为平行四边形,
B_1E=
又,分别是， 的中点，
，且 ，，，，，，，，，，，，，，，，
四边形 为平行四边形,
，且 .
又，且
， （基本事实4）
故四边形 为平行四边形.
2 利用线面平行的性质定理证明线线平行
例8 如图8.5-7所示，在多面体中，四边形,, 均为
正方形，为的中点，过,,的平面交于 .
证明: .
图8.5-7
【解析】由正方形的性质可知,且 ,所以四边形
为平行四边形，从而 .
又 平面， 平面，于是平面 .
又 平面,平面 平面,所以 .
3 利用面面平行的性质定理证明线线平行
例9 如图8.5-8所示，在三棱柱中，是的中点，是 的中点，设
平面 平面，平面 平面，判断直线, 的位置关系，
并证明．
图8.5-8
【解析】直线, 的位置关系是平行．证明如下.
连接 .
平面平面，平面 平面，平面 平面
,（三个条件缺一不可）
.（面面平行的性质定理）
同理可证 .
又是的中点，是 的中点，
, .
又， ， ，（基本事实4）
四边形 为平行四边形，
， ．
证明线线平行的常用方法
1.利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
2.利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
3.利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.
4.利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平
面相交，那么该直线与交线平行.#1.1.4
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得
交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的
位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交
线相交的直线都与已知直线异面．
5.利用面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，
那么两条交线平行.
6.利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.#1.1.6
【学会了吗丨变式题】
1.如图8.5-9，已知，分别是正方体的棱， 的中点，求证：
四边形 是菱形.
图8.5-9
图D 8.5-1
【答案】如图D 8.5-1所示，在正方体 中，取
棱的中点，连接， .
，分别为棱， 的中点， ,, ,.
又, , ,
四边形 为平行四边形， . .
,分别为棱,的中点， , ,
四边形为平行四边形， , ,
又, , ,
四边形 为平行四边形.不妨设正方体的棱长为 ,
易知，故平行四边形 是菱形.
图8.5-10
2.如图8.5-10所示，已知两条异面直线与，平面 与
,都平行，且点，，，依次在线段，， ，
上，求证：四边形 是平行四边形.
【答案】平面,且 平面，平面 平
面, .（线面平行的性质定理）
又平面 平面, 平面 ,
, .
同理可证 .
故四边形 是平行四边形.
3.如图8.5-11，平面 ，线段分别交 ， 于，，线段分别交 ，
于，，线段分别交 ， 于，，若，， ，
．求 的面积．
图8.5-11
【答案】 平面 ，且平面 平面，平面 平面 ，
，（面面平行的性质定理）
同理，则 ,（空间等角定理）
又，， ，
， ，
又 ，
.
， ．
故 的面积为100．
题型2 证明线面平行
1 中位线模型判断线面平行
母题 致经典·母题探究
图8.5-12
例10 (2025·陕西省西安中学期中)如图8.5-12，直三棱柱
中，是 的中点.
证明:平面 .
【解析】如图8.5-13，连接交于点，则为 的中点.
图8.5-13
又是的中点，连接，则.（利用三角形的中位线定理在平面 内
找到与 平行的直线）
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .（线面平行的判定定理）
. .
. .
. .
子题
图8.5-14
(2025·山西省忻州市第十中学期末)如图8.5-14所示，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，为 的中点，
，求证：平面 ．
思路一
思路二
【解析】 如图8.5-15，连接，交于点，取的中点，连接, ，
交于点，连接 ．
在中，,分别为,的中点，则 ．（三角形的中位线定理）
在中，，且为 的中点，
则为 的中点.
在中，,分别为, 的中点，
图8.5-15
则 ．（三角形的中位线定理）
又 平面， 平面 ,
所以平面 ．
. .
图8.5-16
如图8.5-16，连接，交于点，取的中点 ，
连接,, .
在中，为的中点，为的中点，则 .
（三角形的中位线定理）
在中，为的中点，为的中点，则 .
（三角形的中位线定理）
平面, 平面,所以平面 .
平面, 平面,所以平面 .
又,, 平面,所以平面平面 . （面面平行判定定理
的推论在解答题中不能直接使用，这里先证明线面平行，再证明面面平行）
又 平面,所以平面 .
名师点评 从母题和子题可以总结出规律：若证明平行关系的题中提供了中点，则
可以尝试将图形中的中点（三等分点本身也提供了中点）放在一个三角形中进行探
讨，寻找中位线，进而证明线线平行、线面平行.
2 平行四边形模型判断线面平行
母题 致经典·母题探究
例11 已知公共边为的两个全等的矩形和不在同一平面内，， 分别
是对角线，上的点，且，如图8.5-17所示．求证：平面 .
图8.5-17
图8.5-18
【解析】 （构建平行四边形） 作交于点 ，作
交于点，连接 ，如图8.5-18所示，
则（基本事实4），, .
，， .
又， ， ，
四边形 是平行四边形，
.
又 平面， 平面 ，
平面 .
（三角形相似） 连接并延长与直线交于点 ，连接
,则,可得,则，又 平面
, 平面,故平面 .
. .
子题
(2025·河北省衡水市期末)如图8.5-19，三棱柱 的所有棱长都为2，
，为中点，为与交点．求证：平面 .
图8.5-19
图8.5-20
【解析】如图8.5-20，在三棱柱中，取 中
点，连接,，由,分别为和 的中点，得
且 ，（三角形的中位线定理）
由为中点，得且 ，
则且 ，
即四边形 为平行四边形，（构造平行四边形）
于是 ，
又 平面， 平面，所以 平面 .
3 两个平面平行的性质判断线面平行
例12 (2025·湖南省长沙市期中)在如图8.5-21所示的圆台中，是下底面圆 的直
径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.已知,分别为, 的中点，
求证：平面 .
图8.5-21
【解析】如图8.5-22，连接,设的中点为,连接, .
图8.5-22
在中，因为，分别是， 的中点，
所以 .
连接,因为 ,（圆台的轴截面为等腰梯形，梯形的上、下底相互平行）
所以.又 平面, 平面 ，
. .
所以平面 .
在中，因为,分别是， 的中点，
所以.又 平面， 平面 ，
所以平面 .
又,, 平面 ，
所以平面平面 .
因为 平面,所以平面 .
证明线面平行的常用方法
1.利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
2.利用直线与平面平行的判定定理：
（1）使用定理时，三个条件推出一个结论，证明过程中三个条件缺一不可，值得注
意的是容易忽略“线在面外”这个条件.
（2）使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行
的直线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理或者构造平
行四边形等证明两直线平行.#1.3.2
. .
. .
. .
3.利用面面平行的性质：若平面平面 ，直线 ，则 .
4.利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直
线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结
论，解题时往往易忽略“直线在平面内”的情形，应引起重视.#1.5
【学会了吗丨变式题】
4.如图8.5-23所示，为平行四边形所在平面外一点,，分别为， 的中
点.求证：平面 .
图8.5-23
图D 8.5-2
【答案】 （平行四边形模型） 取的中点 ，如图D
8.5-2所示，连接, .
,分别为, 的中点，
在中，,且 .
四边形为平行四边形，为的中点， ,
,,
四边形为平行四边形， .
又 平面, 平面,平面 .
图D 8.5-3
（中位线模型） 如图D 8.5-3,连接 并延长交
的延长线于点，连接 .
由四边形为平行四边形，为 的中点，
易得 ，
，又为的中点, ，
又 平面， 平面,平面 .
题型3 证明面面平行
1 利用判定定理证明
图8.5-24
例13 如图8.5-24，是所在平面外一点，,, 分别是
，，的重心．求证：平面平面 .
图8.5-25
【解析】如图8.5-25，连接, 并延长（根据重心的特点作辅助
线）,分别交
,于点,，连接 .
点,分别是, 的重心，
，, .
又 平面, 平面 ,
平面 .
同理，平面 .
又,, 平面 ，
平面平面 .
. .
2 利用判定定理的推论证明
例14 如图8.5-26，在长方体中，,,,分别是,,, 的
中点．则平面与平面 的位置关系为______.（填平行或相交）
平行
图8.5-26
【解析】，,，分别是，,， 的中点，
， ,
四边形为平行四边形， .
又, 平面, 平面, 平面, 平面
,且, ,（在选填题中，可直接使用判定定理的推论来
证明面面平行，简化证明过程）
平面平面 .
（【再回顾】两个平面之间的位置关系有且只有两种:平行或相交）
. .
平面与平面平行的判定方法
1.根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
2.根据判定定理（用得最多）：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两
条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.
3.根据判定定理的推论（选择、填空题中可直接使用）：在一个平面内找到两条相
交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.
4.根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
5.利用反证法：假设两平面不平行，则必有交线，利用交线推出矛盾.
. .
. .
【学会了吗丨变式题】
图8.5-27
5.[教材改编P143练习T3](2025·山东省济南市月考)如图8.5-27，在三
棱柱中，，，，分别是，，，
的中点.
求证：
（1），，， 四点共面；
【答案】是的中位线， .
又， ，，，， 四点共面（经过两条平
行直线，有且只有一个平面）．
. .
. .
. .
. .
. .
（2）平面平面 .
【答案】，分别为，的中点， .
平面， 平面，平面 .
， 四边形是平行四边形， .
平面， 平面，平面 .
，, 平面， 平面平面 .
题型4 平行问题的综合应用
1 平行关系的相互转化
例15 平面平面 ，点 ，点 ，点 ，点 ，点， 分别在
线段，上，且.求证： ， .
图8.5-28
【解析】①如图8.5-28，当， 在同一平面内时，（【易错点】
本题易因忽略对, 的位置关系的讨论而致误）
由 ， 平面， 平面 ，得
.
，
，
. .
又 ， ， .
同理， .
图8.5-29
②如图8.5-29，当与异面时，连接,在上取一点 ，使
,连接, .
在中， ,
.
又 ， ， .
同理， .
， ， ， , 在 内存在一条直线,使得 ,又
,,又 ,
又,, 平面, 平面 .
. .
. .
平面, .（两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行
于另一个平面）
且 ， .
综上， ， .
. .
图8.5-30
例16 (2025·安徽省合肥市期中)如图8.5-30所示,已知正方体
.
（1）求证：平面平面 ；
【解析】因为在正方体中， ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 .
又 平面， 平面 ,
所以平面 .
同理平面 .
又， 平面， 平面 ，
所以平面平面 .
（2）试找出体对角线与平面和平面的交点， ，并证明：
.
图8.5-31
【解析】如图8.5-31，连接交于点，连接，因为, ,
,，共面，所以可记与交于点 .
又 平面，所以点也在平面 内，
所以点就是与平面的交点.（点在平面内，点又在直线 上，
所以点 为交点）
同理，连接交于点，连接，因为,,,，共面，所以可记与
交于点，则点就是与平面 的交点．
下面证明 .
因为平面 平面，平面 平面 ，
平面平面，所以 .（面面平行的性质定理）
在中，是 的中点，
所以是的中点，即 .
同理可证 ，
所以是的中点，即 .
所以 .
解决平行关系问题的策略
在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系
并不是孤立的，而是相互联系的，并且可以相互转化.所以要解决平行关系的问题，
必须灵活运用三种平行关系的相互转化.如图8.5-32所示.
图8.5-32
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·河南省信阳市期末)如图8.5-33，在棱长为2的正方体 中，
，，，分别为，，， 的中点．
图8.5-33
（1）求证： ；
【答案】连接 ，如图D 8.5-4，
图D 8.5-4
，，，分别为，，， 的中点，
， ，
， ．（平行的传递性）
（2）记,,,四点确定的平面为 ，作出平面 被该正方体所截的多边形截面，
写出作法步骤，然后计算截面面积；
图D 8.5-5
【答案】取,的中点分别为,，连接,,, ,
如图D 8.5-5，则正六边形为平面 被该正方体所截
的多边形截面，
易知 ，
．
（将正六边形分割为6个正三角形）
（3）求证：平面平面 ．
【答案】如图D 8.5-5，， 平面 ， 平面 ，
平面 ，（先证线面平行）
又，分别为，的中点， ，
平面 ， 平面 ，平面 ，
又， 平面， 平面 ，
平面平面 ．（再证面面平行）
2 平行关系中的存在性（结论性）问题
例17 在正方体中,，分别是， 的中点,在该正方体中是
否存在过顶点且与平面 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；
若不存在，请说明理由.
【解析】存在.与平面 平行的平面有如图8.5-34所示的三种情况:
图8.5-34
下面以图8.5-34（1）为例进行证明.
连接, .
易得四边形是平行四边形, .
又 平面， 平面 ，
平面 .
是的中位线, .
四边形是平行四边形， ，
.
又 平面, 平面 ，
平面 .
又 平面， 平面，且， 平面平面 .
例18 (2025·贵州省遵义市期末)如图8.5-35，在棱长为1的正方体 中，
点在上移动，点在上移动，,连接 .
图8.5-35
（1）证明：对任意，总有平面 .
图8.5-36
【解析】如图8.5-36，作,交于点，作 ,交
于点，连接 .
由题意得，, ,
,,则四边形 为平行四边形，
.
又 平面， 平面 ,
平面 .
. .
（2）当为何值时， 最短？
【解析】由（1）知四边形 为平行四边形，
.
又, ,
,
,,即 .
,
故当时，取得最小值 .
即当,分别为，的中点时，最短，此时的长为 .
思路点拨 （1）要证明平面，只需在平面中找到一条与
平行的直线即可，作,，利用相同的比例关系可得到四边形
为平行四边形，即得证.
（2）已知变量，把的长表示成关于 的函数，利用函数思想求最值.
【学会了吗丨变式题】
7.(2025·浙江省台州市六校联盟期中)如图8.5-37所示，在棱长为2的正方体
中，点是的中点，动点在正方体表面上移动，若 平面
，则 的轨迹长度为_____．
图8.5-37
【解析】如图D 8.5-6，分别取,的中点,，连接,,,, ，
图D 8.5-6
由为的中点，得,，四边形 为平行四边形，
则,，又,，则四边形 是平行四边形，
则,，于是,，四边形 是平行四边形，
而 平面， 平面，则平面 .
同理平面 ，
又,, 平面，因此平面平面 ，
又平面，点在正方体表面上移动，于是点的轨迹是 的四条边
（不含点 ），（该类问题的关键是通过构造线面平行或者面面平行找轨迹）
所以点的轨迹长度为 .
图8.5-38
8.(2025·湖北省武汉市常青联合体期末)如图8.5-38，在
三棱柱中，，分别为线段，
的中点．
（1）求证：平面 .
【答案】因为，分别为线段, 的中点，
所以 ，
因为在三棱柱中, ，
所以 ，（平行的传递性）
又 平面， 平面 ，
所以平面 ．
（2）在线段上是否存在一点，使平面平面 ？若存在，请找出点
所在的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，点为 的中点，证明如下：（中点是经常出现的特殊点，可大胆
猜测为中点）
图D 8.5-7
如图D 8.5-7，为的中点.因为为的中点，所以 ，
因为 平面， 平面 ，
所以平面 ，
同理可得，平面 ，
又，， 平面 ，
所以平面平面 ，
故在线段上存在一点，即的中点，使平面 平面
．
. .
. .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对线面平行的判定的考查频率较高，而面面平行的判定以及线面平行的性质定
理,常与空间中线线、线面、面面的垂直关系、空间角等问题综合考查.高考中多以选
择题、填空题或解答题中的第（1）问形式出现,难度中等偏下.
核心素养：直观想象（空间几何体的认识），逻辑推理（添加辅助线、线线平行的
证明、三种平行关系的转化等）.
考向1 判定线面平行
例19 (2025·上海节选)如图8.5-39，是圆锥的顶点，是底面圆心， 是底面直径，
且．已知是母线的中点，点，在底面圆周上，且弧的长为 ，
．设点在线段上，证明：直线平面 ．
图8.5-39
【解析】如图8.5-40，连接， ，
图8.5-40
因为是母线的中点，是底面圆 的直径，
所以 ，（中位线模型）
又 平面， 平面 ，
所以平面 .（线面平行的判定定理）
因为，所以 ，
因为，所以 ，
连接,因为 ,
所以为等边三角形，所以 .
又，所以 ，
所以四边形是平行四边形，则 .（平行四边形模型）
又 平面， 平面 ，
所以平面 .（线面平行的判定定理）
而，， 平面 ，
所以平面平面 .（面面平行的判定定理）
又 平面，所以平面 ．（面面平行的性质）
命题探源 本题在证明线面平行时，既构建了中位线模型，又构建了平行四边形 模型，进而利用线面平行的判定定理证明线面平行.在立体几何的线 面位置关系中，线段的中点是经常被使用的一个特殊点，利用试题本 身的已知条件，或在具体的解题过程中通过找“中点”、连“中点”即可 出现平行线，而线线平行是平行关系的根本. 素养探源 素养 考查途径
直观 想象 通过由图想图以及构建中位线或平行四边形模型来进行考查.
逻辑 推理 通过线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，由面面平
行又可得线面平行.
变式探 (2024·北京节选)如图8.5-41，在四棱锥中，， ，
，点在上，且，为线段的中点.求证：平面 ．
图8.5-41
【解析】 取的中点，连接,，如图8.5-42，则, ，
而,，故,且，故四边形 为平行四边形，
故，又 平面， 平面，所以平面 .
图8.5-42
图8.5-43
取的中点，连接, ，如图8.5-43.
在中， 为中位线，
所以,又 平面， 平面 ,
所以平面 .
因为,且 ,
所以四边形 为平行四边形，
所以,又 平面， 平面 ,
所以平面 .
又，, 平面,所以平面平面 ,
又 平面,故平面 .
考向2 线、面平行性质定理的应用
图8.5-44
例20 (北京高考题节选)如图8.5-44，在正方形中,, 分
别为，的中点.在五棱锥中，为棱 的中点，
平面与棱，分别交于点，.求证： .
【解析】在正方形中，因为是 的中点，
所以 .
又 平面, 平面 ,
所以平面 .（线面平行的判定定理）
因为 平面，且平面 平面 ,
所以 .（线面平行的性质定理）
图8.5-45
例21 (2023· 新课标Ⅰ卷节选)如图8.5-45，在正四棱柱
中，，.点,，， 分别
在棱,,,上，,, .
证明： .
图8.5-46
【解析】如图8.5-46，作，交于点，作 ，
交于点，连接 .
因为，所以，所以,,, 四点共面.
因为平面平面,且平面 平面
，平面 平面 ,所以
.（面面平行的性质定理）
因为,,所以四边形 为平行四边形，
所以,同理可得 .
所以 ,
因为，所以四边形 为平行四边形，
所以,又 ，
所以 .（空间平行线的传递性）
. .
. .
. .
. .
. .
高考新题型专练
图8.5-47
1.[多选题](2025·浙江省杭州市期中)如图8.5-47,正方体
中，，分别为，的中点， 是
线段 上的动点（包括端点），下列说法正确的是
( )
ACD
A.对于任意点，与平面 平行
B.存在点，使得与平面 平行
C.存在点，使得直线与直线 平行
D.对于任意点，直线与直线 异面
【解析】对于A选项，如图D 8.5-8,连接，，取的中点，连接 ，则
，，则 ，
又，且,,, 平面,, 平
面 ,
则平面平面 ，（面面平行的判定
定理的推论）
平面，平面
（面面平行的性质），故A正确；
. .
对于B选项,由A知，平面平面，如图D 8.5-9，在平面内经过 的
任意直线都平行于平面 （面面平行的性质），
由于 平面，则与平面 不平行，故B错误；
对于C选项，由A知，，当位于点时，满足与直线 平行，故C正确；
对于D选项,易知,连接,,则形成平面，且点在平面 外，
所以直线与直线异面，故D正确．故选 ．
. .
图8.5-48
2.[多选题](2025·北京市第九中学月考)如图8.5-48是一几何
体的平面展开图，其中四边形为正方形，，， ，
分别为几何体中，，， 的中点．在此几何体中，
下列结论正确的是( )
ABC
A.平面平面 B.直线平面
C.直线平面 D.直线平面
【解析】还原几何体如图D 8.5-10所示.（平面展开图与空间立体图的相互转化）
图D 8.5-10
对于A，因为，分别是，的中点，所以，又 平面 ，
平面，所以平面，同理平面，又 ，
， 平面，所以平面平面 ，故选项A正确；
对于B，连接交于点，则是的中点，连接,则，又 平
面， 平面，所以平面 ，故选项B正确；
对于C，由A中的分析可知，，所以，因为 平面
， 平面，所以平面 ，故选项C正确；
对于D，根据C中的分析可知，，再结合图形可得，
（直线与平面相交），则直线与平面 不平行，故选项D错误．故选
．
. .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
图8.5-1
1.如图8.5-1所示，在长方体中，，分别是棱
和的中点，过的平面分别交和于点，，则 与
的位置关系是( )
A
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
【解析】,分别是,的中点， .
又 平面， 平面，平面 .
又 平面，平面 平面 ，
.
2.［教材改编P134例1］(2025·浙江省杭州二中月考)在空间四边形中，， 分
别为，上的点，且，，分别为， 的中点，则
( )
B
A.平面，且四边形 是平行四边形
B.平面，且四边形 是梯形
C.平面，且四边形 是平行四边形
D.平面，且四边形 是梯形
【解析】如图D 8.5-1，
图D 8.5-1
由条件知，,,,且 ,
,且, 四边形 为梯形，排除A,C.
, 平面, 平面 ,
平面 .
若平面,则,显然与 不平行,
与平面 不平行,D错误，故选B.
3.(2025·北京市京源学校期中)已知，是两条不同的直线， ， ， 是三个不同
的平面，则下列说法正确的是( )
D
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ，，则 D.若 ， ，则
【解析】由 ， ，可得 或 ， 相交，故A不正确；
由 ， ，可得，或，异面，或， 相交，故B不正确；
由 ， ，，可得 或 ， 相交，故C不正确；
若 ， ，则由面面平行的传递性得 ，故D正确.
4.(2025·安徽省六安市独山中学月考)在下列四个正方体中，, 为正方体的两个顶
点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面 不平行
的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 对于选项B，如图8.5-2（1）所示，连接，因为，, 分
别是所在棱的中点，所以，所以，又 平面， 平
面，所以平面.同理可证选项C，D中均有平面 ．故选A.
图D 8.5-2
对于选项A,设正方体的底面对角线的交
点为,如图8.5-2（2）所示，连接 ，则
，因为与平面有交点，所以
与平面有交点，即与平面 不平行，
故选A．
图8.5-2
5.[多选题](2025·河北省承德市承德县六沟高级中学期中)如图
8.5-2，在棱长均相等的四棱锥中， 为底面正方形的
中心，，分别为侧棱， 的中点，则下列结论正确的有
( )
ABC
A. B.平面
C.平面平面 D.
【解析】对于A，连接，则为的中点，又为的中点，所以 ，A正
确；
对于B，连接，则为的中点，又为的中点，所以，又 平
面, 平面,所以由线面平行的判定定理，可得平面 ，B正确；
对于C，因为， 平面, 平面 ,所以由线面平行的判定定
理，可得平面，又由B得平面，，, 平面
，所以平面平面 ，C正确；
对于D，由B知， 平面， 平面，所以平面 ，
在平面中，与相交于点，则与不平行（此时与 异面，若
，又,则,与,相交矛盾），D错误.故选 .
. .
6.(2025·上海市高境第一中学期中)已知 ，是 ， 外一点，过 点的两条直
线，分别交 于，，交 于，，且，，，则 的
长为_______.
20或4
【解析】由已知 ， 平面， 平面 ，
所以 ，（面面平行的性质定理）
当平面 ， 在点同侧时，由可知点在面 一侧，（【明易错】
分别讨论两平面在点 的同侧和异侧）
如图D 8.5-3（1）所示，可知，且， ，
，则，即 ；
图D 8.5-3
当平面 ， 在点 异侧时，如图D 8.5-3（2）
所示，可知，且 ，
，，则 ，即
；
综上所述， 或4.
图8.5-3
7.如图8.5-3，在三棱柱中，，， 分
别为，， 的中点．
（1）求证：平面 .
【答案】,分别为,的中点，则 ，又
平面， 平面,所以 平面
.
（2）求证：平面平面 ．
【答案】因为为的中点，为的中点，所以 ，
又，所以四边形是平行四边形，所以 ，
又 平面， 平面,所以平面 ，
又平面，，, 平面 ,
所以平面平面 ．
图8.5-4
8.(2025·北京市房山区月考)如图8.5-4，在多面体 中，
四边形和都是直角梯形，， ，
，点为棱上一点，平面与棱 交于点 ．
（1）求证：平面 .
【答案】因为，，所以 ,又
，
所以四边形为平行四边形，则 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
（2）求证： ．
【答案】因为平面， 平面,平面 平面 ，
所以 ．（线面平行的性质定理，由线面平行证线线平行）
B 综合练丨高考模拟
建议时间：35分钟
图8.5-5
9.如图8.5-5，在正四棱锥中，是 的中
点，点在侧面 内及其边界上运动，并且总是保
持平面．则动点的轨迹与 组成的相关
图形是( )
A
A. B. C. D.
图D 8.5-4
【解析】如图D 8.5-4，分别取，的中点， ，
连接，， .
是 的中点，
， .
,, 平面, ,
， 平面 ，
平面平面 .（面面平行的判定定理的推论）
当在上移动时， 平面 ，
此时保持平面 ，（面面平行的性质）
则动点的轨迹与 组成的相关图形是选项A．
. .
. .
图8.5-6
10.(2025·浙江省杭州高级中学月考)如图8.5-6，已知圆锥的顶点
为，为底面圆的直径，点， 为底面圆周上的点，并将弧
三等分，过作平面 ，使 ，设 与交于点 ，
则 的值为( )
B
A. B. C. D.
图D 8.5-5
【解析】如图D 8.5-5，连接交于点，连接 ，
因为 ，平面， 平面 ，所以
.
连接,,因为为底面圆的直径，点，将弧 三等分，
所以 ，（圆周角为圆
心角的一半） ，
所以且，所以 ，
又，所以 ，
所以，即 ，故选B．
图8.5-7
11.[多选题](2025·四川省德阳市第五中学期末)如图8.5-7，在
正方体中，，，分别是， ，
的中点， ，则下列说法正确的是
( )
ACD
A.若，则平面
B.若，则平面
C.若，则
D.若，则平面 截正方体所得的截面是五边形
图D 8.5-6
【解析】对于A，连接，在正方体中，可知 ，
当时，如图D 8.5-6,是的中点，则 ，所以
，由于 平面， 平面 ，所以
平面 ，故A正确.
图D 8.5-7
对于B，当时，如图D 8.5-7，点与点重合，连接 交
于点，连接.若平面，因为 平面
，且平面 平面，则，由于
是的中点，则为 中点，这显然不符合题意，故B错误.
图D 8.5-8
对于C，如图D 8.5-8，连接,易知,,又 ,所
以,因为为的中点，所以为的中点，故 ，
故C正确.
图D 8.5-9
对于D，如图D 8.5-9，取（延长， ，
交于点，连接，则可得 ,即
,即.又 ，所以
）,取，依次连接,,,, ,则
五边形即为平面 截正方体所得截面，故D正
确．故选 ．
. .
12.如图8.5-8，四棱锥的底面是平行四边形，，， 分
别是，的中点，平面平面， 平面，与 相交于点
，则 的长度为_ __.
图8.5-8
【解析】因为是平行四边形，所以， ．
因为，分别是，的中点，所以 ．
又，，所以，所以 ．
因为平面平面，平面 平面，平面 平面
，所以，所以是 的中点．
因为，所以 ，
所以 .
13.(2025·广东省广州市期中)如图8.5-9所示，在斜三棱柱中，， 分
别为， 上的点．
图8.5-9
（1）当等于何值时,平面
【答案】如图D 8.5-10所示，连接，交于点，连接 .
图D 8.5-10
由棱柱的性质知，四边形为平行四边形，为 的中点．
,为平面与平面 的公共点，
平面 平面 ,
又 平面,且平面, .
又在中，为的中点，为 的中点.
故当时，平面 .
（2）若平面平面，求 的值.
【答案】 平面平面，且平面 平面 ，平面
平面 ，
，同理可得 （面面平行的性质定理），
,即 .
又,, 四边形 为平行四边形.
,
为中点，即 .
. .
14.(2025·山东省菏泽市模拟)如图8.5-10，在四棱锥中， ，
，点为棱的中点，与，相异的动点在棱 上．
图8.5-10
（1）当为的中点时，证明：平面 .
【答案】如图D 8.5-11，设点为棱的中点，连接， ，
图D 8.5-11
，，，，，且 ，
四边形 为平行四边形，
，
又 平面， 平面，平面 .
（2）设平面与平面的交线为,是否存在点，使得平面 ？若存在，
求 的值;若不存在，请说明理由．
图D 8.5-12
【答案】存在.如图D 8.5-12，延长，相交于点 ，连
接，则直线为平面与平面的交线，连接
交于点，连接，若平面 （在存在性问题中，
可先假设结论成立，再倒推出条件），由线面平行的性质
定理可知 .
. .
设， 点为棱的中点，， ，
，
，，三点共线，，即， ,
又,则在与中应有 ，
则此时 ,
存在满足条件的点，使得平面，此时 ．
C 培优练丨能力提升
15.(2025·广东省广州市真光中学期中)一正三棱台木块 如图8.5-11所示，
已知,，点在平面内且为 的重心.
图8.5-11
（1）过点将木块锯开，使截面经过 ，在木块表面应该怎样划线？说明理由.
图D 8.5-13
【答案】如图D 8.5-13，在平面内过点作直线
交于点，交于点 ，
连接,，则,, 为截面与木块各表面的交线.
理由如下：由，得,,, 四点共面，且平
面 平面，平面 平面
，平面 平面，则 ,
, 为截面与木块各表面的交线.
（2）求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比.
【答案】因为点在平面内且为的重心， ，
所以，又因为，故 ，
故几何体 为棱柱，
设棱台的高为，的面积为，故 ，
又，则 ，
故由台体体积公式得正三棱台的体积为 ，
所以被截面截得的非三棱柱 的另一个几何体体积为
，
故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为(或 .
（3）在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线 平面
？若存在，求 长度的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】分别取,的中点,，连接,则当点时有 平面
，
图D 8.5-14
理由如下：如图D 8.5-14，由，分别为， 的中点
得 ，
又在正三棱台中，， ，
所以，，，，四点共面，连接, ,
又因为，点 为重心，所以
，
又由正三棱台的性质知 ，
故四边形为平行四边形，故 ，
因为 平面， 平面，所以平面 ，
同理平面 ，
因为，， 平面，所以平面平面 ，
所以当点时， 平面，于是平面 .
在梯形 中，由已知条件和前面的分析知,
,, ，即四边形 是底边长分
别为1和2、腰长为2的等腰梯形，所以由等腰梯形性质得该等腰梯形 的高为
，即的最小值为 ，连接，则，
即 的最大值为2，故长度的取值范围为 .