9.1 随机抽样-9.1.1 简单随机抽样 课件(共51张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共51张PPT)
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 普查与抽样调查
名称 定义
全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此
为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体 调查对象的全体.
个体 组成总体的每一个调查对象.
名称 定义
样本 从总体中抽取的那部分个体.
样本容量（样本量） 样本中包含的个体数.
样本的观测数据 （样本数据） 调查样本获得的变量值（【剖析】变量值不一定是数值，也
可以是调查对象的某项指标，如：颜色、性别等）.
说明 为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每
个调查对象的相应指标作为个体.（【易错点】要注意对应性）#1.1
续表
. .
辨析比较
普查与抽样调查
普查 抽样调查
优点 所取得的资料更加全 面、系统. 1.迅速、及时；
2.节约人力、物力和财力;
3.由于调查对象少，因此可以更详细地了解每个
被调查个体的信息.
缺点 耗费大量的人力、物力 和财力. 获取的信息不够全面、系统.
适用 范围 1.调查对象很少； 2.要获取翔实、系统和全 面的信息. 1.大批量检验；
2.破坏性试验；
3.不必要普查等.
学思用·典例详解
例1-1 ［多选题］下列调查中应采用抽样调查的是( )
BC
A.了解一批汽车的刹车性能 B.调查一批种子是否发芽
C.某报社对某个事情进行舆论调查 D.高考考生的身体检查
【解析】对于A，涉及人身安全，且对汽车没有破坏性，应采用普查的方式；
对于B，检测具有毁损性，不可能把所有的种子都挖出来检验其是否发芽，所以应采
用抽样调查；
对于C，某报社对某个事情进行舆论调查，调查的范围广，应采用抽样调查；
对于D，高考考生的身体检查需要每个人都检查，是普查.
点评 一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，
应选择抽样调查，对于精确度要求高、事关重大的调查往往选用普查.
例1-2 某校有学生1 800人，为了解学生的作业负担，学校从学生家长中随机抽取了
1 000人进行调查，其中的家长回答他们孩子每天睡眠时间大致在 小时，
的家长回答他们孩子回家做作业的时间一般在 小时，那么该项调查的总体、
个体、样本及样本容量分别是什么？
【解析】总体是1 800名学生；个体是每一名学生；样本是1 000名学生；样本容量
是1 000.
（【另解】总体是1 800名学生的每天睡眠时间和作业时间，个体是每一名学生的每
天睡眠时间和作业时间，样本是1 000名学生的每天睡眠时间和作业时间）
知识点2 简单随机抽样
1 简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有为正整数 （有限性）个个体，从中逐个抽取 个个体作为样本, 如果抽取是放回的，且每次抽取时总 体内的各个个体被抽到的概率都相等 （等可能性）,这样的抽样方法叫做放 回简单随机抽样. 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体
内未进入样本的各个个体被抽到的概率都
相等,（等可能性）这样的抽样方法叫做不
放回简单随机抽样.
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. 说明 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.#1.1
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特别提醒 （1）从总体中,逐个不放回地随机抽取 个个体作为样本,一次性批量随机
抽取 个个体作为样本，两种方法是等价的.
（2）与放回简单随机抽样比较，不放回简单随机抽样的效率更高，因此实践中
多采用不放回简单随机抽样（除非特殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简
单随机抽样）.
（3）有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，
便于通过样本对总体进行分析.
（4）等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性（机会）都相等
（与第几次抽取无关），从而保证了抽样的公平性.#1.2.3
. .
2 简单随机抽样常用的两种方法
（1）抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，然后把所有编号写在外观、质
地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在
一个不透明的盒里，充分搅拌（【关键点】确保样本具有代表性），最后从盒中不
放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需
要的数量.
知识剖析 （1）对个体编号时，也可以利用已有的编号.例如，从全班学生中抽取样
本时，可以利用学生的学号、座位号等.
（2）抽签法的基本步骤：
. .
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（2）随机数法
先把总体中的个个体编号，用随机数工具产生范围内的整数随机数，把
产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.
说明
生成随机数的几种方法
1.用随机试验生成随机数.
2.用信息技术生成随机数:
①用计算器生成随机数;
②用电子表格软件生成随机数;
③用统计软件生成随机数.
重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.
如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重
新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
. .
知识剖析 随机数法的基本步骤：
辨析比较
两种抽样方法的优缺点
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比 较麻烦. 总体量较
小，且样本
量小.
随机数法 简单易行，它很好地解决 了总体量较大时用抽签法 制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大 时，利用随机数法抽取样本 仍不方便. 总体量较
大，样本量
较小.
【想一想丨问题质疑】
用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？
提示 在重复试验中，试验次数越多，频率就越接近概率.与此类似，用简单随机抽
样的方法抽样时，一般来说，样本量大的会好于样本量小的，尤其是样本量不大时，
增加样本量可以较好地提高估计效果.但是，在实际抽样中，样本量的增大会导致调
查的人力、费用、时间等成本的增加.因此，抽样调查中样本量的选择要根据实际问
题的需要，并不一定是越大越好.
例2-3 [多选题]下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )
AC
A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B.某公司从仓库中的1 000箱可乐中逐个不放回地抽取20箱进行质量检查
C.某班级从50名同学中，挑选出5名最优秀的同学参加数学竞赛
D.从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已编好号，对编号
随机抽取）
【解析】对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个数有限不相
符，故A正确.
对于B，逐个不放回地抽取符合简单随机抽样的要求.
对于C，5名同学是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C正确.
对于D，符合简单随机抽样的要求．
故选 ．
【想一想丨问题质疑】
对于抽签法（抓阄法），有人认为先抽签的人占便宜，你认为这种想法有道理吗？
提示 这种想法是没有道理的，因为抽签时每个个体被抽到的机会相同，与抽签的
先后顺序无关，但在抽签前必须把号签搅拌均匀.
例2-4 (2025·湖北省武汉市期中)总体由编号为1，2， ，99，100的100个个体组成，
现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生了若干个 范围内的整数
随机数，开始部分的数据如下表所示，则选出来的第5个个体的编号为____．
8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
88 8 31 47 7 21 76 33 50 63
31
【解析】前5个随机数中8出现了两次，（【解惑】出现重复编号时，需剔除，然后
继续向后选）
故根据随机数法可得前5个编号为8，44，2，17，31，
故第5个个体的编号为31.
例2-5 下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
B
A.从某工厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某工厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C.从生产水平不同的甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
【解析】选项A,D中总体量较大，不适合采用抽签法；选项B中总体量和样本量都不
大，适合采用抽签法；选项C中甲、乙两厂生产水平不同，不适合采用抽签法.
知识点3 总体均值与样本均值
1 概念
名称 定义
总体均值 （总体平 均数） 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为,, ， ，则称
（ 为求和符号，主要用于多项式求和）为总
体均值，又称总体平均数.
如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为, ,
，，其中出现的频数为 ，则总体均值还可以写成
加权平均数的形式 .
. .
. .
名称 定义
样本均值 （样本平 均数） 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为,, ，
，则称 为样本均值，又称样本平均数.
续表
知识剖析 （1）在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数 ；
（2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机
性）；
（3）一般情况下，样本量越大，估计越准确;
（4）总体平均数是总体的一项重要特征.
另外，某类个体在总体中所占的比例也是人们关心的一项总体特征，例如全部
产品中合格品所占的比例、赞成某项政策的人在整个人群中所占的比例等.我们可以
用样本中的比例估计总体中的比例 .#1.5
. .
. .
. .
. .
2 求和符号 的性质
（1） ;
（2）,其中 为常数.
例3-6 (2025· 全国二卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为( )
C
A.8 B.9 C.12 D.18
【解析】平均数为 .
【想一想丨问题探究】
线性关系下的平均数
（【教材链接】教材P189 T6）
若数据,, ，的平均数为，数据,, ，的平均数为，， 为常数，
如果满足，， ，，证明: .
提示
.
例3-7 [教材改编P181 T1]某市欲了解全市60 000户居民的月用水量，若通过简单随
机抽样从中抽取了200户进行调查，得到其月用水量的平均数为10吨，则可以推测全
市居民月用水量的平均数( )
D
A.一定为10吨 B.高于10吨 C.低于10吨 D.约为10吨
【解析】根据样本平均数估计总体平均数，可以推测全市居民月用水量的平均数约
为10吨.
解题课丨关键能力构建
题型1 简单随机抽样的判断及相关计算
1 简单随机抽样的判断
例8 下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗？为什么？
（1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
【解析】因为从无限多个个体中抽取50个个体作为样本，被抽取的样本的总体的个
体数是无限的而不是有限的，故不是简单随机抽样.
（2）箱子里共有100个零件，现从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中
任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里；
【解析】因为任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里,它是有放回抽
样，简单随机抽样分为有放回和不放回的，故是简单随机抽样.
（3）从50个个体中逐个不放回地抽取5个个体作为样本；
【解析】从50个个体中逐个不放回地抽取5个个体作为样本，符合定义，故是简单随
机抽样.
（4）某班45名同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．
【解析】抽取的5名同学对身高有要求，不是随机抽取的，故不是简单随机抽样.
简单随机抽样的特点：①总体中的个体数有限，②逐一抽取，③等可能抽取.要判断
所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它本身的特点与简单随机抽样的几
个特点是否完全符合，其中等可能性是判断的关键.
2 个体被抽取的可能性
例9 从总体中个体数为 的一批零件中，采用简单随机抽样的方法抽取一个样本量
为20的样本，若每个零件被抽到的可能性都为，则 的值为( )
B
A.100 B.50 C.40 D.30
【解析】由，得 .
例10 用不放回简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样
本,则某一特定个体被抽到的可能性为___,某一特定个体“第一次被抽到”的可能性为
___,“第二次被抽到”的可能性为___.
【解析】从含有个个体的总体中，随机抽取一个容量为 的样本，每个个体被抽到
的可能性都相等，且均为 .所以从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，
某一特定个体被抽到的可能性为 .
本题中的抽样是不放回简单随机抽样,所以第一次抽取时,某一特定个体被抽到的可能
性为，第二次被抽到的可能性还是 （简单随机抽样的等可能性）.
. .
在简单随机抽样中，总体中有个个体,抽取一个容量为的样本，对于某个个体
抽样中,总体中有N个个体,抽取一个容量为n的样本,对于某个个体a:
（1）在第次被抽到的可能性为 .（与抽取的先后顺序无关）
（2）在整个抽样过程中被抽到的可能性为 .
题型2 抽签法的应用
例11 某市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召“小红帽”志愿者,要求他们在部
分交通路口协助交警维持交通.现需要从某社区的28名志愿者中随机抽取6人组成志
愿者小分队.请用抽签法设计抽样方案.
思路点拨 已知,，用抽签法抽样，即从编号为1，2， ，28的28个号
签中抽取6个号签，其对应的志愿者就是组成志愿者小分队的成员.
【解析】抽样方案如下：
第一步:编号
将28名志愿者编号，号码分别是1，2， ，28.
第二步：写号签
将28个号码分别写在形状、大小、材质等均相同的号签上.
第三步：搅拌均匀
将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀.
第四步：抽签
从容器中连续不放回地抽取6个号签，并记录上面的号码.
第五步：确定样本
所得号码对应的志愿者就是组成志愿者小分队的成员.
名师点评 号签的大小、形状、材质等必须完全相同，每次抽签前应把号签搅拌均匀，
保证每个号签被抽到的可能性相等.
应用抽签法的两个关键点
一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易
被搅拌均匀.抽签法简单易行，但当总体较大时，操作起来比较麻烦.因此，抽签法一
般适用于总体中个体数不多的情形.
题型3 随机数法的应用
例12 (2025·陕西省多校期末联考)要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达
标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002， ，499，
利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后
接着从下一行第一个数继续．则抽取的第5袋牛奶的标号是_____．
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
84421 75531 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98301 07185 12867 35807 44395 23879 33211
286
【解析】依题意，抽取的前5袋牛奶的标号依次为206，301，169，071，286，
所以抽取的第5袋牛奶的标号是286.
名师点评 随机数表由数字0，1，2， ，9组成，并且每个数字在表中各个位置出
现的机会都是一样的.在利用随机数表进行简单随机抽样时，要先选定初始值（数），
从选定的数字开始按照一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中或已被选用，
则跳过，直到选满 个为止.
【学会了吗丨变式题】
(2025·江西省抚州市期末)为弘扬爱国主义精神，某中学高一年级决定从每班随机抽
取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一名学生从01到
50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数
字，则选取的第五个编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
C
A.14 B.02 C.43 D.07
【解析】由随机数表法可知，前5名学生的编号依次为：08，02，14，07，43.因此，
选取的第五个编号为43.故选C.
题型4 用样本平均数估计总体平均数
例13 某校组织了一次关于“生活小常识”的知识竞赛．在参加的所有学生中随机抽取
100位学生的回答情况进行统计，具体如下：答对5题的有10人；答对6题的有30人；
答对7题的有30人；答对8题的有15人；答对9题的有10人；答对10题的有5人.则在这
次知识竞赛中这所学校平均每位学生答对的题数大约为___．
7
【解析】抽取的100位学生答对题目的平均数是
.
（【释疑解惑】总体均值的加权平均数的形式同样适用于计算样本平均数）
因此在这次知识竞赛中这所学校平均每位学生答对的题数大约为7.
名师点评 用样本平均数估计总体平均数时，不同的样本的平均数一般是不同的，具
有随机性，样本量越大，估计总体平均数的偏差越小.
图9.1.1-1
例14 (2025·天津市滨海新区塘沽第一中学月考)某校为
了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，
得到他们在某一天各自的课外阅读时间的条形图，如
图9.1.1-1，根据条形图可得该校学生这一天平均每人的
课外阅读时间约为( )
B
A.0.6小时 B.0.9小时 C.1.0小时 D.1.5小时
【解析】由条形图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为
（时）.
因此估计该校学生这一天平均每人的课外阅读时间约为 0.9小时（这个数据只是根
据这次样本得到的，是个估计数）.
. .
习题课丨学业质量测评
1.下列调查方式合适的是 ( )
A
A.为了解湖水的水质情况，采用抽样调查的方式
B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式
C.某企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式
【解析】对于A，采用抽样调查的方式合适；
对于B，因调查范围广，工作量大，采用普查的方式不合适，所以应采用抽样调查；
对于C，采用抽样调查会使有些员工工作服不合身，所以应采用普查；
对于D，因调查范围广，采用普查的方式不合适.
2.(2025·河北省沧州市期末)某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中
每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是
( )
C
A.42 B.50 C.126 D.150
【解析】由题意可知样本量是 .
3.某学校高三年级有10个班，每班各有50名学生，若从该校高三年级中以简单随机
抽样的方法抽取20人，则下列选项中正确的是( )
D
A.每班至少会有一名学生被抽中 B.抽出来的男生人数一定比女生多
C.班长被抽到的可能性比较大 D.每个学生被抽到的可能性都是
【解析】简单随机抽样中，每个个体被抽中的可能性都一样，所以每个学生被抽到
的可能性都是 .
4.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与
实际平均数的差为( )
B
A. B.0.9 C.3.4 D.4.3
【解析】设20个数分别为,, ,,且 就是输错的数据，则求出的平均数为
,
实际平均数 ,
所以求出的平均数与实际平均数的差 .
5.(2025·福建省福州市福九联盟期末)用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学
生李华）中不放回地抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取五次，
设李华第一次被抽到的概率为，第五次被抽到的概率为 ，则( )
B
A.， B.， C.， D.，
【解析】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽
到，因为每次抽取一个号码，所以李华第一次被抽到的可能性为 ，第五次被抽到
的可能性也为，即李华同学在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以 ，
.故选B.
6.新情境 航天科技 (2025·上海市静安区期末)自2016年起，每年4月24日被定为“中
国航天日”，以纪念1970年4月24日长征一号运载火箭将我国第一颗人造地球卫星“东
方红一号”成功送入太空．2025年4月24日是第10个“中国航天日”，神舟二十号载人
飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第10个航天日的庆祝活
动．某学校举办的“我向航天员提问”的趣味活动吸引了众多同学参与．现从同学们
提出的问题中初选40个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）
，02，03， ，39，40，从中随机抽取5个问题请大家投票排名．从下列随机
数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出的5个
问题编号依次为( )
09503674 09459742 80365675 24044018 51140183 93365031 22187831 37117105 0
3329104 85378509 61275118 31238207 45360022 03787150 30671289 05696497 21
721212 07393401
A.28，03，36，24，40 B.03，36，24，40，04
C.28，03，65，67，52 D.28， ，40，01，11
【解析】从随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字为：28,03,65
（舍去），67（舍去），52（舍去），40,44（舍去），01,85（舍去），11.
所以选出的5个问题编号依次为：28,03,40,01,11.故选D.
√
7.[多选题]下列抽样方法中属于简单随机抽样的为( )
CD
A.某班有45名学生，指定坐在教室第一排中间的5人参加某项活动
B.某连队从200名战士中挑选出50名优秀的战士参加抗震救灾
C.将1 000个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内，搅拌均匀，从中
逐个抽取50个个体作为样本
D.从某小区居民中随机抽取100人进行身体健康状况调查
【解析】对于A,不是等可能抽样，即每个个体被抽到的可能性不相等，不是简单随
机抽样，故A错误；
对于B，由于抽出的是“优秀”的战士，不是等可能的抽取，所以不是简单随机抽样，
故B错误；易知 属于简单随机抽样.
8.若一组数据，，， ，的平均数是30，另一组数据， ，
， ，的平均数是70，则第三组数据，， ，
， 的平均数为_____.
161
【解析】设数据,,, ,的平均数为 .
数据，，， ，共有 个，其平均数为
,因此 .
故数据，，， ，的平均数是 .
（【学以致用】线性关系下的平均数）
9.某大学为了支援我国西部教育事业，决定从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿
小组．请用抽签法和随机数法分别设计抽样方案．
【答案】抽签法：
（1）先将18名志愿者编号，号码为1，2，3， ，18；
（2）把号码写在形状、大小、材质完全相同的号签上；
（3）将号签放在某个不透明的箱子里，并充分搅拌均匀；
（4）从箱子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；
（5）与这6个号签上的号码对应的6名志愿者就是组成志愿小组的成员．
随机数法：
（1）先将18名志愿者编号，号码为00,01，02，03， ，17；
（2）准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0,1,2， ,9，把它们放
入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取两次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、
二次摸到的数字分别作为十、个位数，这样就生成了一个两位随机数，如果这个两
位数在 范围内，就代表对应编号的志愿者被抽中，否则舍弃编号；
（3）重复第二步，若产生的随机数重复，则剔除，继续摸球，直到选够所需样本量；
（4）所得号码对应的志愿者就是志愿者小组的成员．